§ 26*. Эффект Доплера

Определения и обозначения

Эффект Доплера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых наблюдателем при относительном движении источника и наблюдателя. Иными словами, наблюдатель может получать волны чаще или реже, чем их испускает источник. Понятие нужно, чтобы объяснять изменение высоты звука сирены и измерять движение объектов по сдвигу частоты.

Наблюдаемая частота — частота волн, которую измеряет движущийся или неподвижный наблюдатель; её обозначают f′. Это число волновых фронтов, приходящих к наблюдателю за секунду. Сравнение f′ с частотой источника f показывает, сближаются участники или удаляются, и позволяет оценить скорость движения.

Относительное движение источника и наблюдателя — их сближение или удаление, определяющее изменение наблюдаемой частоты. Для звука важно уточнять, как каждый из них движется относительно воздуха, а не только друг относительно друга. Это различие понадобится при выборе скоростей и знаков в формуле.

Скорость распространения волны — скорость, с которой волна движется в среде; для звука она отсчитывается относительно среды. Обозначим её v, скорость наблюдателя — vн, а скорость источника — vи. Связь скорости, длины волны λ и частоты имеет вид v = λf и помогает вывести формулы эффекта Доплера.

Как это устроено

Если источник и наблюдатель неподвижны относительно среды, соседние фронты волн доходят до наблюдателя через одинаковые интервалы времени. При сближении за тот же промежуток времени он проходит навстречу волнам, поэтому встречает больше фронтов за секунду. При удалении часть его движения направлена от фронтов, и число встреч в секунду становится меньше; так меняется наблюдаемая частота даже при неизменной частоте источника.

Движение наблюдателя не успевает изменить расстояние между уже распространяющимися фронтами: его задают источник и среда. Меняется скорость, с которой фронты пересекают наблюдателя. Если наблюдатель движется к источнику со скоростью vн, скорость встречи равна v + vн, а при удалении — v − vн. Поэтому при неподвижном источнике частота равна f′ = f(v + vн)/v или f′ = f(v − vн)/v соответственно.

Движущийся источник за время между испусканиями двух последовательных фронтов успевает сместиться. При движении к наблюдателю следующий фронт испускается ближе к нему, так что расстояние между фронтами уменьшается; при удалении оно увеличивается. Скорость распространения звука при этом остаётся v относительно среды. Поскольку f = v/λ, укорочение λ повышает частоту, а увеличение λ понижает её.

Для движущегося источника частота испускания равна f, поэтому за период T = 1/f он смещается на vиT. Впереди источника длина волны становится λ = (v − vи)T, а сзади — λ = (v + vи)T. Подставляя их в f′ = v/λ, получаем для неподвижного наблюдателя f′ = fv/(v − vи) при приближении источника и f′ = fv/(v + vи) при удалении. Если источник и наблюдатель движутся навстречу, оба изменения усиливают сдвиг: f′ = f(v + vн)/(v − vи).

Для звука есть среда — воздух, вода или другое вещество, и скорость звука задаётся относительно неё. Поэтому движение источника и наблюдателя нельзя свести только к скорости одного относительно другого: например, воздух может двигаться вместе с одним из них. Свет, напротив, распространяется в вакууме и не требует среды. Для световых волн эффект Доплера описывают с учётом специальной теории относительности, а не акустическими формулами.

Изменение частоты при движении источника и наблюдателя

Сначала определите, кто движется относительно среды и в какую сторону, затем выберите соответствующую строку. При сближении ожидайте частоту выше исходной, при удалении — ниже: эта проверка помогает заметить неверный знак. Если движутся оба участника, учитывайте отдельно влияние наблюдателя в числителе и источника в знаменателе.

Разбор задач

Сирена неподвижного автомобиля излучает звук частотой 800 Гц. Наблюдатель движется навстречу автомобилю со скоростью 10 м/с, скорость звука равна 340 м/с. Найдём частоту, которую он услышит. Поскольку источник неподвижен, меняется только скорость встречи наблюдателя с фронтами волн.

1. Выбираем формулу для движущегося наблюдателя при приближении: f′ = f(v + vн)/v.
2. Подставляем данные: f′ = 800 · (340 + 10)/340.
3. Вычисляем: f′ ≈ 823,5 Гц; результат больше 800 Гц, как и должно быть при сближении.

Ответ: наблюдатель услышит звук частотой примерно 824 Гц. Знак плюс выбран потому, что он движется навстречу фронтам волн. Скорость источника в расчёте не появляется: автомобиль неподвижен относительно воздуха.

