§ 53. Эффект Доплера

Определения и обозначения

Эффект Доплера — изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем, из-за относительного движения источника и наблюдателя. Иначе говоря, испущенная и услышанная частоты могут не совпадать, хотя источник колеблется с прежней частотой. Это понятие помогает описать изменение звука сирены, когда автомобиль проезжает мимо слушателя.

Частота источника — число колебаний, испускаемых источником за единицу времени; её обозначают ν. Например, источник с частотой 500 Гц создаёт 500 звуковых колебаний за секунду. Зная ν, можно сравнить собственный тон источника с тем, который услышит движущийся наблюдатель.

Скорость источника — скорость его движения относительно среды; обозначение — uₛ. Для звука важно именно движение относительно воздуха, а не только относительно слушателя, потому что колебания распространяются в среде. Эта скорость определяет, как меняется расстояние между волновыми фронтами, испущенными в разные моменты.

Скорость наблюдателя — скорость его движения относительно среды; обозначение — uₙ. Она показывает, как быстро наблюдатель движется навстречу волновым фронтам или удаляется от них. Эта величина нужна, чтобы учесть, сколько фронтов он встречает за секунду.

Как это устроено

Источник излучает волновые фронты через равные промежутки времени, но при движении каждый следующий фронт начинается не там, где предыдущий. Если источник движется вперёд, он успевает приблизиться к месту излучения следующего фронта. Поэтому перед ним фронты располагаются теснее, а позади — дальше друг от друга. Расстояние между соседними фронтами и есть длина волны.

Когда источник приближается к неподвижному наблюдателю, до него доходят более тесно расположенные фронты. За одну секунду наблюдатель встречает больше волн, поэтому воспринимаемая частота возрастает. При удалении источник оставляет фронты дальше друг от друга, и число встреч за секунду уменьшается. Значит, звук становится ниже, хотя частота колебаний самого источника может оставаться прежней.

Наблюдатель тоже может двигаться относительно среды. Если он идёт навстречу волне, то пересекает её фронты чаще, чем неподвижный слушатель, поэтому слышит повышенную частоту. Двигаясь вслед за волной в том же направлении, он встречает фронты реже. В этом случае частота уменьшается, хотя расстояние между фронтами в среде не меняется.

Для звука в неподвижной среде оба воздействия объединяются формулой ν′ = ν(v + uₙ)/(v − uₛ), где v — скорость звука, а ν′ — воспринимаемая частота. Скорости выбирают положительными, когда наблюдатель движется к источнику, а источник — к наблюдателю; при движении в противоположную сторону соответствующую скорость берут со знаком минус. Скорость наблюдателя стоит в числителе, потому что влияет на частоту встречи с волнами. Скорость источника стоит в знаменателе, так как меняет длину волны.

Движение источника и движение наблюдателя нельзя считать одним и тем же случаем. Источник меняет расположение фронтов в самой среде, а наблюдатель — скорость, с которой пересекает уже распространяющиеся фронты. Поэтому одинаковая относительная скорость в двух ситуациях не обязательно даст одинаковое изменение частоты звука. Для расчётов нужно учитывать скорости каждого участника именно относительно среды.

Изменение воспринимаемой частоты звука

Сначала определите, кто движется относительно среды, а затем выберите соответствующую строку. При сближении частота должна возрастать, при удалении — уменьшаться; это позволяет проверить знак в формуле. Если движутся оба участника, используйте общую формулу и учтите обе скорости.

Разбор задач

Задача 1. Неподвижный наблюдатель слышит сирену частотой 500 Гц. Источник приближается со скоростью 20 м/с, скорость звука равна 340 м/с. Найти воспринимаемую частоту. Наблюдатель не движется, поэтому uₙ = 0, а приближение источника означает uₛ = 20 м/с.

1. Выбираем формулу для движущегося источника и неподвижного наблюдателя: ν′ = νv/(v − uₛ).
2. Подставляем значения: ν′ = 500 · 340/(340 − 20) = 170 000/320.
3. Делим: ν′ ≈ 531 Гц. Частота выше исходной, что соответствует приближению источника.

