№4 Измерение объема тела

Определения и обозначения

Объём тела — величина, показывающая, какую часть пространства занимает тело; его обозначают буквой V. Например, большой куб занимает больше места, чем маленький, поэтому его объём больше. Объём нужен, чтобы сравнивать тела и описывать их свойства числами. Он не говорит ни о том, насколько тело тяжёлое, ни о длине одной его стороны.

Единицей объёма служит кубический сантиметр, который записывают см³. Объём куба с ребром 1 см равен 1 см³: единица показывает, сколько пространства занимает именно такой куб. С её помощью удобно выражать объём небольших предметов. Для жидкости часто используют миллилитры, причём 1 мл = 1 см³.

Мензурка — сосуд с делениями, предназначенный для измерения объёма жидкости и определения объёма тела неправильной формы. Деления на её шкале позволяют не только налить нужное количество воды, но и заметить, насколько изменился её уровень после погружения предмета. Поэтому мензурка помогает измерить тела, для которых нельзя просто перемножить длину, ширину и высоту. Перед работой нужно разобраться, что означают отметки шкалы.

Цена деления мензурки — объём, соответствующий одному промежутку между соседними отметками шкалы. Её определяют, чтобы понять, насколько точно можно прочитать показание между подписанными числами. Если цена деления равна 2 мл, каждое следующее деление означает прибавление 2 мл. Зная её, можно считывать не только значения, подписанные на шкале.

Как это устроено

У тел правильной формы объём находят по известным размерам и подходящей геометрической формуле. Для прямоугольного бруска нужно умножить длину a, ширину b и высоту c: V = abc. Это работает потому, что число слоёв по высоте и количество кубиков в каждом слое вместе показывают, сколько единичных кубов помещается внутри бруска. Если размеры измерены в сантиметрах, результат будет в кубических сантиметрах.

Перед измерением по мензурке сначала определяют цену деления. Найдите разность значений двух подписанных отметок, затем посчитайте, на сколько равных промежутков разделено расстояние между ними, и разделите разность на это число. Например, от 20 мл до 40 мл — четыре промежутка, значит, одно деление соответствует 5 мл. Считать нужно именно промежутки, а не сами штрихи: между пятью штрихами расположено четыре промежутка.

Объём жидкости считывают по шкале на уровне её поверхности. Если смотреть сверху или сбоку, отметка может казаться расположенной выше или ниже настоящего уровня, поэтому измерение получится неточным. Держите мензурку вертикально и расположите глаза напротив поверхности жидкости. Затем определите соответствующее ей деление шкалы, учитывая цену деления.

Для тела неправильной формы нельзя применить формулу прямоугольного бруска, поэтому используют вытеснение жидкости. Сначала измеряют начальный объём воды в мензурке, после этого погружают тело и записывают новое показание. Объём тела равен разности конечного и начального показаний: именно на столько увеличился объём, занятый жидкостью вместе с предметом. Такой способ позволяет измерить, например, камень, у которого нет удобных для расчёта геометрических размеров.

При измерении вытеснением тело должно целиком оказаться под водой и не растворяться в ней. Если часть предмета выступает над водой, вытесняется только объём погружённой части, а показание не даст объёма всего тела. Растворение также меняет количество и свойства жидкости, поэтому результат перестаёт отражать только вытеснение. Когда условия соблюдены, объём вытесненной воды равен объёму тела, а миллилитры можно сразу перевести в кубические сантиметры по равенству 1 мл = 1 см³.

Способы измерения объёма тела

Выберите строку по форме тела или по тому, что требуется узнать: способ измерения, последовательность действий или единицы. Для бруска нужны его размеры, а для неправильного предмета — два показания мензурки. После измерения проверьте единицы ответа и при необходимости используйте равенство между миллилитрами и кубическими сантиметрами.

Разбор задач

Задача 1. Рёбра прямоугольного бруска равны 5 см, 3 см и 2 см. Найдите его объём. Здесь дана форма, для которой известна формула через три измерения, поэтому измерять вытесненную жидкость не требуется. Все размеры выражены в сантиметрах, и результат сразу получится в см³.

1. Запишем формулу объёма прямоугольного бруска: V = abc.
2. Подставим длины рёбер: V = 5 см · 3 см · 2 см.
3. Перемножим числа: 5 · 3 · 2 = 30. При умножении единиц получаем см · см · см = см³.

