§ 53*. Вогнутые зеркала и их применение

Определения и обозначения

Вогнутое зеркало — сферическое зеркало, отражающая поверхность которого обращена внутрь сферы. У выпуклого зеркала отражает внешняя сторона сферической поверхности. Это различие важно: вогнутая поверхность может собирать параллельные лучи, а выпуклая обычно рассеивает их.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центр сферической поверхности и середину зеркала. На ней удобно отмечать положение предмета, фокуса и центра кривизны. По этой оси сравнивают расстояния и строят изображение.

Главный фокус вогнутого зеркала — точка на главной оптической оси, в которой после отражения собираются лучи, падавшие параллельно этой оси. Его обозначают буквой F. Фокус нужен, чтобы предсказывать направление отражённых лучей и находить изображение построением.

Фокусное расстояние — расстояние от зеркала до главного фокуса. Центр сферической поверхности называют центром кривизны, а расстояние от него до зеркала — радиусом R. Для сферического зеркала фокусное расстояние примерно вдвое меньше радиуса: f ≈ R/2.

Как это устроено

Вогнутая поверхность состоит из участков, наклонённых под разными углами. Когда параллельные главной оси лучи попадают на эти участки, каждый отражается по закону отражения: угол падения равен углу отражения. Из-за наклона поверхности отражённые лучи направляются навстречу друг другу и около главной оси сходятся в фокусе. Для сферического зеркала это приближение особенно хорошо для лучей, близких к оси.

Чтобы построить изображение, обычно достаточно двух главных лучей, исходящих от верхушки предмета. Луч, падающий параллельно главной оси, после отражения проходит через фокус. Луч, направленный через фокус к зеркалу, после отражения идёт параллельно оси. Там, где отражённые лучи пересекутся, находится верхушка действительного изображения; основание располагают на главной оси.

Положение предмета относительно фокуса F и центра кривизны C определяет, где пересекутся лучи. Если предмет стоит далеко за C, отражённые лучи сходятся между F и C, а изображение получается меньше предмета. В C изображение также находится в C и имеет такой же размер. Между C и F лучи сходятся за C, поэтому изображение оказывается увеличенным; во всех этих случаях сами отражённые лучи пересекаются перед зеркалом.

Если предмет поставить между фокусом и зеркалом, отражённые лучи уже не сходятся перед зеркалом, а расходятся. Глаз воспринимает их так, будто они пришли из точки за зеркалом: именно там пересекаются продолжения лучей. Поэтому изображение мнимое, прямое и увеличенное; его нельзя получить на экране. В самом фокусе отражённые лучи идут параллельно, и изображение условно находится на бесконечности.

Собирание света объясняет применение вогнутых зеркал. Например, отражатель фары или фонаря направляет свет лампы в нужную сторону; если источник поставить около фокуса, отражённые лучи идут почти параллельным пучком. Большое вогнутое зеркало может сосредоточить солнечные лучи в небольшой области. А если лицо или другой предмет находится между зеркалом и фокусом, получается увеличенное прямое изображение.

Изображение в вогнутом зеркале в зависимости от положения предмета

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую положению предмета относительно F и C. Затем прочитайте, где искать изображение и как оно ориентировано. «Действительное» означает, что пересекаются сами отражённые лучи; «мнимое» — что пересекаются их продолжения.

Разбор задач

Задача 1. Предмет находится далеко от вогнутого зеркала. Определите, где получится его изображение и каким оно будет. Условие не задаёт точное расстояние, поэтому используем направление лучей от далёкого предмета: лучи от каждой его точки приходят к зеркалу почти параллельно друг другу. Для главной точки предмета они также близки к параллельным главной оси.

1. Проведём от верхушки предмета луч, параллельный главной оптической оси.
2. После отражения этот луч пойдёт через фокус; второй близкий к оси луч тоже отразится и пересечёт первый около фокуса.
3. Значит, изображение будет около фокальной плоскости, то есть вблизи фокуса, действительным, перевёрнутым и уменьшенным.

Ответ: изображение получится около фокуса перед зеркалом; оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Чем дальше предмет, тем ближе изображение к фокусу. Это следует из того, что отражённые лучи от далёкого предмета почти параллельны.

