§ 52. Дефект массы. Энергетический выход ядерных реакций

Определения и обозначения

Дефект массы — разность между суммарной массой свободных нуклонов, образующих ядро, и массой этого ядра. Нуклоны — общее название протонов и нейтронов. Дефект массы позволяет сравнить, насколько масса связанного ядра отличается от массы его отдельных составляющих.

Энергия связи ядра — энергия, необходимая, чтобы разделить ядро на свободные нуклоны; столько же энергии выделяется при образовании ядра. Иначе говоря, она характеризует прочность связи между нуклонами. Эта величина нужна, чтобы оценивать энергию, связанную с образованием или разрушением ядра.

Энергетический выход ядерной реакции — энергия, которая выделяется или поглощается из-за различия суммарных масс исходных и конечных частиц. Исходные частицы вступают в реакцию, а конечные образуются в её результате. Энергетический выход помогает определить, сопровождается ли реакция отдачей энергии или требует её поступления.

Как это устроено

Протоны и нейтроны могут существовать по отдельности, но в ядре они образуют связанную систему. Масса такой системы оказывается меньше суммы масс свободных нуклонов, потому что при связывании выделяется энергия. Массовый эквивалент этой энергии и составляет дефект массы: масса не исчезает, а изменение массы связано с изменением энергии системы.

Чтобы найти дефект массы, сначала нужно определить число протонов и нейтронов. Если зарядовое число ядра равно Z, протонов в нём Z, а при массовом числе A нейтронов A − Z. Поэтому Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mя, где mₚ и mₙ — массы протона и нейтрона, а mя — масса ядра. Сумму свободных нуклонов сравнивают именно с массой ядра, иначе вычисление будет отвечать другой задаче.

При образовании связанного ядра выделившаяся энергия уносится из системы, поэтому её энергия становится меньше, чем была у свободных нуклонов. По соотношению массы и энергии E = mc² уменьшению энергии соответствует уменьшение массы. Отсюда следует формула энергии связи Eсв = Δmc²: чем больше дефект массы, тем больше энергия, связанная с образованием ядра. При вычислениях масса должна быть выражена в единицах, согласованных с выбранными единицами энергии.

В реакции меняется состав частиц, поэтому для энергетического выхода сравнивают не отдельные массы, а их суммы до и после превращения. Если исходная суммарная масса больше конечной, разность переходит в выделившуюся энергию. Если конечная масса больше исходной, для реакции требуется энергия, то есть она поглощается. Направление изменения массы помогает установить знак результата ещё до вычислений.

Энергетический выход находят как разность суммарной массы исходных частиц и суммарной массы конечных частиц, умноженную на c²: Q = (mдо − mпосле)c². При положительном Q энергия выделяется, при отрицательном — поглощается. Иногда массы приводят в атомных единицах массы, а энергию просят выразить в джоулях или мегаэлектронвольтах. Тогда нельзя просто подставить число в а.е.м. и скорость света в м/с: сначала используют подходящий перевод массы в энергетические единицы либо переводят всё в систему СИ.

Массовые характеристики ядра и ядерной реакции

Сначала определите, какие массы относятся к ядру, а какие — к реакции в целом. Для ядра используйте дефект массы и формулу энергии связи, а для реакции складывайте массы всех частиц по обе стороны превращения. Сравнение сумм сразу показывает, выделяется энергия или поглощается.

Разбор задач

Задача 1. В ядре содержатся 2 протона и 2 нейтрона. По заданным массам протона, нейтрона и ядра найдите дефект массы. Обозначим массы протона через mₚ, нейтрона — через mₙ, ядра — через mя. Числовые значения подставляют в а.е.м., если все данные выражены в этих единицах.

1. Определяем число нуклонов каждого вида: Z = 2, A − Z = 2.
2. Находим суммарную массу свободных нуклонов: 2mₚ + 2mₙ.
3. Вычитаем массу ядра: Δm = 2mₚ + 2mₙ − mя.

