§10. Расчёт сопротивления электрических цепей

Определения и обозначения

Электрическое сопротивление участка цепи — величина, связывающая напряжение на участке с током через него: R = U/I, где R обозначают сопротивление, U — напряжение, I — силу тока. Единица сопротивления — ом (Ом). Эта величина позволяет описать, насколько участок препятствует прохождению тока, и применять закон Ома.

Последовательное соединение проводников — соединение, при котором через все проводники проходит один и тот же ток. Между ними нет разветвлений, поэтому заряд проходит через каждый элемент по единственному пути. Это определение помогает узнать, когда можно использовать правило сложения сопротивлений.

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором напряжение на каждом проводнике одинаково. Ветви подключены к одним и тем же двум узлам, а ток разделяется между ними. Такое описание позволяет отличить параллельное соединение и выбрать формулу для расчёта.

Эквивалентное сопротивление — сопротивление одного проводника, которым можно заменить участок цепи, не изменив его поведение относительно остальной цепи. Оно сохраняет связь между общими током и напряжением участка. Благодаря этому сложную цепь можно постепенно свести к более простой.

Как это устроено

При последовательном соединении ток I одинаков во всех элементах, а напряжение на всём участке складывается из напряжений на каждом: U = U₁ + U₂. По закону Ома U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂, поэтому U = I(R₁ + R₂). Если заменить участок одним резистором, для него U = IRэкв; сравнение выражений даёт Rэкв = R₁ + R₂. Для большего числа элементов сумма продолжается по тому же правилу.

При параллельном соединении напряжение U на всех ветвях одинаково, а общий ток равен сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂. Закон Ома даёт I₁ = U/R₁, I₂ = U/R₂, а для эквивалентного резистора I = U/Rэкв. Подставляя эти выражения и сокращая одинаковое напряжение, получаем 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂. Для нескольких ветвей к сумме добавляют обратные сопротивления всех резисторов.

При последовательном соединении Rэкв больше каждого отдельного сопротивления, потому что к сопротивлению каждого элемента добавляются сопротивления остальных. При параллельном соединении складываются обратные сопротивления, то есть проводимости: чем больше ветвей, тем больше общий ток при том же напряжении. Поэтому Rэкв параллельной группы меньше сопротивления каждой её ветви и, в частности, меньше наименьшего из них. Это полезная проверка результата вычислений.

В смешанной цепи есть участки обоих типов соединения. Сначала найдите группу, для которой тип соединения однозначен, вычислите её эквивалентное сопротивление и замените группу одним условным резистором. Затем повторяйте действие для оставшейся цепи, пока она не сведётся к одному сопротивлению. Для распознавания соединения проследите, к каким узлам подключены элементы и может ли ток между ними разветвляться.

После упрощения цепи закон Ома для всей цепи даёт общий ток: Iобщ = Uобщ/Rэкв. В последовательном участке этот ток одинаков, а напряжение на элементе находят как U = IR; сумма найденных напряжений должна совпадать с напряжением участка. В параллельных ветвях напряжение одинаково, поэтому ток каждой ветви рассчитывают по формуле I = U/R. Сумма ветвевых токов должна совпасть с общим током, что помогает проверить расчёт.

Свойства последовательного и параллельного соединений

Сначала определите, какая величина одинакова для элементов: ток или напряжение. Затем используйте соответствующую строку таблицы, чтобы выбрать формулу. Последняя строка помогает проверить, правдоподобен ли полученный результат.

Разбор задач

Последовательное соединение

Два резистора сопротивлениями 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно. Нужно найти эквивалентное сопротивление участка. Поскольку между резисторами нет разветвления, по обоим проходит один и тот же ток.

1. Определяем тип соединения: резисторы соединены последовательно.
2. Применяем формулу: Rэкв = R₁ + R₂.
3. Подставляем значения: Rэкв = 4 Ом + 6 Ом = 10 Ом.

Ответ: эквивалентное сопротивление участка равно 10 Ом. Оно больше сопротивления каждого из двух резисторов, что соответствует свойству последовательного соединения.

