§ 33. Применение интерференции

Определения и обозначения

Интерференционная картина — устойчивое распределение максимумов и минимумов интенсивности, возникающее при наложении когерентных волн. Когерентные волны имеют одинаковую частоту и сохраняют постоянную разность фаз. По положению полос можно судить о разности хода и измерять малые изменения пути света.

Интерферометр — прибор, разделяющий световой пучок на два когерентных пучка и позволяющий сравнивать их оптические пути. Оптический путь равен произведению геометрической длины пути на показатель преломления среды. Прибор превращает небольшое изменение этого пути в заметное смещение полос или изменение яркости.

Кольца Ньютона — система концентрических интерференционных колец, возникающая в тонком воздушном зазоре между линзой и пластинкой. Толщина зазора меняется с расстоянием от точки касания, поэтому в разных местах выполняются условия максимума и минимума. Из радиусов колец можно найти параметры линзы и длину волны.

Просветление оптики — нанесение тонкой плёнки, уменьшающей отражение света за счёт интерференции. Отражённые от двух границ плёнки волны подбирают так, чтобы они гасили друг друга. Это повышает долю света, проходящего через линзу или другую оптическую деталь.

Как это устроено

Положение полос определяется разностью фаз волн в месте наблюдения. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн, волны приходят в фазе и дают максимум; при разности, равной нечётному числу половин волн, возникает минимум. При отражении от границы с оптически более плотной средой фаза волны скачком меняется на π, что эквивалентно добавлению λ/2 к разности хода. Поэтому одного геометрического расстояния между лучами недостаточно: нужно учитывать и среду, и отражения.

В тонкой плёнке свет отражается от её верхней и нижней границ, а затем две отражённые волны накладываются. Их оптическая разность хода зависит от толщины плёнки, показателя преломления и угла распространения лучей. При белом свете длина волны для каждого цвета своя, поэтому одни цвета усиливаются, а другие ослабляются: так появляются цветные полосы и разводы. В зазоре между линзой и пластинкой толщина плавно возрастает от центра, и места одинаковой толщины образуют окружности — кольца Ньютона.

Интерференционная картина служит измерительной шкалой, потому что изменение разности хода на одну длину волны переводит соседние максимумы друг в друга. Считая полосы при перемещении детали, можно измерить малое перемещение; измеряя радиусы колец и зная геометрию установки, можно определить длину волны или радиус кривизны линзы. Для плёнки измеряют положение полос и связывают его с толщиной. Такая оценка точнее прямого измерения малых расстояний обычной линейкой.

В интерферометре исходный пучок разделяют на два, например полупрозрачной пластинкой. Пучки проходят разные пути, отражаются от зеркал и возвращаются к месту разделения, где снова складываются. Если пути одинаковы и условия не меняются, картина остаётся постоянной; перемещение зеркала меняет фазу одного пучка и сдвигает полосы. Наблюдая число прошедших полос, можно вычислить изменение оптической разности хода.

Для просветления выбирают толщину плёнки так, чтобы отражённые от её границ волны пришли в противофазе. Если показатель преломления плёнки находится между показателями воздуха и стекла, при отражении от обеих границ фаза меняется одинаково, поэтому дополнительной разницы фаз из-за отражений нет. При нормальном падении минимальная толщина плёнки равна λ/(4n), где n — её показатель преломления: путь туда и обратно в плёнке составляет половину длины волны. Тогда отражённые волны гасят друг друга, а пропускание света увеличивается.

Основные применения интерференции

Сначала определите, какие именно волны складываются: отражённые от границ плёнки или пучки из разных плеч интерферометра. Затем сопоставьте наблюдаемую картину с измеряемой величиной: кольца связаны с толщиной зазора, а сдвиг полос — с изменением оптического пути. Для расчётов обязательно учитывайте фазовые скачки при отражении.

Разбор задач

Длина волны по кольцам Ньютона

Условие. На поверхности стекла наблюдаются тёмные кольца Ньютона. Измерены радиусы двух колец r₁ и r₂, а радиус кривизны линзы R известен. Требуется определить длину волны λ, не зная возможную толщину зазора в центре. Решение удобно строить через зависимость квадрата радиуса от номера кольца.

1. Для тёмного кольца в отражённом свете запишем условие с учётом фазового скачка: 2t = mλ, где t — толщина зазора, m — номер кольца.
2. При малых расстояниях от центра геометрия линзы даёт t = t₀ + r²/(2R), где t₀ — неизвестная толщина в центре. Значит, rₘ² = R(mλ − 2t₀).
3. Запишем это равенство для обоих колец и вычтем: r₂² − r₁² = R(m₂ − m₁)λ. Неизвестное t₀ исчезает, что и было целью вычитания.
4. Если кольца соседние, m₂ − m₁ = 1, поэтому λ = (r₂² − r₁²)/R. Для колец через несколько номеров результат нужно разделить на разность их номеров.

Ответ. Для соседних тёмных колец длина волны равна λ = (r₂² − r₁²)/R. Радиусы предварительно следует выразить в метрах, чтобы λ получилась в метрах. Если центр зазора имеет ненулевую толщину, формула с разностью радиусов всё равно устраняет её влияние.