Ответ: объём бруска равен 30 см³. Проверка единиц показывает, что получена именно единица объёма, а не длины.

Задача 2. Между отметками 40 мл и 50 мл на мензурке пять одинаковых промежутков. Какова цена деления и каков объём жидкости, если её уровень совпал с третьей отметкой после 40 мл? Сначала выясним, сколько миллилитров приходится на один промежуток, а затем отсчитаем три таких шага. Подписанное значение 40 мл будет началом отсчёта.

1. Найдём разность подписанных отметок: 50 мл − 40 мл = 10 мл.
2. Разделим разность на число промежутков: 10 мл : 5 = 2 мл. Это цена деления.
3. Отметка после 40 мл соответствует 42 мл, следующая — 44 мл, третья — 46 мл.

Ответ: цена деления равна 2 мл, объём жидкости — 46 мл. Проверить отсчёт можно, прибавив к 40 мл три раза по 2 мл.

Задача 3. В мензурке было 60 мл воды. После полного погружения камня показание стало 78 мл. Найдите объём камня в см³. Конечное показание включает воду и объём, вытесненный камнем, поэтому само по себе оно не является объёмом предмета. Нужно найти, насколько изменилось значение шкалы.

1. Вычтем начальное показание из конечного: 78 мл − 60 мл = 18 мл.
2. Это увеличение показания и есть объём вытесненной воды, следовательно, объём камня равен 18 мл.
3. Переведём результат: 1 мл = 1 см³, поэтому 18 мл = 18 см³.

Ответ: объём камня равен 18 см³. Здесь вычитание убирает объём воды, который уже находился в мензурке до погружения.

Типичные ошибки

Объём иногда путают с массой или размерами тела. Это происходит потому, что все эти величины описывают предмет, но отвечают на разные вопросы: масса характеризует количество вещества, размер — длину, а объём — занятое пространство. Проверьте себя вопросом: «Сколько места занимает тело?» Если ответ записан в сантиметрах, а требуется объём, вычисление или единицу нужно пересмотреть.

При поиске цены деления могут принять число штрихов за число промежутков. Ошибку легко допустить, если просто пересчитать отметки и не посмотреть на расстояния между ними. Между пятью отметками находится четыре промежутка, поэтому разность показаний делят на четыре. Для проверки проследите, сколько раз уровень шкалы переходит от одной отметки к следующей.

Уровень жидкости иногда считывают, глядя на мензурку сверху или сбоку. Из-за наклона взгляда поверхность кажется расположенной напротив другой отметки, и показание искажается. Чтобы проверить себя, расположите глаза прямо напротив уровня жидкости и шкалы. Мензурка при этом должна стоять вертикально.

При измерении вытеснением ошибочно записывают конечное показание как объём тела. Такое значение включает и воду, которая была в сосуде сначала, поэтому оно завышает результат. Вычтите начальный объём из конечного, а затем сравните разность с тем, насколько поднялся уровень жидкости. Если получен ответ меньше конечного показания, это обычно соответствует нужному смыслу измерения.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма по формуле сначала нужны знания об единицах длины и навыки измерения линейкой. Все три размера бруска должны быть выражены в одинаковых единицах, иначе произведение нельзя правильно истолковать. Умножение сантиметров даёт кубические сантиметры.

Работа с мензуркой опирается на умение читать шкалы измерительных приборов и находить цену деления. Эти навыки нужны не только для измерения объёма: они помогают точно работать с другими приборами, на которых нанесены отметки. Правильный отсчёт снижает вероятность ошибки в результате.

Измерение объёма пригодится при изучении плотности вещества и решении задач о массе и объёме. В таких задачах нужно использовать объём вместе с другими величинами и следить за согласованностью единиц. Поэтому умение измерить и записать объём становится основой для дальнейших расчётов.

Что запомнить

• Объём обозначают буквой V.
• Объём прямоугольного бруска равен произведению трёх его измерений: V = abc.
• Цена деления равна разности значений соседних подписанных отметок, делённой на число промежутков.
• Объём жидкости измеряют по шкале мензурки.
• Объём тела неправильной формы равен объёму вытесненной им жидкости.
• 1 мл = 1 см³.