§11. Закон Ома для замкнутой цепи.

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) источника — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника; обозначается ε и измеряется в вольтах. Сторонними называют силы, которые не сводятся к действию электрического поля и поддерживают разделение зарядов. ЭДС показывает, сколько энергии источник передаёт каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление движению зарядов внутри него; обозначается r и измеряется в омах. Оно связано с устройством и материалами источника. Эта величина нужна, чтобы учитывать потери энергии внутри источника и правильно рассчитывать ток всей цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи утверждает: сила тока в полной цепи равна отношению ЭДС к сумме внешнего и внутреннего сопротивлений, то есть I = ε/(R + r). Здесь R — внешнее сопротивление, а r — внутреннее. Формула описывает цепь целиком, включая источник, поэтому позволяет найти ток, который реально проходит через нагрузку.

Напряжение на внешнем участке цепи равно U = IR, а при наличии тока его можно записать как U = ε − Ir. Первая запись относится к внешнему сопротивлению, вторая показывает, что часть ЭДС теряется внутри источника. Эти соотношения помогают определить напряжение на нагрузке и оценить падение напряжения внутри источника.

Как это устроено

Внутри источника заряд должен перемещаться против действия электрического поля, иначе положительные и отрицательные заряды быстро перераспределились бы, а ток прекратился. Эту работу выполняют сторонние силы: например, в батарее их действие связано с химическими процессами. Работа сторонних сил на единицу заряда и есть ЭДС, поэтому она характеризует способность источника поддерживать ток, а не напряжение на любом участке цепи.

Когда цепь замкнута, заряды проходят и через нагрузку, и через внутреннюю часть источника. На каждом из этих участков есть сопротивление, поэтому общее сопротивление складывается из R и r. При одной и той же ЭДС увеличение любого из них уменьшает ток: источник должен преодолеть сопротивление всего пути, а не только внешнего резистора.

Вывод закона можно связать с сохранением энергии. Заряд q, проходя полный круг, получает от сторонних сил энергию εq, а на сопротивлениях теряет энергию IqR и Iqr. Приравниваем полученную и израсходованную энергию: εq = IqR + Iqr; делим на q и получаем ε = I(R + r). Отсюда следует I = ε/(R + r), то есть закон Ома для полной цепи.

При разомкнутой цепи заряды не движутся по замкнутому пути, значит, I = 0 и внутри источника нет падения напряжения Ir. Поэтому напряжение между зажимами равно ЭДС. Если цепь замкнуть, ток создаёт падение напряжения на внутреннем сопротивлении, и на внешнюю часть остаётся U = ε − Ir. Чем больше ток, тем заметнее разница между ЭДС и напряжением на зажимах.

Если увеличивать сопротивление нагрузки R, ток I = ε/(R + r) уменьшается. Тогда уменьшается и падение Ir внутри источника, поэтому напряжение U на нагрузке становится ближе к ε; при уменьшении R ток возрастает, а напряжение на нагрузке обычно снижается. При коротком замыкании внешнее сопротивление почти равно нулю, но ток не становится бесконечным: его ограничивает r, так что Iкз = ε/r. Такой ток может быть очень большим и опасным, поэтому замыкать зажимы источника нельзя.

Величины и соотношения в замкнутой цепи

Сначала определите режим цепи: разомкнута ли она, подключена ли нагрузка или произошло короткое замыкание. Для обычной замкнутой цепи подставляйте в формулу оба сопротивления, R и r, в одинаковых единицах. Напряжение на нагрузке удобно находить либо через U = IR, либо через U = ε − Ir.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 6 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найти силу тока в цепи. Нужно учитывать сопротивление всего пути: ток проходит и через резистор, и внутри источника.

1. Записываем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r). Он подходит, потому что в условии заданы ЭДС и оба сопротивления.
2. Складываем сопротивления: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом. Затем подставляем данные: I = 6 В/6 Ом = 1 А.
3. Проверяем размерность: вольт, делённый на ом, даёт ампер. Ответ: 1 А.

Задача 2. ЭДС источника равна 12 В, его внутреннее сопротивление — 0,5 Ом, а напряжение на нагрузке — 10 В. Найти силу тока и сопротивление нагрузки. Здесь известно, насколько напряжение на зажимах ниже ЭДС, поэтому сначала определим падение напряжения внутри источника.

1. Используем U = ε − Ir и выражаем ток: I = (ε − U)/r. Разность напряжений равна 12 В − 10 В = 2 В, следовательно, I = 2 В/0,5 Ом = 4 А.
2. Для внешнего участка применяем закон Ома: R = U/I. Подставляем значения: R = 10 В/4 А = 2,5 Ом.
3. Проверяем, что полученные величины согласуются с исходными данными: Ir = 4 А · 0,5 Ом = 2 В, и ε − Ir = 10 В. Ответ: I = 4 А, R = 2,5 Ом.

Задача 3. При подключении резистора 4 Ом ток равен 2 А, а при подключении резистора 9 Ом — 1 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источника. Поскольку источник один и тот же, в обоих режимах ε и r остаются неизменными.

1. Записываем закон Ома для каждого режима: ε = I(R + r). Для первого получаем ε = 2(4 + r), для второго — ε = 1(9 + r).
2. Приравниваем выражения для ЭДС: 2(4 + r) = 9 + r. Раскрываем скобки: 8 + 2r = 9 + r, откуда r = 1 Ом.
3. Подставляем r в любое уравнение, например ε = 1(9 + 1) = 10 В. Проверяем по первому режиму: 10/(4 + 1) = 2 А. Ответ: ε = 10 В, r = 1 Ом.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в закон Ома только внешнее сопротивление R, забывая про r. Так делают, если мысленно считают источник идеальным, но тогда расчётный ток оказывается больше реального. Проверьте себя: для полной цепи в знаменателе обязательно стоит сумма R + r.

Вторая ошибка — считать ЭДС и напряжение на зажимах одинаковыми при любом режиме. Их значения совпадают при разомкнутой цепи, но при токе внутри источника появляется падение Ir. Проверка проста: если I не равен нулю и r положительно, то U = ε − Ir меньше ε.

Третья ошибка — путать единицы ЭДС и сопротивления или складывать их. ЭДС измеряется в вольтах, а сопротивление — в омах, поэтому складывать можно R и r, но не ε с сопротивлением. Перед подстановкой проверьте, что оба слагаемых в знаменателе выражены в одинаковых единицах сопротивления.

Четвёртая ошибка — считать ток короткого замыкания бесконечным. При R = 0 исчезает только внешнее сопротивление, а внутреннее остаётся; бесконечный ток получился бы лишь при r = 0 в идеализированной модели. Чтобы проверить расчёт, используйте Iкз = ε/r и убедитесь, что r не потеряно.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны закон Ома для участка цепи и понимание силы тока, напряжения и сопротивления. Вывод закона для полной цепи опирается на работу и энергию, а сложение внешнего и внутреннего сопротивлений связано с последовательным соединением. Ту же формулу используют при расчёте источников питания и электрических цепей; она помогает перейти к изучению мощности источника и согласования нагрузки, то есть выбора нагрузки для эффективной передачи энергии.

Что запомнить

• Для полной цепи I = ε/(R + r).
• ЭДС характеризует работу сторонних сил на единицу заряда.
• Внутреннее сопротивление входит в общее сопротивление цепи.
• Напряжение на внешнем участке U = IR = ε − Ir.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• При коротком замыкании Iкз = ε/r.