Минимальная толщина просветляющей плёнки

Условие. На стеклянную линзу с показателем преломления nст нанесена плёнка с показателем nп, причём показатель плёнки меньше показателя стекла. Нужно найти минимальную толщину, при которой отражение света с заданной длиной волны λ ослабляется. Предполагается, что свет падает перпендикулярно поверхности, а плёнка имеет показатель выше показателя воздуха.

1. На границе воздух–плёнка отражённая волна отражается от оптически более плотной среды и получает скачок фазы π.
2. На границе плёнка–стекло отражение также происходит от более плотной среды, поэтому возникает такой же скачок. Скачки одинаковы и не создают относительного сдвига фаз между двумя отражёнными волнами.
3. Чтобы волны гасили друг друга, дополнительная разность фаз должна возникнуть из-за пути в плёнке. При нормальном падении путь туда и обратно равен 2t, а оптическая разность хода — 2nпt.
4. Для минимума отражения требуется 2nпt = λ/2 для минимальной ненулевой толщины. Отсюда t = λ/(4nп).

Ответ. Минимальная толщина покрытия равна t = λ/(4nп). В формулу подставляют показатель преломления именно плёнки, а не стекла. Если один из фазовых скачков отсутствует, условие нужно пересмотреть: одинаковая формула для отражения подходит не во всех сочетаниях сред.

Длина волны по перемещению зеркала

Условие. В интерферометре зеркало переместили на 0,30 мм, и в поле зрения прошло 1000 интерференционных полос. Требуется определить длину волны света. Пучок проходит путь до зеркала и возвращается после отражения, поэтому изменение пути не равно одному перемещению зеркала.

1. При сдвиге зеркала на d свет проходит дополнительно d до него и ещё d на обратном пути. Изменение оптической разности хода равно 2d.
2. При изменении разности хода на одну длину волны картина сдвигается на одну полосу. Поэтому N прошедшим полосам соответствует изменение разности хода Nλ.
3. Приравняем изменения: Nλ = 2d, откуда λ = 2d/N. Переведём перемещение в метры: 0,30 мм = 3,0 · 10⁻⁴ м.
4. Подставим данные: λ = 2 · 3,0 · 10⁻⁴ м / 1000 = 6,0 · 10⁻⁷ м.

Ответ. Длина волны равна 6,0 · 10⁻⁷ м, или 600 нм. Это видимый свет. Проверка порядка величины показывает, что результат правдоподобен.

Типичные ошибки

Считать геометрическую разность хода полной оптической разностью хода. Так делают, когда забывают, что свет в среде с показателем преломления n набирает фазу быстрее, чем в вакууме. Оптический путь в однородной среде равен nl, поэтому геометрически одинаковые пути в разных средах не обязательно дают одинаковую фазу. Проверьте себя: для каждого участка пути запишите произведение его длины на показатель преломления и сложите результаты.

Забывать о скачке фазы при отражении. При отражении от оптически более плотной среды фаза меняется на π, что соответствует добавлению половины длины волны. Эту поправку часто упускают, потому что рассматривают только путь лучей до отражения. Проверьте обе границы и сравните показатели преломления: если скачок есть лишь у одной волны, условие максимума или минимума меняется.

Применять одно и то же условие максимума или минимума в отражённом и прошедшем свете. Условия могут различаться из-за фазовых скачков при отражении, а также из-за того, какие именно волны складываются в наблюдаемом направлении. Ошибку допускают, механически перенося формулу из одной задачи в другую. Перед расчётом выпишите отражённые или прошедшие волны и учтите относительный сдвиг фаз на границах.

Учитывать перемещение зеркала только один раз. Зеркало смещается, а луч проходит изменённый участок и до него, и после отражения. Поэтому изменение разности хода равно 2d, а не d. Самопроверка проста: нарисуйте путь туда и обратно и посчитайте, на сколько увеличился каждый участок.

Связь с другими темами

Для понимания применений интерференции нужны условия максимумов и минимумов, понятия разности хода и фазы, а также законы отражения и преломления. Эти знания позволяют учитывать оптический путь и фазовые скачки на границах сред. Без них нельзя правильно определить, усилятся ли волны или погасят друг друга.

Тема связана с распространением света в тонких плёнках, дифракцией и волновой оптикой: во всех случаях наблюдаемая картина определяется сложением волн. Практические применения интерференции — оптические измерения, изготовление просветлённых линз, спектроскопия и точная метрология. В этих областях интерференционная картина помогает обнаруживать изменения, слишком малые для прямого измерения.

Что запомнить

• Интерференция позволяет измерять величины, которые нельзя определить непосредственно.
• Интерференционная картина зависит от оптической, а не только геометрической разности хода.
• В тонких плёнках интерферируют волны, отражённые от разных границ плёнки.
• Кольца Ньютона образуются из-за изменения толщины воздушного зазора от центра к краям.
• В интерферометре перемещение зеркала изменяет оптическую разность хода в два раза больше самого перемещения.
• Просветление оптики основано на гашении отражённых волн интерференцией.