"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Глазунов А.Т., Орлов В.А. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
При скоростях, близких к скорости света, привычные формулы механики уже не дают правильных результатов. Специальная теория относительности описывает движение через коэффициент Лоренца, релятивистский импульс и полную энергию, которая включает энергию покоя. Связь E² = p²c² + m₀²c⁴ помогает находить массу и характеристики частиц при столкновениях и превращениях. При этом инвариантная масса не меняется от выбора системы отсчёта, а тело с ненулевой массой покоя не может разогнаться до света.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия покоя — энергия тела, связанная с его инвариантной массой: E₀ = m₀c². Здесь m₀ — масса покоя, а c — скорость света в вакууме. Эта формула показывает, что масса соответствует запасу энергии даже тогда, когда тело не движется.
Релятивистский импульс — импульс тела при больших скоростях: p = γm₀v, где γ = 1/√(1 − v²/c²). Коэффициент γ учитывает отличие движения от классической механики. Благодаря ему формула правильно описывает импульс при скоростях, близких к c.
Полная энергия — сумма энергии покоя и кинетической энергии тела: E = γm₀c². При покое она равна E₀, а при движении включает дополнительную кинетическую энергию. Поэтому кинетическую энергию находят как Eₖ = E − E₀.
Инвариантная масса — масса тела, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта и связанная с энергией и импульсом соотношением E² = p²c² + m₀²c⁴. Эта связь позволяет определять массу по измеренным энергии и импульсу. Она применима и к системе частиц, если известны её суммарные энергия и импульс.
Классические формулы импульса p = m₀v и кинетической энергии Eₖ = m₀v²/2 основаны на приближении малых скоростей по сравнению с c. При больших скоростях преобразования между системами отсчёта уже не являются преобразованиями Галилея: пространство и время связаны преобразованиями Лоренца. Поэтому нельзя считать, что импульс и энергия продолжают зависеть от скорости по прежним правилам. Нужны выражения, согласованные с постоянством скорости света и релятивистскими законами сохранения.
Формула импульса получается из требования, чтобы импульс и энергия преобразовывались между системами отсчёта согласованно с преобразованиями Лоренца. Для тела, покоящегося в собственной системе, энергия равна m₀c², а импульс равен нулю. После перехода к системе, где тело движется, пространственная составляющая релятивистского четырёхимпульса становится p = γm₀v. При малой скорости γ почти равен единице, поэтому остаётся знакомое приближение p ≈ m₀v.
Полная энергия E = γm₀c² содержит энергию покоя и энергию движения. При увеличении скорости растёт γ, а значит, увеличиваются полная энергия и импульс тела. Кинетическая энергия — не вся энергия движущегося тела, а только превышение полной энергии над энергией покоя: Eₖ = E − E₀. Такое разделение важно, например, когда рассчитывают энергию, которую можно передать при столкновении.
Подставим формулы E = γm₀c² и p = γm₀v в выражение E² − p²c². Получим γ²m₀²c⁴(1 − v²/c²), а поскольку γ²(1 − v²/c²) = 1, результат равен m₀²c⁴. Так возникает связь E² = p²c² + m₀²c⁴. При покое p = 0, и она даёт E = m₀c²; для частицы с нулевой массой покоя она превращается в E = pc.
При v ≪ c коэффициент Лоренца можно приближённо записать как γ ≈ 1 + v²/(2c²). Тогда импульс становится близок к m₀v, а Eₖ = (γ − 1)m₀c² — к m₀v²/2. Но при приближении скорости к c коэффициент γ неограниченно растёт. Для тела с ненулевой m₀ это означает неограниченный рост необходимой энергии: конечным её количеством разогнать тело до скорости света невозможно.
| Величина | Формула | Физический смысл | Классический предел или частный случай |
|---|---|---|---|
| Инвариантная масса | m₀ = √(E² − p²c²)/c² | Собственная масса тела или системы, не зависящая от системы отсчёта | Для покоящегося тела E = m₀c² |
| Коэффициент Лоренца | γ = 1/√(1 − v²/c²) | Учитывает релятивистское отличие величин от классических | При v ≪ c: γ ≈ 1 |
| Релятивистский импульс | p = γm₀v | Импульс движущегося тела | При v ≪ c: p ≈ m₀v |
| Энергия покоя | E₀ = m₀c² | Энергия, соответствующая массе покоя | Сохраняется как часть полной энергии |
| Полная энергия | E = γm₀c² | Энергия покоя вместе с энергией движения | При v = 0: E = E₀ |
| Кинетическая энергия | Eₖ = (γ − 1)m₀c² | Прирост полной энергии относительно покоя | При v ≪ c: Eₖ ≈ m₀v²/2 |
| Связь энергии и импульса | E² = p²c² + m₀²c⁴ | Связывает три величины независимо от выбора системы отсчёта | При p = 0: E = m₀c² |
| Частица с нулевой массой покоя | E = pc | Энергия и импульс частицы связаны без слагаемого m₀²c⁴ | Пример — фотон |
Сначала определите, какие величины известны и требуется найти: при известной скорости удобно использовать γ, а при заданных энергии и импульсе — связь E² = p²c² + m₀²c⁴. Для медленного движения можно проверить ответ по классическому пределу. Для частицы с нулевой массой покоя используйте частный случай E = pc.
Задача 1. Тело с массой покоя m₀ движется со скоростью 0,6c. Найти γ, релятивистский импульс, полную и кинетическую энергию. Скорость дана как доля от c, поэтому удобно сначала вычислить безразмерный коэффициент Лоренца. Затем подставим его в формулы импульса и энергии, сохраняя m₀ и c в ответах.
