"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Глазунов А.Т., Орлов В.А. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Масса системы частиц определяется не простым сложением масс её частей, а всей энергией системы и её полным импульсом. Поэтому на неё влияют движение частиц и их взаимодействие. Главная связь имеет вид E² = p²c² + M²c⁴, где E — полная энергия, p — полный импульс, M — масса системы, а c — скорость света. В системе центра масс импульс равен нулю, и формула упрощается до E₀ = Mc².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масса системы частиц — инвариантная характеристика, которая определяется полной энергией и полным импульсом системы. Она не всегда равна сумме масс частиц: движение и взаимодействие тоже вносят вклад. Это понятие позволяет описывать составное тело как единое целое.
Энергия покоя системы — её энергия в системе отсчёта, где полный импульс равен нулю. Для массы M она выражается формулой E₀ = Mc², где c — скорость света. Эта величина показывает, сколько энергии соответствует массе системы.
Полная энергия системы — сумма энергий всех частиц и внутренних энергий их взаимодействия. В произвольной системе отсчёта она связана с массой и импульсом общей формулой. Её нужно учитывать, чтобы проследить превращение энергии в массу и обратно.
Полный импульс системы — векторная сумма импульсов всех частиц. Вместе с полной энергией он определяет массу системы, поэтому одной только суммы энергий недостаточно. Учет импульса помогает описывать систему из разных движущихся наблюдателей.
Систему частиц нельзя характеризовать только суммой масс составляющих её тел, поскольку частицы могут двигаться и взаимодействовать. Кинетическая энергия движения и энергия взаимодействия входят в общую энергию системы. Кроме того, наблюдатели в разных системах отсчёта измерят разные значения энергии и импульса, поэтому для определения массы нужно учитывать их совместное соотношение.
В релятивистской физике величина E² − p²c² не меняется при переходе между инерциальными системами отсчёта. Для системы частиц её значение равно M²c⁴, откуда следует формула E² = p²c² + M²c⁴. В ней масса M остаётся одной и той же, хотя энергия E и импульс p зависят от выбора наблюдателя.
У любой системы с ненулевой массой можно выбрать систему отсчёта центра масс: в ней суммарные импульсы частей взаимно компенсируются. Тогда p = 0, и общая формула становится E₀² = M²c⁴. Поскольку энергия положительна, получаем E₀ = Mc²; это энергия всей системы в состоянии покоя, а не формула для полной энергии в любой системе отсчёта.
Если внутренняя энергия системы меняется, меняется и её масса: изменение энергии ΔE соответствует изменению массы Δm = ΔE/c². Например, связанные частицы могут иметь меньшую энергию, чем те же частицы вдали друг от друга. Разность масс свободных частей и связанной системы называют дефектом массы, а соответствующая энергия связана с энергией связи.
В замкнутом процессе полная энергия сохраняется, но она может переходить из одной формы в другую. При выделении энергии окружающим телам масса оставшейся связанной системы уменьшается на ΔE/c²; при поглощении энергии она возрастает. Поэтому масса не исчезает бесследно: нужно учитывать и систему, и энергию, переданную наружу или полученную извне.
| Величина или случай | Формула | Физический смысл | Особенности |
|---|---|---|---|
| Масса системы частиц | M²c⁴ = E² − p²c² | Инвариантная характеристика системы | Зависит от полной энергии и импульса |
| Энергия покоя | E₀ = Mc² | Энергия системы в системе центра масс | Здесь полный импульс равен нулю |
| Полная энергия в произвольной системе отсчёта | E² = p²c² + M²c⁴ | Энергия движущейся системы | В общем случае E не равно Mc² |
| Полный импульс | p = Σpᵢ | Векторная сумма импульсов частей | Направления импульсов нужно учитывать |
| Система отсчёта центра масс | p = 0 | Система, где импульсы частей компенсируются | В ней энергия равна E₀ |
| Связь энергии, импульса и массы | E² = p²c² + M²c⁴ | Общее соотношение для системы | Позволяет найти неизвестную величину |
| Изменение массы при изменении внутренней энергии | Δm = ΔE/c² | Связь изменения массы с энергией | Знак зависит от того, поглощена энергия или выделена |
Сначала определите, что известно: полная энергия, полный импульс или масса. Затем выберите строку, соответствующую системе отсчёта: только в системе центра масс можно сразу применять E₀ = Mc². В задачах о реакции удобно отдельно найти суммарные энергию и импульс, а после этого вычислить массу.
