"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Разветвлённую электрическую цепь рассчитывают, находя токи в её ветвях и напряжения на элементах. Для этого закон Ома применяют вместе с правилами Кирхгофа: первое связывает токи в узле и выражает сохранение заряда, второе — напряжения в замкнутом контуре и сохранение энергии. Направления токов можно выбрать заранее; знак результата покажет, совпал ли выбор с действительным направлением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Узел электрической цепи — точка, в которой соединяются три или более проводников. Токи, направленные к узлу, называют входящими, а направленные от него — выходящими. Такое разделение помогает записать баланс токов и проследить, куда переносится заряд.
Ветвь электрической цепи — участок между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток. Ветвь может включать несколько последовательно соединённых элементов, например резистор и источник. Это понятие позволяет рассматривать сложную схему как набор частей с определёнными токами.
Первое правило Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Если считать входящие токи положительными, то сумма входящих равна сумме выходящих. Заряд не исчезает и не накапливается бесконечно в узле, поэтому сколько его приходит за единицу времени, столько же уходит.
Второе правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю. При обходе контура подъёмы напряжения, создаваемые источниками, уравновешиваются падениями на элементах. Это отражает сохранение энергии: после полного обхода цепи заряд возвращается к исходной точке с прежней энергией.
В разветвлённой цепи один и тот же ток не обязательно проходит через все элементы: в узле он распределяется по нескольким ветвям, а дальше может снова соединиться. Закон Ома связывает ток, напряжение и сопротивление отдельного участка, но не сообщает, как токи распределились в узле. Поэтому к нему добавляют уравнения баланса токов и напряжений. Вместе эти связи позволяют найти неизвестные величины во всей схеме.
Направление тока в каждой ветви задают стрелкой до начала вычислений. Выбор может не совпасть с реальностью, но это не мешает расчёту: уравнения используют именно условно выбранные направления. Если значение тока получилось положительным, стрелка указана верно, а если отрицательным — ток течёт обратно. Такой приём удобнее, чем пытаться угадать направление заранее.
Для уравнения узла сначала отмечают все токи, входящие в него, и все токи, выходящие из него. Затем приравнивают суммы этих групп: ΣIвх = ΣIвых. Например, при двух входящих токах I₁ и I₂ и одном выходящем I₃ получаем I₁ + I₂ = I₃. Если направление одного тока выбрано условно и его знак в результате отрицателен, при проверке баланса учитывают это направление.
Для уравнения контура выбирают направление обхода и последовательно проходят все элементы замкнутого пути. На резисторе при обходе по току происходит падение напряжения IR, а при обходе против тока — подъём; у источника ЭДС знак зависит от того, пересекают ли его от «−» к «+» или от «+» к «−». Записывают алгебраическую сумму изменений напряжения, приравнивая её нулю. Закон Ома заменяет падение напряжения на резисторе выражением IR.
Сначала выбирают узлы и независимые замкнутые контуры, то есть такие, уравнения которых не повторяют уже записанную информацию. К уравнениям Кирхгофа добавляют закон Ома для ветвей, чтобы выразить напряжения через токи и сопротивления. Получается система уравнений, из которой находят неизвестные токи, а затем — напряжения. Проверка состоит в подстановке результатов в баланс каждого узла, каждого использованного контура и закон Ома.
| Правило | Для чего применяется | Уравнение | Физический смысл | Что учитывать при выборе знаков |
|---|---|---|---|---|
| Первое правило Кирхгофа | Для связи токов, сходящихся в узле | ΣI = 0; ΣIвх = ΣIвых | Сохранение электрического заряда | Выбрать единое соглашение: например, входящие считать положительными, выходящие — отрицательными |
| Второе правило Кирхгофа | Для связи напряжений в замкнутом контуре | ΣU = 0 | Сохранение энергии | Знаки зависят от направления обхода, направления тока на резисторе и полярности источника |
Сначала определите, какую связь нужно получить: распределение токов в узле или баланс напряжений в замкнутом пути. Затем придерживайтесь выбранного соглашения о знаках во всех слагаемых одного уравнения. Уравнения таблицы работают вместе: правило Кирхгофа задаёт баланс, а закон Ома помогает выразить напряжения через токи.
В узел входят токи 2 А и 0,8 А, а из него выходит ток 1,5 А. Нужно определить величину и направление третьего тока. Разделим токи на входящие и выходящие и применим баланс заряда.
