§58 Рычаг. Равновесие сил на рычаге

Определения и обозначения

Рычаг — твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры. На него действуют силы, приложенные в разных точках; их действие может заставить рычаг повернуться. Такая простая конструкция помогает поднимать и уравновешивать грузы.

Точка опоры — точка, вокруг которой рычаг может вращаться. Она задаёт место, относительно которого рассматривают поворот и сравнивают действие сил. Без указания опоры нельзя правильно определить плечи.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы, то есть прямой, вдоль которой направлена сила. Это расстояние измеряют перпендикулярно линии, потому что именно оно показывает, насколько далеко сила действует от оси поворота. Плечо обозначают l.

Правило равновесия рычага: рычаг находится в равновесии, когда произведения сил на их плечи равны: F₁l₁ = F₂l₂. Здесь F₁ и F₂ — силы, а l₁ и l₂ — их плечи. Правило применяют к силам, которые стремятся вращать рычаг в противоположных направлениях.

Как это устроено

Рычаг может поворачиваться, потому что его опора не даёт ему свободно перемещаться, но позволяет вращаться вокруг заданной точки. Если приложить силу, она стремится изменить положение рычага. С одной стороны опоры сила может поднимать эту сторону, а с другой — опускать; поэтому направления поворота оказываются противоположными. Для равновесия эти повороты должны компенсировать друг друга.

Сила действует на рычаг не только своим значением: важно, где именно она приложена. Если приложить силу ближе к опоре, ей труднее повернуть рычаг, чем такой же силе на большем расстоянии. Это можно почувствовать, открывая дверь: за ручку, расположенную далеко от петель, толкать легче. Значит, при сравнении сил необходимо учитывать расстояние до точки опоры.

Чтобы определить плечо, сначала проводят линию действия силы через место её приложения в направлении силы. Затем от точки опоры опускают на эту линию перпендикуляр и измеряют его длину. Перпендикуляр даёт кратчайшее расстояние от точки до прямой. Расстояние вдоль рычага подходит только тогда, когда оно действительно перпендикулярно линии действия силы.

Когда рычаг в равновесии, силы, поворачивающие его в противоположных направлениях, должны уравновешивать друг друга. Сравнивают не только величины сил, но и произведения каждой силы на её плечо: F₁l₁ = F₂l₂. Если одно произведение больше другого, соответствующая сила сильнее стремится повернуть рычаг. При равенстве произведений поворота не происходит.

Из правила равновесия следует выигрыш в силе. Например, если плечо одной силы в несколько раз больше плеча другой, для равновесия на длинном плече достаточно меньшей силы. Это не означает, что сила исчезает: её компенсирует более короткое плечо большей силы. Поэтому рычаг позволяет удобнее действовать на тяжёлые предметы.

Соотношение сил и плеч при равновесии рычага

Сначала определите, какая сила действует с каждой стороны опоры, и найдите соответствующие плечи. Затем выберите строку по тому, что дано и что нужно найти, и используйте равенство произведений. Следите, чтобы плечи были выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Задача 1. На концах рычага действуют силы 10 Н и 20 Н. Плечо первой силы равно 40 см. Найдите плечо второй силы, если рычаг находится в равновесии. Здесь силы уже даны, поэтому неизвестное плечо можно найти из правила равновесия. Оставим оба плеча в сантиметрах.

1. Запишем условие: F₁l₁ = F₂l₂.
2. Выразим неизвестное: l₂ = F₁l₁ / F₂.
3. Подставим значения: l₂ = 10 Н · 40 см / 20 Н = 20 см. Ньютоны сокращаются, поэтому единица ответа — сантиметр.

Ответ: плечо второй силы равно 20 см. Большей силе соответствует более короткое плечо, поэтому произведения сил на плечи равны.

Задача 2. Груз массой 12 кг находится на расстоянии 0,5 м от опоры. На каком расстоянии нужно приложить силу 60 Н, чтобы удержать рычаг в равновесии? Примем g = 10 Н/кг. Сначала важно выяснить, какую силу груз оказывает на рычаг: масса в условии сама по себе не является силой.

1. Найдём силу тяжести груза: F₁ = mg = 12 кг · 10 Н/кг = 120 Н.
2. Запишем равновесие: 120 Н · 0,5 м = 60 Н · l₂.
3. Выразим расстояние: l₂ = 120 · 0,5 / 60 = 1 м.

Ответ: силу 60 Н нужно приложить на расстоянии 1 м от опоры с другой стороны. Её плечо вдвое больше плеча силы тяжести, потому что сама сила вдвое меньше.

Задача 3. Однородная балка длиной 2 м и массой 10 кг опирается на точку в 0,5 м от левого конца. Какую вертикальную силу приложить к левому концу, чтобы балка оставалась в равновесии? Примем g = 10 Н/кг. Однородная балка имеет одинаковую плотность по длине, поэтому её сила тяжести приложена к середине, на отметке 1 м от левого конца.

1. Сила тяжести балки равна mg = 10 кг · 10 Н/кг = 100 Н. Её плечо относительно опоры: 1 м − 0,5 м = 0,5 м.
2. Левый конец расположен в 0,5 м от опоры. Сила тяжести справа стремится повернуть балку в одну сторону, поэтому приложенная слева сила должна поворачивать её в противоположную.
3. Составим равенство: F · 0,5 м = 100 Н · 0,5 м. Отсюда F = 100 Н.

Ответ: к левому концу нужно приложить вертикальную силу 100 Н вниз. Направление вниз выбрано потому, что сила на левом конце должна уравновесить поворот от силы тяжести балки.

Типичные ошибки

Плечо измеряют вдоль рычага, а не перпендикулярно линии действия силы. Так делают, потому что точка приложения силы часто находится на самом рычаге, но линия действия силы может быть направлена иначе. Проверьте построение: от опоры до линии действия должен идти прямой угол, а расстояние должно быть кратчайшим.

Уравнивают только величины сил и забывают про плечи. Ошибка возникает из-за того, что слово «равновесие» связывают с одинаковыми силами, хотя поворачивающее действие зависит и от расстояния. Для проверки вычислите оба произведения F₁l₁ и F₂l₂: в равновесии они должны совпадать.

Считают, что большая сила всегда поворачивает рычаг сильнее. Но большая сила, приложенная близко к опоре, может уступить меньшей силе на длинном плече. Перед выводом сравните произведения силы на плечо, а не только числа, обозначающие силы.

Подставляют плечи в разных единицах или забывают переводить сантиметры в метры. Тогда вычисления дают неверное соотношение, хотя формула выбрана правильно. Проверьте единицы в каждой строке: оба плеча должны быть выражены одинаково; если одно переведено, переведите и другое.

Связь с другими темами

Для изучения рычага нужно знать, что сила может изменять движение тела и вызывать его вращение. В задачах с грузами также пригодится формула силы тяжести F = mg. Рычаг относится к простым механизмам: его принцип используют в ножницах, весах, плоскогубцах и других устройствах.

Условие равновесия рычага помогает перейти к изучению момента силы — величины, описывающей способность силы вращать тело. Сравнение произведений силы на плечо уже показывает, почему при повороте важно учитывать оба этих значения. Позже это рассуждение пригодится для анализа равновесия тел.

Что запомнить

• Рычаг вращается вокруг неподвижной точки опоры.
• Плечо силы — перпендикулярное расстояние от опоры до линии действия силы.
• Силы на рычаге могут поворачивать его в противоположных направлениях.
• Условие равновесия рычага: F₁l₁ = F₂l₂.
• При равновесии меньшая сила должна действовать на большем плече.
• Плечи и силы в вычислениях нужно выражать в согласованных единицах.