§ 22. Преломление электромагнитных волн

Определения и обозначения

Преломление электромагнитных волн — изменение направления распространения волны при переходе через границу двух сред. Например, луч меняет направление, попадая из воздуха в стекло под углом к границе. Это понятие позволяет описывать, почему свет меняет ход в линзах и других оптических системах.

Показатель преломления среды — величина n, равная отношению скорости света в вакууме к скорости волны в среде: n = c/v. Здесь c — скорость света в вакууме, а v — скорость в рассматриваемой среде. По этому показателю можно сравнивать скорости распространения волн в разных веществах.

Угол падения и угол преломления — углы между соответствующими лучами и нормалью к границе раздела сред. Нормаль — перпендикуляр к поверхности в точке, где луч пересекает границу. Такое определение нужно, чтобы одинаково измерять углы и применять закон преломления.

Закон преломления — соотношение n₁ sin α = n₂ sin β, связывающее углы и показатели преломления двух сред. Индексы 1 и 2 обозначают среду, из которой волна приходит, и среду, в которую она входит. Закон позволяет найти неизвестный угол или показатель преломления.

Как это устроено

Электромагнитная волна взаимодействует с веществом, поэтому её скорость в среде отличается от скорости в вакууме. Частота колебаний задаётся источником, а на границе колебания передаются дальше с тем же ритмом, что и в первой среде. Поэтому при переходе меняется скорость, но частота ν остаётся прежней.

Длина волны связана со скоростью и частотой формулой λ = v/ν. Если частота сохраняется, а скорость в новой среде стала меньше, за один период волна проходит меньшее расстояние, поэтому длина волны уменьшается. В среде с большей скоростью при той же частоте длина волны, наоборот, больше.

При наклонном падении разные участки волнового фронта достигают границы не одновременно. Та часть фронта, которая первой попала во вторую среду, уже движется с новой скоростью, пока остальная часть ещё распространяется по прежней. Из-за этой разницы скоростей фронт поворачивается, а направление распространения волны меняется.

Закон преломления можно получить из построения волновых фронтов. За одинаковое время участки волны проходят в первой и второй средах расстояния, пропорциональные скоростям v₁ и v₂; из прямоугольных треугольников построения следуют отношения sin α и sin β к этим расстояниям. Поэтому sin α/sin β = v₁/v₂, а с учётом n = c/v получается n₁ sin α = n₂ sin β.

Если волна входит в среду с большим показателем преломления, её скорость уменьшается. Тогда угол β должен быть меньше угла α, чтобы закон n₁ sin α = n₂ sin β выполнялся: луч приближается к нормали. При переходе в среду с меньшим n скорость возрастает, и луч отклоняется от нормали; при падении точно по нормали направления до и после границы совпадают.

Изменение характеристик электромагнитной волны при преломлении

Сначала определите, какие среды сравниваются и как соотносятся их показатели преломления. Затем выберите строку с нужной характеристикой: для скорости используйте v = c/n, для углов — закон преломления. Помните, что частота сохраняется, а длина волны меняется вместе со скоростью.

Разбор задач

Задача 1. Электромагнитная волна частотой 6,0·10¹⁴ Гц распространяется в стекле с показателем преломления 1,5. Определите её скорость и длину волны. Сначала найдём скорость в стекле, затем подставим её и частоту в формулу длины волны.

1. Используем v = c/n: v = 3,0·10⁸/1,5 = 2,0·10⁸ м/с.
2. Находим длину волны: λ = v/ν = 2,0·10⁸/(6,0·10¹⁴) м.
3. Вычисляем: λ ≈ 3,3·10⁻⁷ м. Частота в стекле остаётся равной заданной.

Ответ: скорость равна 2,0·10⁸ м/с, длина волны — примерно 3,3·10⁻⁷ м, или 330 нм.

Задача 2. Луч переходит из воздуха в стекло с n₂ = 1,6 под углом 40° к нормали. Найдите угол преломления. Для воздуха примем n₁ ≈ 1; углы в законе отсчитываются от нормали, поэтому заданный угол можно подставить напрямую.

1. Записываем закон: n₁ sin α = n₂ sin β.
2. Выражаем синус угла преломления: sin β = (1/1,6) sin 40° ≈ 0,402.
3. Находим угол: β = arcsin(0,402) ≈ 24°.

Ответ: угол преломления примерно 24°. Он меньше 40°, что согласуется с переходом в среду с большим показателем преломления: луч приближается к нормали.

Задача 3. Найдите предельный угол полного внутреннего отражения на границе стекло–воздух, если показатель преломления стекла равен 1,5. Полное внутреннее отражение возможно, когда волна идёт из стекла в воздух, то есть из среды с большим n в среду с меньшим. При предельном угле преломлённый луч скользит вдоль границы.

1. При предельном угле β = 90°, поэтому из закона преломления sin αпр = n₂/n₁.
2. Подставляем n₂ ≈ 1 для воздуха и n₁ = 1,5: sin αпр = 1/1,5 ≈ 0,667.
3. Вычисляем: αпр = arcsin(0,667) ≈ 42°.

Ответ: предельный угол составляет примерно 42°. Полное внутреннее отражение происходит при углах падения, больших этого значения.

Типичные ошибки

Измерять углы от поверхности. Так поступают, потому что луч и граница заметны на схеме, а нормаль можно не сразу заметить. Но закон использует углы именно между лучами и нормалью. Проверьте чертёж: при падении по нормали угол должен быть 0°, а не 90°.

Считать, что меняется частота. Ошибка возникает из-за того, что при переходе меняются скорость и длина волны, и эти изменения ошибочно связывают с частотой. Частоту сохраняет источник колебаний, поэтому на границе ν₁ = ν₂. Проверьте ответ равенством λ = v/ν: если изменились v и λ, их отношение должно оставаться согласованным с прежней частотой.

Использовать n = v/c. Показатель нередко путают с отношением скорости в среде к скорости света в вакууме. По определению n = c/v, поэтому в обычной прозрачной среде скорость v = c/n. Самопроверка простая: если n больше единицы, скорость в такой среде должна быть меньше c.

Искать полное внутреннее отражение при переходе в более плотную среду. Это условие путают с обычным преломлением, при котором луч меняет направление на границе. Полное внутреннее отражение возможно только при переходе из среды с большим n в среду с меньшим n. Перед расчётом проверьте направление перехода и убедитесь, что отношение n₂/n₁ не превышает единицу.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны скорость, частота и длина волны, представление о распространении волн, умение проводить нормаль и работать с тригонометрическими функциями. Электрическое и магнитное поля электромагнитной волны переносят энергию, а скорость распространения зависит от свойств среды. Закон преломления связывает эту зависимость с изменением направления волны. Позже те же идеи понадобятся при изучении линз и оптических приборов, волоконной оптики, радиосвязи и распространения волн в разных средах.

Что запомнить

• Преломление — изменение направления волны на границе двух сред.
• Показатель преломления среды равен n = c/v.
• При преломлении частота волны не изменяется.
• Скорость и длина волны в новой среде изменяются.
• Закон преломления имеет вид n₁ sin α = n₂ sin β.
• В среде с большим показателем преломления луч отклоняется к нормали.
• Полное внутреннее отражение возможно только при переходе из среды с большим n в среду с меньшим n.