Задача 2. Предмет поставили между центром кривизны C и фокусом F. Найдите положение, размер и ориентацию изображения построением двух главных лучей. Удобно начать с верхушки предмета и отметить на оси точки F и C. Положение предмета сразу подсказывает, что изображение должно быть за центром кривизны.

1. Проведём от верхушки луч параллельно оси: после отражения он пройдёт через F.
2. Проведём второй луч через F к зеркалу: после отражения он станет параллельным оси.
3. Пересечение отражённых лучей окажется за C. Оно лежит ниже оси, если верхушка предмета была выше неё, значит изображение перевёрнуто; удалённое пересечение показывает, что оно увеличено.

Ответ: изображение находится за центром кривизны, оно действительное, перевёрнутое и увеличенное. Здесь пересекаются сами отражённые лучи, поэтому изображение можно получить на экране. При построении важно продолжать лучи в направлении их хода после отражения.

Задача 3. Зеркало используют как увеличительное, а предмет расположен между зеркалом и фокусом. Объясните, почему изображение видно за зеркалом и каким оно является. В этой области предмета лучи после отражения расходятся, поэтому сами они перед зеркалом не пересекаются. Однако глаз продолжает их мысленно по прямым назад.

1. От верхушки предмета проведём луч параллельно главной оси; после отражения он направится через F.
2. Проведём второй луч к зеркалу так, чтобы его продолжение до отражения проходило через F; отражённый луч пойдёт параллельно оси.
3. Продлим оба отражённых луча за зеркало пунктиром мысленно: их продолжения пересекутся за зеркалом и выше оси.

Ответ: изображение находится за зеркалом, оно мнимое, прямое и увеличенное. Оно кажется расположенным там, потому что зрение воспринимает расходящиеся лучи как пришедшие из точки пересечения их продолжений. На экран такое изображение поставить нельзя.

Типичные ошибки

• Ошибка: называть фокусом место пересечения любых лучей. Главный фокус определяют именно для лучей, падающих параллельно главной оптической оси; другие лучи могут пересекаться в иных точках. Такую ошибку допускают, забывая условие определения. Проверьте, параллельны ли падающие лучи оси.
• Ошибка: путать фокус с центром кривизны. Центр находится на расстоянии радиуса R, а фокус — примерно на расстоянии R/2 от зеркала. Оба расположены на главной оси, поэтому их легко поменять местами. Проверьте порядок точек: от зеркала сначала F, затем C.
• Ошибка: считать, что вогнутое зеркало всегда даёт действительное перевёрнутое изображение. Это верно, когда предмет за фокусом, но между зеркалом и фокусом изображение мнимое и прямое. Ошибка возникает, если не учитывать положение предмета. Перед ответом отметьте, по какую сторону F он находится.
• Ошибка: строить действительное изображение по продолжениям лучей за зеркалом. Перед зеркалом для действительного изображения пересекаются сами отражённые лучи, а за зеркалом пересекаются продолжения расходящихся лучей и получается мнимое изображение. Различить их помогает направление стрелок на отражённых лучах. Проверьте, пересекаются ли лучи на самом деле или только при мысленном продолжении.

Связь с другими темами

Для изучения зеркал нужно знать закон отражения света и уметь показывать падающий и отражённый лучи. Сравнение с плоским и выпуклым зеркалами помогает понять, почему изображения различаются по размеру, ориентации и месту. Идея фокуса и построения хода лучей пригодится при изучении линз и оптических приборов. В них также важно проследить, как свет меняет направление и где собирается.

Что запомнить

• Вогнутое зеркало может собирать лучи, параллельные главной оптической оси.
• Главный фокус находится на главной оптической оси.
• Фокусное расстояние сферического зеркала примерно вдвое меньше радиуса его сферической поверхности.
• Положение изображения зависит от положения предмета относительно фокуса и центра кривизны.
• Если предмет находится за фокусом, вогнутое зеркало даёт действительное перевёрнутое изображение.
• Если предмет находится между зеркалом и фокусом, изображение мнимое, прямое и увеличенное.
• Вогнутые зеркала применяют для собирания света и получения увеличенных изображений.