Ответ: третий ток равен 1,3 А и направлен из узла.
Источник с ЭДС 12 В соединён последовательно с резисторами 2 Ом и 4 Ом. Найдём общий ток и напряжения на каждом резисторе, считая сопротивлением источника можно пренебречь. В последовательной цепи ток одинаков на обоих резисторах.
Ответ: ток равен 2 А; напряжения на резисторах — 4 В и 8 В.
Два источника ЭДС и несколько резисторов образуют разветвлённую цепь; требуется найти токи во всех ветвях и напряжение между заданными узлами. Числовых значений ЭДС, сопротивлений и схемы соединения не дано, поэтому численный ответ определить нельзя. Можно показать порядок расчёта, который применяют, когда схема и параметры известны.
Ответ: для численного результата необходимы схема цепи, значения ЭДС и сопротивлений. После их подстановки токи находят из системы уравнений, а напряжение между узлами — по рассчитанным падениям напряжения на пути между ними.
Считать, что выбранная стрелка обязательно совпадает с действительным током, — ошибка: направление выбирают для удобства записи. Её часто допускают, потому что воспринимают стрелку как заранее известный результат. Отрицательное значение не означает, что решение неверно: оно указывает на противоположное направление. Проверьте, сохраняется ли баланс токов при учёте знаков.
Путаница между входящими и выходящими токами меняет знак слагаемых и может нарушить сохранение заряда. Обычно это происходит, когда стрелки на схеме не сопоставляют с направлением к узлу или от него. Перед записью уравнения отдельно выпишите две группы токов. Затем проверьте, что их суммы равны.
Если записать знаки напряжений и ЭДС, не учитывая направление обхода, в уравнение могут попасть неверные слагаемые. Причина — попытка запомнить отдельные знаки вместо того, чтобы проследить переход через каждый элемент. Нарисуйте стрелку обхода и отмечайте полярность резистора и источника при движении по контуру. При изменении направления обхода знаки всех слагаемых уравнения должны измениться согласованно.
Избыточные или зависимые уравнения не дают новых сведений: часть из них можно получить из уже записанных. Их добавляют, когда не проверяют независимость узлов и контуров, из-за чего система становится громоздкой. Выбирайте уравнения так, чтобы каждое вносило новое условие. Если уравнения повторяют один и тот же баланс, оставьте независимый набор и проверьте, достаточно ли его для неизвестных величин.
Для расчётов нужны понятия силы тока, напряжения и сопротивления, а также закон Ома для участка цепи и понятие ЭДС. Закон Ома связывает величины на отдельном элементе, а правила Кирхгофа дополняют его условиями для всей сети. Благодаря этому можно рассчитывать разветвлённые цепи, в которых токи и напряжения нельзя определить по одному последовательному соединению. Тот же подход используют при анализе электрических схем и работе с измерительными приборами.
Почему для расчёта разветвлённой цепи нельзя ограничиться законом Ома?
Закон Ома связывает напряжение, ток и сопротивление на отдельном участке, но сам по себе не устанавливает, как токи распределяются в узлах и как согласуются напряжения в разных ветвях. Для этого нужны правила Кирхгофа: они дают уравнения для узлов и замкнутых контуров.
Как выбрать направления токов в ветвях?
Выберите направление каждого тока произвольно и обозначьте его на схеме. Затем придерживайтесь этого выбора при составлении всех уравнений; если найденный ток отрицателен, действительный ток направлен противоположно.
Что означает отрицательное значение силы тока?
Это означает, что действительный ток течёт против выбранной при расчёте стрелки. Модуль результата равен силе тока, а знак указывает его направление относительно принятого.
Как определить знаки напряжений и ЭДС в уравнении контура?
Сначала задайте направление обхода контура. На резисторе при движении по направлению тока учитывают падение напряжения со знаком минус, а при движении против тока — со знаком плюс; у источника ЭДС знак положительный при переходе от «−» к «+» и отрицательный при переходе от «+» к «−».
Как проверить, правильно ли составлена система уравнений для цепи?
Проверьте, что для каждого выбранного узла учтены все входящие и выходящие токи, а уравнения контуров учитывают направление обхода и полярность элементов. После решения подставьте значения обратно в уравнения и проверьте закон Ома для ветвей.
§12. Расчёт силы тока и напряжения в электрических цепях
