§ 11. Траектория. Путь

Определения и обозначения

Траектория — линия, которую описывает тело при движении. Её можно представить, если мысленно отмечать все положения тела одно за другим и соединять их в порядке движения. Это понятие помогает увидеть не только начальную и конечную точки, но и весь путь движения.

Прямолинейная траектория — траектория в виде прямой линии. Например, автомобиль, движущийся по ровному прямому участку шоссе, проходит прямолинейную траекторию. Такое название показывает форму движения и позволяет отличить его от движения по изгибу.

Криволинейная траектория — траектория в виде кривой линии. К ней относятся дуга окружности, ломаная и другие кривые; например, мяч, брошенный в сторону, движется не по прямой. Это понятие нужно, чтобы описывать движение, которое меняет направление.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом. Путь обозначают буквой s, а его единицей измерения в системе СИ является метр (м); также используют километр и другие единицы длины. Путь показывает, сколько линии движения тело уже прошло, а не только где оно оказалось.

Как это устроено

Траектория складывается из последовательных положений тела в выбранной системе отсчёта. Система отсчёта — это тело, относительно которого описывают движение; без выбора такой точки сравнения положения нельзя однозначно сопоставить. Например, пассажир сидит неподвижно относительно автобуса, но меняет положение относительно дороги. Поэтому для построения траектории нужно учитывать, относительно чего наблюдают тело.

Вид траектории зависит и от характера движения, и от выбранного тела отсчёта. Причина в том, что разные наблюдатели могут по-разному описывать изменения положения одного предмета. Например, мяч, подброшенный пассажиром в едущем автобусе, возвращается ему в руку, а наблюдателю у дороги кажется движущимся вперёд вместе с автобусом. Следовательно, нельзя говорить о форме траектории, не уточнив, относительно чего рассматривают движение.

По форме траектории движение разделяют на прямолинейное и криволинейное. Если последовательные положения тела располагаются вдоль одной прямой, траектория прямолинейная; если линия изгибается или меняет направление, она криволинейная. Такое деление основано именно на форме линии, а не на том, быстро или медленно движется тело. Поэтому два тела с разной скоростью могут иметь траектории одного вида.

Путь находят как длину той части траектории, которую тело уже прошло. Если тело последовательно прошло несколько участков, складывают их длины: например, s = s₁ + s₂. При продолжении движения тело проходит новые части линии, поэтому общий путь увеличивается или остаётся прежним, если тело остановилось, но не уменьшается. Даже при движении назад пройденное расстояние добавляется к уже накопленному пути.

Начальная и конечная точки сами по себе не задают весь маршрут между ними. Тело может пройти по прямой, по дуге или по ломаной, поэтому линии движения и их длины будут отличаться. Например, кратчайший путь между двумя точками по прямой может оказаться меньше длины обходного маршрута. Чтобы сравнить пути, нужно учитывать все участки, которые тело действительно прошло.

Сравнение траектории и пути

Сначала определите, спрашивают ли о форме линии или о её длине: это подскажет, идёт ли речь о траектории или о пути. В задачах на путь отмечайте все пройденные участки и складывайте их длины. Сравнивая маршруты, не делайте вывод только по начальной и конечной точкам.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид траектории конца стрелки часов и указать, какой путь пройдёт стрелка за один полный оборот. Пусть расстояние от оси до конца стрелки равно r. Конец стрелки всё время находится на одинаковом расстоянии от оси, поэтому его линия движения — окружность.

1. Окружность является кривой линией, значит траектория криволинейная.
2. За полный оборот конец стрелки проходит всю окружность один раз.
3. Длина окружности равна 2πr, следовательно, это и есть пройденный путь.

Ответ: траектория криволинейная, путь за один оборот равен 2πr. Без значения r численное значение пути найти нельзя.

Задача 2. Автомобиль проехал 3 км по прямому шоссе, затем ещё 2 км по тому же шоссе. Найти пройденный путь. Оба участка автомобиль действительно прошёл, поэтому учитываем длину каждого из них, а не только расстояние между начальной и конечной точками.

1. Обозначим длины участков: s₁ = 3 км, s₂ = 2 км.
2. Для последовательно пройденных участков складываем длины: s = s₁ + s₂.
3. Подставляем значения: s = 3 км + 2 км = 5 км.

Ответ: автомобиль прошёл путь 5 км. То, что оба участка относятся к одному шоссе, не меняет правило сложения.

Задача 3. Турист прошёл из пункта A в пункт B по маршруту длиной 1,6 км, а другой турист — по маршруту длиной 2,3 км. Нужно сравнить их пути и траектории. Совпадают только начальная и конечная точки: длины маршрутов уже показывают, что пройденные участки неодинаковы.

1. Первый турист прошёл s₁ = 1,6 км, второй — s₂ = 2,3 км.
2. Сравниваем длины: 2,3 км больше 1,6 км, разность составляет 0,7 км.
3. Если маршруты разные, различаются и описываемые ими траектории; одних точек A и B недостаточно, чтобы определить форму маршрутов.

Ответ: путь второго туриста больше на 0,7 км. Траектории маршрутов могут быть разными, хотя туристы начали и закончили в одних и тех же пунктах.

Типичные ошибки

Ошибка — считать траекторией только направление движения, например «вправо». Направление сообщает, куда движется тело в данный момент, но не показывает всю линию, по которой оно прошло. Так путают отдельную характеристику движения с его траекторией. Проверьте себя: можете ли вы изобразить весь маршрут, а не только стрелку направления?

Траекторию часто путают с путём, потому что оба понятия связаны с движением по одной линии. Но траектория отвечает на вопрос «по какой линии?», а путь — «какова длина пройденного участка?». Если ответ можно выразить в метрах, речь идёт о пути. Если описывается прямая или кривая, речь идёт о траектории.

Нельзя складывать координаты начальной и конечной точек вместо длин пройденных участков. Координаты показывают положение тела относительно выбранного начала отсчёта, но не сообщают, каким маршрутом оно двигалось. Ошибку допускают, принимая изменение положения за длину всей траектории. Чтобы проверить решение, перечислите участки маршрута и сложите именно их длины.

Ещё одна ошибка — считать путь нулевым, если тело вернулось в исходную точку. Начальное и конечное положения тогда совпадают, но тело всё равно прошло некоторую линию. Путь складывает длины всех пройденных участков и не исчезает при возвращении. Проверьте себя, мысленно проследив маршрут: если тело двигалось, оно прошло ненулевое расстояние.

Связь с другими темами

Для описания движения нужно знать, что оно рассматривается относительно тела отсчёта: положение тела сравнивают с выбранным ориентиром. Именно последовательность таких положений помогает представить траекторию. Поэтому тема продолжает изучение механического движения и его описания.

Понятие пути понадобится при изучении скорости. Чтобы определить скорость движения, рассматривают пройденный путь и время, за которое он пройден. Если неверно определить маршрут или сложить не те участки, результат вычисления скорости также окажется неверным.

Траектория помогает различать прямолинейное и криволинейное движение и описывать движение по окружности. Представление о линии движения используется и в обычных маршрутах: на карте можно сравнивать форму пути и его длину. Так становится понятно, почему две дороги между одними пунктами могут отличаться.

Что запомнить

• Траектория — линия, которую описывает тело при движении.
• Траектория бывает прямолинейной или криволинейной.
• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Путь обозначают буквой s и измеряют в единицах длины.
• При движении путь не уменьшается.
• Одинаковые начальная и конечная точки не означают одинаковые траектории и пути.