§17 Расчет пути и времени движения

Определения и обозначения

Равномерное движение — движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные пути. Например, если за каждую минуту велосипедист проезжает по 300 м, его движение можно считать равномерным. Это понятие помогает понять, когда можно применять простые формулы без учёта изменения скорости.

Путь — длина траектории, пройденная телом; его обозначают буквой s. Траектория — линия, по которой движется тело, а путь показывает её длину. По этой величине можно узнать, какое расстояние тело прошло за всё время движения.

Скорость — физическая величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени; её обозначают буквой v. Например, скорость 4 м/с означает, что за каждую секунду тело проходит 4 м, если движение равномерное. Скорость нужна, чтобы сравнивать быстроту движения и рассчитывать путь или время.

Время движения — продолжительность движения тела; его обозначают буквой t. Оно показывает, сколько секунд, минут или часов тело находилось в движении. Зная время, можно определить, какой путь пройден при известной скорости.

Как это устроено

При равномерном движении за каждый одинаковый промежуток времени тело проходит одинаковый путь. Поэтому за два таких промежутка оно проходит вдвое больше, чем за один, а за три — втрое больше. Если каждый промежуток становится короче, то и общий путь за данное время уменьшается; так путь оказывается прямо пропорционален времени при неизменной скорости.

По определению скорость равна пути, пройденному за единицу времени: v = s/t. Чтобы выразить из этого равенства путь, умножим обе части на t: получим vt = s, или s = vt. Умножение здесь отражает смысл скорости: если тело проходит v метров за секунду и движется t секунд, то оно проходит v таких отрезков.

Из формулы v = s/t можно получить время движения. Умножим обе части равенства на t, а затем разделим на v: получится t = s/v. Это соответствует смыслу величин: если известен весь путь и известно, сколько пути тело проходит за единицу времени, деление показывает, сколько таких промежутков потребовалось.

Перед подстановкой нужно согласовать единицы, потому что формулы связывают не только числа, но и измеряемые величины. Если скорость дана в метрах в секунду, удобно взять путь в метрах и время в секундах; тогда ответ получится в единицах СИ. При скорости в километрах в час время выражают в часах, а путь — в километрах, либо переводят всё в метры и секунды.

Сначала определите, какие две величины известны и какая требуется, а затем выберите формулу, в которой есть неизвестная величина. После вычисления проверьте единицы ответа и здравый смысл результата: при большей скорости за то же время путь не может стать меньше. Для движения навстречу друг другу сначала находят скорость сближения — складывают скорости, а затем делят расстояние между телами на эту скорость.

Формулы расчёта пути, скорости и времени

Найдите в таблице величину, которую требуется вычислить, и возьмите формулу из её строки. Обозначения помогают не перепутать путь, скорость и время при записи условия. Убедитесь, что единицы исходных данных подходят друг к другу.

Разбор задач

Автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч в течение 2 ч. Какой путь он пройдёт? Известны скорость и время, а найти нужно путь, поэтому подойдёт формула s = vt. Единицы уже согласованы: скорость задана в километрах в час, а время — в часах.

1. Запишем данные: v = 60 км/ч, t = 2 ч. Искомая величина — s. Единицы переводить не требуется.

2. Подставим значения в формулу: s = vt = 60 км/ч · 2 ч. Часы сокращаются, поэтому результат выражается в километрах.

3. Вычислим произведение: s = 120 км. Такой путь правдоподобен: за каждый из двух часов автомобиль проходит по 60 км.

Ответ: автомобиль пройдёт 120 км.

Велосипедист проехал 12 км со скоростью 4 м/с. За какое время он преодолел этот путь? Скорость дана в метрах в секунду, поэтому переведём километры в метры. Затем используем формулу t = s/v, так как известны путь и скорость.

1. Переведём путь: 12 км = 12 000 м. Запишем данные в согласованных единицах: s = 12 000 м, v = 4 м/с.

2. Подставим данные в формулу времени: t = s/v = 12 000 м / 4 м/с. При делении метры сокращаются, и остаются секунды.

3. Вычислим: t = 3 000 с. Чтобы выразить результат в минутах, разделим 3 000 на 60 и получим 50 мин.

Ответ: велосипедист ехал 3 000 с, или 50 мин.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 18 км. Их скорости равны 5 и 4 км/ч. Нужно найти время до встречи. Поскольку пешеходы идут навстречу, расстояние между ними за каждый час уменьшается на сумму пройденных ими путей.

1. Найдём скорость сближения: v = 5 км/ч + 4 км/ч = 9 км/ч. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между пешеходами.

2. Используем формулу времени t = s/v. Подставим расстояние и скорость сближения: t = 18 км / 9 км/ч.

3. Вычислим: t = 2 ч. Проверка показывает, что за это время первый пешеход пройдёт 10 км, а второй — 8 км; вместе они преодолеют 18 км.

Ответ: пешеходы встретятся через 2 ч.

Типичные ошибки

Подстановка километров и часов вместе с метрами и секундами без перевода единиц приводит к неверному числу. Так происходит, когда ученик выбирает формулу, но не замечает, что значения выражены в разных единицах. Проверьте, что для скорости в м/с путь дан в метрах, а время — в секундах; для км/ч подходят километры и часы.

При вычислении пути иногда делят скорость на время или путь на скорость, хотя для пути нужна формула s = vt. Причина — путаница между тремя связанными формулами. Перед вычислением выпишите неизвестную величину и выберите равенство, где она выражена отдельно; результат для пути должен иметь единицу длины.

Если не записать обозначения и единицы, время легко принять за путь или скорость. Числа сами по себе не подсказывают, что именно измерено, особенно когда в условии встречаются минуты, метры и км/ч. Подписывайте каждую величину, а после расчёта проверяйте, что у времени получилась единица времени, у пути — длины.

В задаче о движении навстречу некоторые складывают пути, но забывают сложить скорости. Так бывает, когда не рассматривают, как меняется расстояние между пешеходами за один и тот же промежуток времени. Найдите скорость сближения как сумму скоростей, а затем разделите начальное расстояние на неё; ответ должен быть временем до встречи.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно знать определение скорости, единицы длины и времени, а также уметь переводить единицы. Эти знания помогают записать условие без смешения метров с километрами и секунд с часами. Умение переводить единицы пригодится и в других физических расчётах.

Формулы применяют в задачах о встречном движении, а также о движении поезда, автомобиля и других тел. В таких задачах важно понять, какое расстояние проходит каждое тело и как меняется расстояние между ними. Например, при движении навстречу используют скорость сближения.

Связь пути, скорости и времени служит основой для изучения графиков движения и задач на среднюю скорость. На графике можно представить, как меняется положение тела со временем. В более сложных задачах движение может быть неравномерным, и тогда способ расчёта скорости требует дополнительных рассуждений.

Что запомнить

• При равномерном движении за равные промежутки времени проходят равные пути.
• Основная формула связи пути, скорости и времени: s = vt.
• Путь находят умножением скорости на время: s = vt.
• Время находят делением пути на скорость: t = s/v.
• Скорость находят делением пути на время: v = s/t.
• Перед расчётом все величины переводят в согласованные единицы.
• Единица скорости в СИ — метр в секунду, единица пути — метр, единица времени — секунда.