Источник звука частотой 600 Гц движется к неподвижному наблюдателю со скоростью 20 м/с. Скорость звука равна 340 м/с. Здесь наблюдатель не меняет скорость встречи своим движением, зато источник сокращает расстояние между фронтами волн впереди себя. Значит, нужна формула для движущегося источника при приближении.

1. Записываем f′ = fv/(v − vи): скорость источника стоит в знаменателе, и при приближении из v её вычитают.
2. Подставляем: f′ = 600 · 340/(340 − 20) = 204000/320.
3. Вычисляем: f′ = 637,5 Гц. Частота выше исходных 600 Гц, что согласуется с укорочением волны перед источником.

Ответ: наблюдатель услышит частоту 637,5 Гц. Делить нужно на 320 м/с, поскольку источник движется к наблюдателю и уменьшает длину волны. Подстановка скорости источника в числитель описывала бы не тот физический эффект.

Поезд движется со скоростью 25 м/с и подаёт гудок частотой 500 Гц, а наблюдатель движется навстречу поезду со скоростью 5 м/с. Найдём частоту до встречи и после неё при скорости звука 340 м/с. До встречи источник и наблюдатель сближаются, а сразу после встречи удаляются друг от друга. Поэтому в формулах нужно поменять знаки и в числителе, и в знаменателе.

1. До встречи используем f′ = f(v + vн)/(v − vи): f′ = 500 · 345/315 ≈ 547,6 Гц.
2. После встречи наблюдатель удаляется от источника, а источник — от наблюдателя. Поэтому f′ = f(v − vн)/(v + vи).
3. Подставляем: f′ = 500 · 335/365 ≈ 458,9 Гц. Частота до встречи выше 500 Гц, после — ниже, как ожидается при смене сближения на удаление.

Ответ: до встречи частота примерно 548 Гц, после встречи — примерно 459 Гц. Нельзя использовать одну формулу для обоих моментов, потому что направления движения относительно друг друга изменились. Скорости в обоих расчётах остаются скоростями относительно воздуха.

Типичные ошибки

Скорость источника иногда ставят в числитель, потому что смешивают его движение с движением наблюдателя. Но источник меняет расстояние между фронтами волн, то есть длину волны; поэтому его скорость входит в знаменатель выражения f′ = fv/(v ∓ vи). Проверьте себя: при приближении источника знаменатель должен уменьшаться, а наблюдаемая частота — возрастать.

Другая ошибка — использовать только относительную скорость источника и наблюдателя, не упоминая среду. Так поступают, перенося на звук интуицию о сближении двух тел, хотя скорость звуковой волны измеряется относительно воздуха. Определите скорость каждого участника относительно среды и лишь затем подставляйте их в формулу. Проверка особенно важна, если движется воздух или один из объектов движется вместе с ним.

Неправильный знак обычно выбирают, не проверив, растёт или уменьшается частота в данной ситуации. При сближении в числителе для движущегося наблюдателя берут плюс, а в знаменателе для движущегося источника — минус; при удалении знаки противоположны. После расчёта сравните результат с исходной частотой: приближение должно давать большее значение, удаление — меньшее. Если проверка не проходит, пересмотрите направление движения и знаки.

Акустическую формулу иногда применяют к свету, заменяя скорость звука скоростью света. Но формулы для звука учитывают движение относительно среды, а свет не распространяется в такой среде. Для световых волн нужна релятивистская формула Доплера, учитывающая специальную теорию относительности. Проверьте, что именно рассматривается в задаче: звук в веществе или свет, и только потом выбирайте модель.

Связь с другими темами

Для расчётов эффекта Доплера нужны связь скорости, длины волны и частоты v = λf, представление о волновом фронте и понятие относительной скорости. Волновой фронт — поверхность, на которой колебания имеют одинаковую фазу; по тому, как часто фронты пересекают наблюдателя, определяется частота. Те же знания применяют в радиолокации, медицинской диагностике кровотока и измерении скоростей автомобилей. По сдвигу частоты света астрономы также судят о движении звёзд и галактик.

Что запомнить

• При сближении источника и наблюдателя наблюдаемая частота увеличивается.
• При удалении источника и наблюдателя наблюдаемая частота уменьшается.
• Движение наблюдателя изменяет частоту встречи с волновыми фронтами.
• Движение источника изменяет расстояние между фронтами и длину волны.
• В формуле для движущегося наблюдателя его скорость стоит в числителе.
• В формуле для движущегося источника его скорость стоит в знаменателе.
• Для звука скорости источника и наблюдателя рассматривают относительно среды.