§ 66. Зависимость сопротивления металлов от температуры. Сверхпроводимость

Определения и обозначения

Температурный коэффициент сопротивления — величина, характеризующая относительное изменение сопротивления металла при изменении температуры на один градус. Обычно его обозначают α и измеряют в 1/°C. Он показывает не само сопротивление, а долю его изменения при нагревании или охлаждении.

Остаточное сопротивление — сопротивление металла при очень низких температурах, обусловленное примесями и дефектами кристаллической решётки. Даже если тепловые колебания ионов почти ослабли, неоднородности решётки продолжают рассеивать электроны. Это понятие позволяет отличить обычный металл от идеализированного проводника с нулевым сопротивлением.

Сверхпроводимость — состояние вещества, при котором его электрическое сопротивление практически исчезает ниже критической температуры. Электрический ток в таком состоянии может поддерживаться без обычных потерь энергии на сопротивление. Сверхпроводимость используют как особое физическое состояние, а не как свойство любого охлаждённого металла.

Критическая температура — температура перехода вещества в сверхпроводящее состояние. Её обозначают T_кр; при охлаждении ниже этого значения сопротивление резко падает. Для разных веществ критическая температура различна, поэтому она служит важной характеристикой сверхпроводника.

Как это устроено

В металле часть электронов слабо связана с отдельными атомами и может перемещаться по кристаллической решётке. Под действием электрического поля они получают небольшую направленную скорость, но постоянно сталкиваются с ионами решётки. При столкновениях направление движения меняется, поэтому упорядоченный перенос заряда замедляется и возникает электрическое сопротивление.

Электроны рассеиваются не только на самих ионах, но и на примесях и дефектах решётки. Примесь заменяет атом металла другим атомом, а дефект нарушает правильное расположение частиц. Такие неоднородности создают дополнительные препятствия для электронов, поэтому более загрязнённый или повреждённый образец обычно имеет большее сопротивление.

При повышении температуры ионы сильнее колеблются около положений равновесия. Движущиеся электроны чаще встречаются с такими колебаниями, и среднее время между столкновениями уменьшается. Поэтому направленное движение зарядов становится менее эффективным, а сопротивление большинства металлов возрастает.

В небольшом интервале температур эту зависимость считают линейной: R = R₀(1 + αΔT), где R₀ — сопротивление при начальной температуре T₀, ΔT = T − T₀, а α — температурный коэффициент сопротивления. Для нагревания ΔT положительно, и при α > 0 сопротивление увеличивается. Формула приближённая, поэтому на очень широком диапазоне температур применять её без уточнения нельзя.

При охлаждении тепловые колебания ослабевают, но рассеяние на примесях и дефектах полностью не исчезает. Поэтому сопротивление обычного металла стремится к некоторому остаточному значению, зависящему от чистоты и качества образца. У сверхпроводника ниже T_кр происходит особый резкий переход: сопротивление практически становится нулевым, однако состояние разрушается при превышении критической температуры, тока или магнитного поля.

Зависимость сопротивления металлов от температуры и сверхпроводимость

Таблица помогает сравнить не только величину сопротивления, но и условия, при которых меняется состояние вещества. Если нужно определить поведение образца, сначала выясните, является ли он обычным металлом или сверхпроводником, а затем проверьте температуру и другие критические параметры.

Разбор задач

Задача 1

Сопротивление проводника при 20 °C равно 10 Ом, а α = 0,004 1/°C. Требуется найти сопротивление при 70 °C. Сначала определим изменение температуры, потому что в формуле используется не сама конечная температура, а разность температур.

1. ΔT = 70 °C − 20 °C = 50 °C.
2. Используем R = R₀(1 + αΔT): R = 10(1 + 0,004 · 50) = 10 · 1,2 = 12 Ом.

Ответ: сопротивление проводника при 70 °C равно 12 Ом.

Задача 2

При 20 °C сопротивление спирали равно 5 Ом, а после нагревания оно стало 6,2 Ом. Нужно найти конечную температуру при α = 0,004 1/°C. Неизвестную температуру найдём через изменение сопротивления, преобразовав линейную формулу.

1. Из R = R₀(1 + αΔT) получаем ΔT = (R/R₀ − 1)/α.
2. ΔT = (6,2/5 − 1)/0,004 = 0,24/0,004 = 60 °C.
3. T = T₀ + ΔT = 20 °C + 60 °C = 80 °C.

Ответ: температура спирали равна 80 °C.

Задача 3

По графику нужно определить критическую температуру, описать состояние образца по обе стороны перехода и выяснить последствия превышения критического тока. На графике T_кр отмечает точку резкого падения сопротивления, поэтому её считывают по горизонтальной оси. В приведённой схеме это значение равно 90 °C.

1. При температурах ниже T_кр сопротивление практически равно нулю, то есть образец находится в сверхпроводящем состоянии.
2. Выше T_кр сопротивление быстро возвращается к обычному значению и затем меняется с температурой как у металла.
3. При превышении критического тока сверхпроводимость разрушается, сопротивление становится ненулевым, а проводник начинает выделять энергию.

Ответ: T_кр = 90 °C по данному графику; ниже неё образец сверхпроводящий, выше — обычный проводник.

Типичные ошибки

Использование абсолютной температуры вместо изменения температуры. В формуле R = R₀(1 + αΔT) нужна разность T − T₀, а не конечная температура сама по себе. Ошибка возникает из-за смешения шкалы Цельсия с понятием абсолютной температуры; проверьте, что ΔT получена вычитанием двух температур.

Представление, что любой металл при охлаждении становится сверхпроводником. У обычного металла сохраняется остаточное сопротивление из-за примесей и дефектов. Перед выводом проверьте, сказано ли о критической температуре и сверхпроводящем переходе.

Путаница коэффициента с сопротивлением. Температурный коэффициент α показывает относительную скорость изменения сопротивления и измеряется в 1/°C, а сопротивление измеряется в омах. Проверить себя можно по формуле: α всегда умножается на изменение температуры и безразмерную долю изменения не заменяет.

Игнорирование критических значений. Сверхпроводник не сохраняет состояние при любом токе или магнитном поле. В условии нужно проверить сразу три ограничения: температуру, силу тока и магнитное поле; превышение любого из них может разрушить сверхпроводимость.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома, удельное сопротивление, строение металлов и понятие абсолютной температуры. Закон Ома связывает сопротивление с током и напряжением, а строение вещества объясняет механизм рассеяния электронов.

Зависимость сопротивления от температуры важна при изучении электрических цепей, измерительных приборов, нагревательных устройств и температурных датчиков. По изменению сопротивления можно оценивать температуру или учитывать нагрев проводника в расчётах.

Сверхпроводимость связывает электрические явления с электромагнетизмом и физикой современных установок. Её используют в мощных электромагнитах, ускорителях частиц, медицинской томографии и перспективных системах передачи энергии.

Что запомнить

• Сопротивление металлов обычно увеличивается с повышением температуры.
• В узком диапазоне температур зависимость сопротивления металла можно считать линейной.
• Температурный коэффициент сопротивления характеризует относительное изменение сопротивления при нагревании на один градус.
• При низкой температуре обычный металл имеет остаточное сопротивление.
• Сверхпроводимость возникает ниже критической температуры.
• В сверхпроводящем состоянии сопротивление практически равно нулю.
• Сверхпроводимость исчезает при превышении критических температуры, тока или магнитного поля.