§ 51*. Релятивистские законы сохранения

Определения и обозначения

Релятивистский импульс — импульс тела при учёте специальной теории относительности: p = γmv, где γ = 1/√(1 − v²/c²), m — масса покоя, v — скорость, c — скорость света. В отличие от классического выражения p = mv, он учитывает рост импульса при больших скоростях. Эта формула нужна, чтобы правильно описывать движение и столкновения быстрых частиц.

Полная энергия тела определяется формулой E = γmc². Она включает не только энергию движения, но и энергию, связанную с массой тела. Поэтому для расчёта релятивистских процессов используют именно полную энергию, а не одну лишь кинетическую.

Энергия покоя — энергия тела, обусловленная его массой: E₀ = mc². Она существует даже тогда, когда тело покоится относительно выбранной системы отсчёта, поскольку нулевая скорость устраняет энергию движения, но не массу. Это понятие позволяет учитывать превращение массы в другие формы энергии и обратный процесс.

Инвариантная масса, или масса покоя, — величина, одинаковая во всех инерциальных системах отсчёта. Энергия и импульс тела связаны с ней соотношением E² = p²c² + m²c⁴. Эта связь нужна, например, чтобы находить массу частицы по измеренным энергии и импульсу.

Как это устроено

Классические формулы основаны на приближении, что скорость тела намного меньше скорости света. При больших скоростях результаты измерений энергии и импульса должны быть согласованы с преобразованиями Лоренца, а классические выражения этого не обеспечивают. Например, по классической механике скорость могла бы неограниченно расти при добавлении энергии, тогда как релятивистское описание учитывает невозможность разогнать тело с ненулевой массой до скорости света.

Для описания этой зависимости вводят множитель γ = 1/√(1 − v²/c²). Когда скорость растёт и приближается к c, знаменатель уменьшается, поэтому γ увеличивается; импульс записывают как p = γmv. Если v значительно меньше c, величина v²/c² мала и γ близок к единице, так что релятивистский импульс переходит в знакомое выражение p ≈ mv.

Полная энергия E = γmc² содержит энергию покоя и кинетическую энергию. Вычитая энергию покоя mc², получаем Eₖ = E − mc² = (γ − 1)mc². При малых скоростях γ ≈ 1 + v²/(2c²), поэтому Eₖ ≈ mv²/2; привычная формула оказывается приближением, а не отдельным законом для любых скоростей.

В изолированной системе сохраняются сумма полных энергий и векторная сумма импульсов: ΣE = const и Σp = const. Сохранение относится ко всей системе, потому что при взаимодействии её части могут передавать друг другу энергию и импульс. Эти законы применимы к частицам, фотонам и продуктам реакций, даже если кинетическая энергия одних частиц переходит в массу или излучение.

Формула E² − p²c² = m²c⁴ связывает три величины, поэтому её используют после применения законов сохранения в столкновениях и распадах. Если известны энергия и импульс, можно найти массу; если известны масса и импульс — энергию. Важно подставлять модуль импульса в скалярную связь, а направления учитывать отдельно при записи закона сохранения импульса.

Основные релятивистские величины и законы сохранения

Сначала определите, какие тела и излучение входят в систему, затем выпишите их энергии и импульсы до и после взаимодействия. В уравнении импульсов обязательно учитывайте направления, а для связи энергии, импульса и массы используйте модуль импульса.

Разбор задач

Электрон движется со скоростью 0,8c

Найдём множитель γ, импульс, полную и кинетическую энергии через массу электрона mₑ и скорость света c. Скорость задана как доля c, поэтому для γ достаточно вычислить отношение v²/c². Затем подставим найденное значение в формулы соответствующих величин.

1. Вычисляем γ = 1/√(1 − 0,8²) = 1/√0,36 = 5/3.
2. Импульс равен p = γmₑv = (5/3)mₑ · 0,8c = (4/3)mₑc.
3. Полная энергия E = γmₑc² = (5/3)mₑc².
4. Кинетическая энергия Eₖ = (γ − 1)mₑc² = (2/3)mₑc².