Сначала складываются именно массы свободных протонов и нейтронов, потому что с ними сравнивается масса ядра. Подставьте в выражение данные из условия и выполните вычитание. Ответ: Δm = 2mₚ + 2mₙ − mя; численное значение получают после подстановки заданных масс.

Задача 2. Дефект массы ядра равен 0,030 а.е.м. Найдите энергию связи, используя перевод 1 а.е.м. в энергетические единицы. Пусть по условию 1 а.е.м. соответствует величине ε в выбранной единице энергии. Удобно применить этот перевод напрямую, чтобы не подставлять а.е.м. в формулу вместе с c в метрах в секунду.

1. Записываем связь энергии связи и дефекта массы: Eсв = Δmc².
2. Используем перевод массы в энергию: Eсв = 0,030ε.
3. Умножаем перевод для одной а.е.м. на дефект массы и указываем единицу результата.

Например, если ε задана в МэВ, ответ получится в МэВ; если перевод дан в джоулях, ответ будет в джоулях. В условии не приведено числовое значение перевода, поэтому численный результат зависит от указанной величины ε. Ответ: Eсв = 0,030ε.

Задача 3. Сумма масс исходных частиц равна 10,012 а.е.м., а конечных — 10,004 а.е.м. Определите энергетический выход и укажите, выделяется энергия или поглощается. Сначала сравним величины: исходная масса больше конечной, значит, разность масс положительна. Это указывает на выделение энергии.

1. Находим разность масс: Δm = 10,012 − 10,004 = 0,008 а.е.м.
2. Переводим разность массы в энергию: Q = 0,008ε, где ε — энергия, соответствующая 1 а.е.м.
3. Записываем знак результата: Q положительно, поэтому энергия выделяется.

Чтобы получить численное значение в джоулях или МэВ, умножьте 0,008 на заданный в условии перевод одной а.е.м. в нужные единицы. Положительный знак согласуется со сравнением масс: после реакции суммарная масса стала меньше. Ответ: Q = 0,008ε; энергия выделяется.

Типичные ошибки

Подмена массы ядра массой атома. Масса атома включает электроны, поэтому она не равна массе ядра. Так ошибаются, когда берут доступные табличные данные, не проверив, что именно в них указано. Проверьте обозначение и состав объекта; если дана масса атома, учитывайте массу электронов согласно условиям задачи.

Неверный порядок вычитания в реакции. Если вычесть массу исходных частиц из конечных, знак результата поменяется, и вывод о выделении энергии станет противоположным. Ошибка возникает из-за того, что знак разности не связывают с физическим смыслом. Записывайте Q = (mдо − mпосле)c² и отдельно сравнивайте массы до подстановки чисел.

Представление о дефекте массы как об исчезновении вещества. Нуклоны не пропадают: масса системы меняется вместе с её энергией. Такое заблуждение появляется, если воспринимать разность масс как потерю вещества, не учитывая E = mc². Проверьте, что энергия связи объясняет эту разность, а число протонов и нейтронов остаётся тем же для данного ядра.

Несогласованные единицы. Подстановка массы в а.е.м. в формулу с c в м/с не даст энергию в джоулях без перевода единиц. Обычно так делают, пытаясь сразу использовать знакомую формулу E = mc². Перед вычислением проверьте единицы всех величин и примените перевод а.е.м. в нужные единицы энергии.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны знания о составе ядра, массовом числе и зарядовом числе: по ним находят число протонов и нейтронов. Также требуется различать протон и нейтрон и понимать, какие массы указаны в задаче. Соотношение E = mc² связывает изменение массы с энергией, поэтому важно уметь работать с единицами. Эти понятия пригодятся при изучении ядерных реакций, радиоактивности и получения энергии при делении и синтезе ядер.

Что запомнить

• Масса связанного ядра меньше суммы масс свободных нуклонов.
• Дефект массы ядра равен сумме масс свободных нуклонов минус масса ядра.
• Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δmc².
• Энергетический выход определяется изменением суммарной массы частиц в реакции.
• Если масса исходных частиц больше массы конечных, энергия выделяется.
• Если масса исходных частиц меньше массы конечных, энергия поглощается.