Задача 1. Определить энергию покоя тела массой 1,0 г и выразить результат в джоулях. Переведём массу в единицы СИ: 1,0 г = 1,0·10⁻³ кг. Используем формулу E₀ = Mc², принимая c = 3,0·10⁸ м/с.
Ответ: 9,0·10¹³ Дж. Большое значение получается потому, что в формуле масса умножается на квадрат очень большой скорости света.
Задача 2. Два одинаковых фотона движутся навстречу друг другу, каждый имеет энергию E. Найти массу системы. Хотя у фотона нет массы покоя, система фотонов может иметь массу, если её полная энергия не равна нулю и импульсы компенсируются.
Ответ: M = 2E/c². Проверка смысла: в системе центра масс энергия покоя пары равна полной энергии двух фотонов.
Задача 3. Две частицы с известными массами и импульсами сталкиваются и образуют одну составную систему. Найти массу системы и энергию, выделившуюся при столкновении. Числовые значения в условии не заданы, поэтому запишем общий порядок решения; если энергия выделяется, масса остатка меньше суммарной массы исходных частиц.
Ответ: массу находят по M²c⁴ = E² − p²c²; энергию выделения — по балансу полной энергии с учётом начальных условий. Численный результат возможен после подстановки масс и импульсов.
Первая ошибка — считать массу системы простой суммой масс её частиц. Так делают, когда переносят на систему правило сложения обычных масс и забывают про движение и взаимодействие. Проверьте себя: найдите полные энергию и импульс, а затем используйте M²c⁴ = E² − p²c².
Вторая ошибка — применять E = Mc² для полной энергии в любой системе отсчёта. Это равенство относится к системе центра масс, где p = 0; в общем случае энергия включает вклад движения системы. Проверка проста: если импульс ненулевой, используйте E² = p²c² + M²c⁴.
Третья ошибка — говорить, что масса системы увеличилась только из-за выбора быстро движущейся системы отсчёта. При смене наблюдателя меняются энергия и импульс, но инвариантная масса системы остаётся прежней. Для проверки вычислите E² − p²c² в двух системах: результат должен быть одинаковым.
Четвёртая ошибка — считать, что при выделении энергии масса исчезает без сохранения энергии. Обычно это происходит, если рассматривают только остаток реакции и не учитывают излучение или нагретое окружение. Уменьшение массы связанной системы соответствует выделенной энергии: |Δm| = ΔE/c²; проверяйте баланс для всей замкнутой системы.
Для применения закона нужны релятивистские формулы энергии и импульса частицы, а также законы их сохранения. С ними можно определить энергию и импульс системы после столкновения или распада. Понятие дефекта массы объясняет энергию связи атомных ядер и энергетический выход ядерных реакций. Та же связь массы и энергии используется при анализе аннигиляции, рождения частиц и астрофизических процессов.
Почему масса системы не равна сумме масс отдельных частиц?
Потому что полная энергия системы включает не только энергию покоя частиц, но и их кинетическую энергию, а также энергию взаимодействия. Масса системы определяется полной энергией в системе центра масс, поэтому эти вклады меняют её значение.
Может ли система фотонов иметь ненулевую массу?
Да, если импульсы фотонов не компенсируют друг друга. Например, два одинаковых фотона, летящие навстречу, имеют нулевой суммарный импульс и ненулевую энергию, поэтому их система обладает массой.
В какой системе отсчёта справедливо равенство E = Mc²?
В такой форме равенство относится к системе отсчёта центра масс, где полный импульс системы равен нулю. В произвольной системе отсчёта нужно использовать связь E² = p²c² + M²c⁴.
Чем масса системы отличается от массы отдельной частицы?
Масса отдельной частицы — её инвариантная характеристика, а масса системы учитывает общую энергию и импульс всех её частей. Поэтому масса составной системы может отличаться от суммы масс отдельных частиц.
Как дефект массы связан с энергией ядерной реакции?
Дефект массы — разность между суммой масс свободных частиц и массой связанной системы. Соответствующая энергия связи равна этой разности, умноженной на c²; при реакции изменение массы переходит в выделенную или поглощённую энергию.
§ 52. Закон взаимосвязи массы и энергии для системы частиц
