§ 9. Перемещение и скорость при криволинейном движении

Определения и обозначения

Криволинейное движение — движение, при котором траектория тела является кривой. Траектория — линия, вдоль которой перемещается тело; при прямолинейном движении она представляет собой прямую, а при криволинейном изгибается. Например, так движется мяч по дуге после броска. Это понятие помогает описать форму движения, а не только начальное и конечное положения.

Перемещение — вектор, направленный из начального положения тела в конечное. Вектор — величина, у которой есть и модуль, и направление; перемещение не зависит от того, по какой траектории двигалось тело. Его обозначают Δr или s⃗. Оно нужно, чтобы показать итоговое изменение положения тела.

Средняя скорость — отношение вектора перемещения к промежутку времени, за который оно совершено: v⃗ср = Δr / Δt. Здесь Δt — время движения, а стрелка над обозначением подчёркивает, что скорость является вектором. Средняя скорость направлена так же, как перемещение. Она показывает, насколько изменилось положение тела в выбранном направлении за единицу времени.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. При криволинейном движении она направлена по касательной к траектории в точке, где находится тело. Касательная — прямая, которая касается кривой в одной точке и задаёт направление движения вблизи неё. Мгновенная скорость нужна, когда важно знать направление и быстроту движения именно сейчас.

Как это устроено

При движении по кривой тело последовательно оказывается в разных точках траектории. Однако перемещение соединяет только положение, из которого тело начало движение, и положение, в котором оно оказалось в конце. Поэтому оно не описывает все повороты и изгибы пути. Чтобы указать итоговую смену положения, достаточно вектора между двумя точками.

Путь измеряют вдоль траектории, потому что он складывается из всех участков, которые тело прошло. Перемещение же проводят по прямому отрезку между началом и концом движения. Прямая между двумя точками не длиннее любого изгибающегося маршрута между ними, поэтому модуль перемещения обычно меньше пути. Они совпадут, если тело движется по прямой в одном направлении и не меняет его.

Среднюю скорость получают, деля перемещение на время, а не длину всего маршрута. Такое деление сохраняет направление: если перемещение направлено на восток, то и средняя скорость направлена на восток. Например, сложный путь с поворотами может привести к небольшому перемещению, и средняя скорость отразит именно этот итог. Для расчёта сначала определяют начальную и конечную точки, затем находят перемещение и время.

Чтобы понять направление мгновенной скорости, можно рассмотреть очень короткий участок движения около выбранной точки. Чем короче участок, тем ближе его форма к прямой; направление этой прямой задаёт касательная к траектории. Поэтому скорость направлена вдоль касательной, а не к центру изгиба. Так определяют направление движения тела в конкретный момент.

На кривой траектории направление движения меняется от точки к точке, потому что в каждой точке касательная имеет своё направление. Поэтому вектор скорости меняется даже тогда, когда тело движется равномерно и модуль скорости остаётся прежним. Модуль показывает только быстроту движения, но не его направление. Для описания скорости как векторной величины нужно учитывать оба свойства.

Путь, перемещение и скорость при криволинейном движении

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, какая именно величина требуется в задаче: длина маршрута, итоговое перемещение или скорость. Затем проверь, нужно ли указывать направление. Для средней скорости используй перемещение и время, а для мгновенной — направление касательной.

Разбор задач

Путь и перемещение по дуге

Условие. Тело прошло по дуге от точки A до точки B. Нужно указать путь и перемещение на схеме. Числовых данных для вычисления длины нет, поэтому требуется определить соответствующие линии и направление вектора.

1. Выдели участок дуги от A до B: его длина и есть путь.
2. Соедини точки A и B прямым отрезком.
3. Поставь на отрезке стрелку от A к B: она обозначает перемещение.

Ответ. Путь — длина дуги AB, а перемещение — вектор из A в B по прямому отрезку. Длина дуги обычно больше модуля этого вектора, потому что дуга изгибается, а отрезок соединяет точки напрямую.

Средняя скорость за 10 секунд

Условие. За 10 с тело переместилось из точки A в точку B на 30 м к востоку. Требуется найти среднюю скорость. В условии уже дано перемещение с направлением, поэтому путь дополнительно находить не нужно.

1. Запиши перемещение: Δr = 30 м к востоку.
2. Запиши промежуток времени: Δt = 10 с.
3. Примени формулу v⃗ср = Δr / Δt и раздели 30 м на 10 с.
4. Укажи направление результата, совпадающее с перемещением.

Ответ. Средняя скорость равна 3 м/с к востоку. Единица м/с получается при делении метров на секунды.

Скорость на окружности

Условие. Тело равномерно движется по окружности радиуса 5 м. Нужно сравнить направления его мгновенных скоростей в двух точках, соответствующих четверти оборота. Радиус нужен для задания окружности, но вычислять модуль скорости по имеющимся данным нельзя: время движения не задано.

1. Отметь две точки на окружности, разделённые четвертью оборота.
2. Проведи в каждой точке касательную к окружности.
3. Направь стрелки вдоль касательных в сторону движения тела.
4. Сравни стрелки: после четверти оборота направление скорости повернулось на четверть полного оборота.

Ответ. В двух точках направления мгновенной скорости различаются и перпендикулярны друг другу. При равномерном движении модуль скорости постоянен, но вектор скорости меняется из-за изменения направления.

Типичные ошибки

Считать путь и модуль перемещения одним и тем же. Так ошибаются, когда замечают, что обе величины измеряются в метрах, и не учитывают способ их определения. Проверь себя: путь должен проходить по траектории, а перемещение — соединять начальную и конечную точки. Если тело движется по дуге, эти величины обычно различаются.

Направлять мгновенную скорость к центру кривизны или вдоль хорды. Это может показаться правдоподобным, поскольку центр и хорда связаны с формой траектории. Но скорость показывает направление движения в данный момент, поэтому она идёт по касательной. Проведи касательную в точке тела: направление стрелки скорости должно совпасть с ней.

Считать, что при постоянном модуле скорости вектор скорости не меняется. Здесь путают быстроту движения с полной характеристикой скорости. На кривой тело поворачивает, поэтому направление вектора скорости меняется, даже если его модуль остаётся прежним. Проверка простая: сравни направления касательных в разных точках траектории.

Находить среднюю скорость по пути, когда требуется средняя векторная скорость. Путь делят на время, когда спрашивают среднюю путевую скорость; векторную среднюю скорость находят по перемещению. Ошибку допускают, если не замечают слово «векторная» или не проверяют направление ответа. Сверься с формулой v⃗ср = Δr / Δt: в ней стоит перемещение, а результат имеет направление.

Связь с другими темами

Для изучения криволинейного движения понадобятся знания о векторах: нужно понимать, как задать направление и найти модуль вектора. Также пригодятся понятия траектории, пути и времени движения. Они позволяют различать геометрическую линию движения и то, насколько изменилось положение тела.

Эта тема подготавливает к изучению ускорения. Ускорение связано с изменением вектора скорости, а при движении по кривой его направление меняется даже при постоянном модуле скорости. Значит, движение по кривой может сопровождаться ускорением и без изменения быстроты тела.

Что запомнить

• При криволинейном движении траектория является кривой.
• Перемещение — вектор из начального положения тела в конечное.
• Путь измеряют вдоль траектории.
• Средняя скорость равна перемещению, делённому на время.
• Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории.
• При движении по кривой направление скорости меняется.