Ответ: γ = 1,25; p = 0,75m₀c; E = 1,25m₀c²; Eₖ = 0,25m₀c². Проверка по связи энергии и импульса даёт те же значения: E² − p²c² = m₀²c⁴. Значит, найденные величины согласованы с инвариантной массой тела.
Задача 2. Полная энергия частицы в четыре раза больше энергии покоя. Найти скорость и импульс. Отношение E/E₀ сразу задаёт γ, потому что E = γm₀c², а E₀ = m₀c². После нахождения γ найдём скорость и подставим её в формулу импульса.
Ответ: v = (√15/4)c, или примерно 0,968c; p = √15m₀c. Скорость меньше c, хотя энергия в четыре раза превышает энергию покоя. Дополнительно формула E² = p²c² + m₀²c⁴ подтверждает найденный импульс.
Задача 3. Две частицы движутся навстречу друг другу и после столкновения образуют одну составную частицу. Даны энергии E₁, E₂ и импульсы p₁, p₂; требуется найти её инвариантную массу. Числовые значения в условии не заданы, поэтому решение запишем через эти величины. Сначала применяем законы сохранения для всей системы, а не пытаемся складывать массы частиц.
Ответ: m₀ = √((E₁ + E₂)² − (p₁ − p₂)²c²)/c². Если известные импульсы заданы как векторы, вместо разности модулей следует найти векторную сумму: p = p⃗₁ + p⃗₂. Так учитываются и величины, и направления движения частиц.
При скорости, близкой к c, иногда используют классический импульс p = m₀v и забывают множитель γ. Это происходит потому, что классическая формула знакома и проще, но она верна лишь как приближение малых скоростей. Проверка: если v существенно меньше c, допустимо p ≈ m₀v; иначе рассчитайте γ и используйте p = γm₀v.
Другая ошибка — считать полной энергией только кинетическую и записывать E = Eₖ. Такое смешение возникает, когда не отделяют энергию движения от энергии покоя. Проверьте себя при v = 0: кинетическая энергия должна быть нулевой, но полная энергия остаётся E₀ = m₀c². Значит, всегда E = E₀ + Eₖ.
Иногда утверждают, что масса покоя увеличивается с ростом скорости. Так говорят, перенося в современную формулировку старое понятие релятивистской массы. Инвариантная масса m₀ остаётся постоянной, тогда как энергия и импульс растут. Проверка проста: в формулах для движущегося тела меняются γ, E и p, но m₀ — характеристика самого тела.
Нельзя считать, что тело с ненулевой массой может достичь скорости света, если просто сообщить ему достаточно большую энергию. Причина в том, что при v → c коэффициент γ неограниченно растёт, так что для достижения c потребовалась бы бесконечная энергия. Проверяйте результат по условию v < c и по поведению γ: конечная энергия даёт скорость строго меньше скорости света.
Для понимания релятивистской динамики нужны постулаты специальной теории относительности и преобразования Лоренца, а также знакомые по классической механике понятия работы, энергии и импульса. Эти знания позволяют увидеть, почему при малых скоростях сохраняются привычные формулы, но при больших требуются новые выражения. Релятивистские законы применяют при изучении быстрых частиц, ядерных реакций, радиоактивности и физики элементарных частиц. Связь энергии и импульса особенно полезна при анализе столкновений и превращений частиц.
Удобный способ выбрать формулу — сначала выяснить, что задано: скорость, энергия или импульс. Затем проверьте результат по связи E² = p²c² + m₀²c⁴ и убедитесь, что для массивного тела скорость меньше c. При малых скоростях ответ должен переходить в классический.
График показывает полную энергию как функцию импульса в единицах m₀c и m₀c². Релятивистская зависимость имеет вид E/(m₀c²) = √(1 + (p/(m₀c))²): при нулевом импульсе она начинается с энергии покоя, равной единице. При малых импульсах классическая оценка близка к релятивистской, но при больших импульсах квадратичная классическая кривая растёт быстрее. Поэтому классическая оценка полной энергии перестаёт быть надёжной для быстрых частиц.
Почему энергию покоя считают энергией, если тело не движется?
Энергия покоя связана не с движением тела, а с его массой: E₀ = m₀c². Она может превращаться в другие виды энергии, например при ядерных реакциях. Поэтому тело обладает энергией и в системе отсчёта, где оно покоится.
Чем инвариантная масса отличается от релятивистской массы?
Инвариантная масса m₀ — постоянная характеристика тела или частицы, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта. Термин «релятивистская масса» иногда использовали для величины E/c², зависящей от скорости, но современная физика предпочитает говорить о росте энергии и импульса, не меняя массу покоя.
Почему нельзя просто подставлять большую скорость в классическую формулу импульса?
Формула p = m₀v выводится для скоростей, намного меньших скорости света. При больших скоростях она не согласуется с преобразованиями Лоренца и неверно описывает импульс. Нужно учитывать коэффициент γ: p = γm₀v.
Как найти скорость частицы по её полной энергии?
Если масса покоя известна, используйте E = γm₀c², откуда γ = E/(m₀c²). Затем скорость находится по формуле v = c√(1 − 1/γ²). При E = E₀ получается v = 0, а при конечной энергии скорость меньше c.
Что происходит с формулой связи энергии и импульса для фотона?
У фотона масса покоя равна нулю, поэтому из E² = p²c² следует E = pc. Это не означает, что фотон покоится: он движется со скоростью света и имеет энергию и импульс.
§ 50. Энергия, импульс и масса в релятивистской динамике