Проверка: полная энергия складывается из энергии покоя mₑc² и кинетической энергии (2/3)mₑc², что даёт (5/3)mₑc². Ответ: γ = 5/3; p = (4/3)mₑc; E = (5/3)mₑc²; Eₖ = (2/3)mₑc².

Аннигиляция электрона и позитрона в покое

До аннигиляции суммарный импульс равен нулю, а полная энергия двух частиц — 2mₑc². После реакции образуются два фотона. Нужно одновременно применить сохранение энергии и импульса: один закон определит энергию фотонов, второй — их направления.

1. Энергия фотонов в сумме равна энергии исходных частиц: E₁ + E₂ = 2mₑc².
2. Исходный импульс равен нулю, поэтому импульсы фотонов должны компенсироваться: p₁ + p₂ = 0.
3. Для фотона p = E/c, значит, противоположные импульсы означают противоположные направления движения, а также равные энергии: E₁ = E₂.
4. Из суммы энергий получаем E₁ = E₂ = mₑc².

Ответ: каждый фотон имеет энергию mₑc², и фотоны разлетаются в противоположные стороны. Если бы они двигались в одном направлении, их импульсы не могли бы дать нулевую сумму.

Два встречных фотона образуют частицу

Два фотона одинаковой энергии E движутся навстречу друг другу и образуют одну частицу, которая покоится. При выборе направления движения первого фотона за положительное второй имеет равный по модулю отрицательный импульс. Поэтому общий импульс до реакции равен нулю, как и импульс частицы после реакции.

1. Складываем импульсы фотонов как векторы: p₁ + p₂ = E/c − E/c = 0.
2. По закону сохранения энергии энергия образовавшейся частицы равна суммарной энергии фотонов: Eчаст = E + E = 2E.
3. Частица покоится, поэтому её энергия является энергией покоя: Eчаст = Mc².
4. Приравниваем выражения и находим M = 2E/c².

Ответ: масса частицы M = 2E/c². Нулевой суммарный импульс необходим, чтобы единственная образовавшаяся частица могла покоиться в выбранной системе отсчёта.

Типичные ошибки

Используют p = mv и Eₖ = mv²/2 при скоростях, близких к c. Так происходит, когда классические формулы переносят на любые скорости, забывая об их условии применимости. Проверка: если v не намного меньше c, вычислите γ; заметное отличие γ от единицы означает, что нужны релятивистские формулы.

Считают, что сохраняется только кинетическая энергия. В реакциях часть энергии может перейти в энергию покоя новых частиц, поэтому кинетическая энергия участников до и после процесса может различаться. Проверяйте уравнение для полной энергии всей системы, включая энергию покоя и излучение.

Складывают импульсы как обычные числа и не учитывают направления. Это даёт неверный результат, например, для двух одинаковых встречных фотонов: их суммарный импульс равен нулю, а не удвоенному импульсу одного фотона. Перед сложением задайте ось и знаки или запишите компоненты векторов.

Путают полную энергию E с кинетической энергией Eₖ и принимают mc² за энергию движения. Причина — в классических задачах часто рассматривают только кинетическую энергию, тогда как в релятивистской механике учитывают и энергию покоя. Проверка: при v = 0 должно получиться E = mc², но Eₖ = 0.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны классические законы сохранения энергии и импульса, представление об энергии покоя, принцип относительности и преобразования Лоренца. Релятивистские законы сохранения применяют при анализе столкновений и распадов частиц, ядерных реакций, аннигиляции и дефекта массы. Эти задачи связывают специальную теорию относительности и релятивистскую динамику с квантовой и ядерной физикой.

Что запомнить

• При больших скоростях импульс тела равен p = γmv.
• Полная энергия тела равна E = γmc².
• Энергия покоя определяется формулой E₀ = mc².
• Кинетическая энергия равна Eₖ = E − E₀ = (γ − 1)mc².
• Для тела с массой m выполняется E² = p²c² + m²c⁴.
• В изолированной системе сохраняются полная энергия и суммарный векторный импульс.
• Классические формулы получаются как приближение при v ≪ c.