Параллельное соединение

Резисторы сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом подключены параллельно к источнику напряжения 12 В. Требуется найти эквивалентное сопротивление и общий ток. На обеих ветвях напряжение равно напряжению источника.

1. Находим сопротивление группы: 1/Rэкв = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2, значит Rэкв = 2 Ом.
2. Рассчитываем общий ток по закону Ома: Iобщ = U/Rэкв = 12/2 = 6 А.
3. Проверяем порядок величин: 2 Ом меньше наименьшего сопротивления ветви, равного 3 Ом.

Ответ: Rэкв = 2 Ом, общий ток равен 6 А. Найденный ток относится ко всему участку, а не к одной из ветвей.

Смешанная цепь

Резистор 4 Ом соединён последовательно с параллельной группой резисторов 6 Ом и 3 Ом, напряжение цепи равно 18 В. Нужно найти общий ток и токи в параллельных ветвях. Сначала упростим параллельную часть, чтобы получить сопротивление всей цепи.

1. Для параллельных резисторов: 1/Rп = 1/6 + 1/3 = 1/2, поэтому Rп = 2 Ом.
2. Находим полное сопротивление: Rобщ = 4 + 2 = 6 Ом. Общий ток равен Iобщ = 18/6 = 3 А.
3. Напряжение на последовательном резисторе 4 Ом: U₄ = 3 · 4 = 12 В. На параллельной группе остаётся 18 − 12 = 6 В.
4. Ветвевые токи: I₆ = 6/6 = 1 А, I₃ = 6/3 = 2 А. Их сумма 3 А совпадает с общим током.

Ответ: общий ток — 3 А, ток через резистор 6 Ом — 1 А, через резистор 3 Ом — 2 А. Проверка показывает, что напряжение на параллельных ветвях одинаково, а сумма их токов равна общему току.

Типичные ошибки

При параллельном соединении иногда напрямую складывают сопротивления. Так поступают, перенося правило для последовательной цепи, хотя при параллельном соединении складываются токи и, следовательно, обратные сопротивления. Проверьте результат: сопротивление параллельной группы должно быть меньше наименьшего сопротивления ветви.

Другая ошибка — считать напряжение одинаковым на всех резисторах последовательной цепи. Одинаковым там является ток, а напряжение на каждом элементе зависит от его сопротивления. Для проверки вычислите падения напряжения и убедитесь, что их сумма равна напряжению на всём участке.

В параллельных ветвях ошибочно приравнивают токи, хотя одинаковым для них является напряжение. Ток каждой ветви зависит от её сопротивления: при одинаковом напряжении через меньшее сопротивление течёт больший ток. Рассчитайте токи по закону Ома и проверьте, что их сумма равна общему току.

Тип соединения нельзя определять только по тому, как элементы расположены на рисунке: схема может быть начерчена по-разному. Ошибка возникает, если не проследить узлы и пути тока. Сравните точки подключения: у параллельных элементов совпадают оба узла, а у последовательных между элементами нет разветвления.

Связь с другими темами

Для расчёта сопротивления нужен закон Ома для участка цепи, а также определения силы тока, напряжения и сопротивления. Закон Ома связывает эти величины и позволяет вычислить ток или напряжение после нахождения эквивалентного сопротивления. Поэтому полезно сначала уверенно различать их обозначения и единицы измерения.

Правила соединения резисторов применяются при расчёте разветвлённых цепей и при изучении законов Кирхгофа, которые описывают токи и напряжения в более сложных схемах. Они также нужны для анализа электрических цепей с источниками. Упрощение отдельных участков помогает перейти от схемы с множеством элементов к расчёту токов и напряжений.

Что запомнить

• При последовательном соединении ток через все элементы одинаков.
• При последовательном соединении эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на ветвях одинаково.
• При параллельном соединении складываются величины, обратные сопротивлениям.
• Эквивалентное сопротивление параллельной группы меньше наименьшего сопротивления в ней.
• Смешанную цепь упрощают заменой последовательно или параллельно соединённых групп.