Ответ: наблюдатель услышит звук частотой примерно 531 Гц.

Задача 2. Неподвижный источник издаёт звук частотой 600 Гц. Наблюдатель удаляется от него со скоростью 10 м/с, скорость звука равна 340 м/с. Определить воспринимаемую частоту. Источник неподвижен, поэтому длина волны не меняется; наблюдатель движется вслед за волной, значит, встречает меньше фронтов за секунду.

1. Берём формулу для движущегося наблюдателя: ν′ = ν(v − uₙ)/v, так как наблюдатель удаляется.
2. Подставляем данные: ν′ = 600 · (340 − 10)/340 = 600 · 330/340.
3. Вычисляем: ν′ ≈ 582 Гц. Получилось меньше 600 Гц, как и должно быть при удалении.

Ответ: воспринимаемая частота составляет примерно 582 Гц.

Задача 3. Источник частотой 700 Гц движется к наблюдателю со скоростью 15 м/с, а наблюдатель движется навстречу источнику со скоростью 5 м/с. Скорость звука равна 340 м/с. Оба движения усиливают эффект: источник сближает фронты, а наблюдатель быстрее встречает их.

1. Используем общую формулу: ν′ = ν(v + uₙ)/(v − uₛ). Обе скорости направлены на сближение, поэтому берутся со знаком плюс в числителе и вычитаются в знаменателе.
2. Подставляем данные: ν′ = 700 · (340 + 5)/(340 − 15) = 700 · 345/325.
3. Получаем ν′ ≈ 743 Гц. Частота больше исходной, поскольку источник и наблюдатель сближаются.

Ответ: наблюдатель услышит звук частотой примерно 743 Гц.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами скорости источника и наблюдателя в формуле. Её допускают, потому что обе скорости связаны с изменением воспринимаемой частоты, но они описывают разные процессы. Проверка: скорость источника должна менять длину волны, поэтому она стоит в знаменателе, а скорость наблюдателя учитывает встречу с фронтами и стоит в числителе.

Вторая ошибка — выбрать знаки так, что при сближении частота уменьшается, а при удалении возрастает. Обычно это происходит, если не нарисовать направления движения или сразу подставить скорость без анализа ситуации. Проверьте результат по смыслу: при сближении частота выше исходной, при удалении — ниже.

Третья ошибка — считать, что скорости источника и наблюдателя входят в формулу одинаково. Так кажется, если рассматривать только относительную скорость между ними и забыть о среде. Чтобы проверить решение, отдельно установите, меняет ли движение источника длину волны или движение наблюдателя — частоту встречи с фронтами.

Четвёртая ошибка — использовать обычную формулу для дозвукового движения, не проверив скорость источника. Если uₛ равна или больше v, знаменатель v − uₛ обращается в ноль или становится отрицательным, и привычная схема расчёта неприменима. До подстановки убедитесь, что источник движется медленнее звука и выбранная модель подходит к условию.

Связь с другими темами

Для понимания эффекта нужны частота, период и длина волны, а также связь v = λν. Она показывает, как скорость распространения, длина волны и частота связаны друг с другом. Доплеровский сдвиг — так называют изменение воспринимаемой частоты — применяется при изучении механических волн и звука.

Измеряя сдвиг частоты, можно оценить скорость движущегося объекта. Похожий принцип используют при изучении спектров небесных тел: смещение спектральных линий помогает судить об их движении. Если свет от объекта смещён к красной части спектра, говорят о красном смещении.

Что запомнить

• Эффект Доплера — изменение наблюдаемой частоты при относительном движении.
• При сближении источника и наблюдателя воспринимаемая частота возрастает.
• При удалении источника и наблюдателя воспринимаемая частота уменьшается.
• Движение источника изменяет длину волны в среде.
• Движение наблюдателя изменяет частоту встречи с волновыми фронтами.
• Для звука нужно учитывать движение относительно среды.