§9. Соединения проводников

Определения и обозначения

Последовательное соединение проводников — соединение элементов один за другим, без разветвлений между ними. Через каждый элемент проходит один и тот же ток, а напряжения на них могут различаться. Сопротивление всего участка обозначают Rобщ; это обозначение понадобится, чтобы заменить несколько элементов одним эквивалентным сопротивлением.

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором концы всех ветвей подключены к одной и той же паре узлов. Каждая ветвь оказывается между одинаковыми точками цепи, поэтому напряжение на них одинаково. Такое определение помогает не перепутать параллельное соединение с элементами, которые лишь похожи на него по расположению на чертеже.

Общее сопротивление — сопротивление участка, который действует на ток так же, как соединённые проводники вместе. Если заменить ими один резистор с таким сопротивлением, то при том же напряжении ток участка останется прежним. Обозначение Rобщ позволяет рассчитывать сложную цепь по частям.

Узел электрической цепи — место соединения нескольких проводников, в котором ток может разделяться по ветвям или вновь объединяться. Узлы помогают установить, какие элементы подключены к одним и тем же точкам цепи. Поэтому при анализе схемы важно проследить электрические соединения, а не только положение линий на рисунке.

Как это устроено

При последовательном соединении заряд не накапливается между соседними элементами. Если бы через один элемент за секунду проходило больше заряда, чем через следующий, на границе возникал бы его избыток или недостаток. В установившемся токе такого накопления нет, поэтому за одинаковое время через каждый элемент проходит одинаковый заряд. Так как сила тока — это заряд, проходящий за единицу времени, ток во всех элементах одинаков: I = I₁ = I₂.

Напряжение на всём последовательном участке равно сумме напряжений на его частях: U = U₁ + U₂. Причина в том, что при движении заряда через несколько элементов изменения энергии складываются, а напряжение характеризует изменение энергии на единицу заряда. Подставим закон Ома: U = IRобщ, U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂. Тогда IRобщ = IR₁ + IR₂, а после сокращения одинакового тока получаем Rобщ = R₁ + R₂.

В параллельном соединении каждая ветвь начинается и заканчивается в тех же узлах, что и остальные. Напряжение между двумя узлами имеет одно значение, поэтому на каждой ветви оно одинаково: U = U₁ = U₂. При этом токи могут различаться: ветвь с меньшим сопротивлением при том же напряжении пропускает больший ток. Это следует из закона Ома I = U/R.

В узле ток распределяется по подключённым ветвям, а затем может снова собраться в общий проводник. Заряд в узле не накапливается, поэтому за единицу времени в него поступает столько же заряда, сколько уходит. Следовательно, полный ток равен сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂. Подставляя закон Ома для каждой ветви и всего участка, получаем U/Rобщ = U/R₁ + U/R₂; сокращая одинаковое напряжение, имеем 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂.

В смешанной цепи есть группы и последовательных, и параллельных элементов. Сначала находят такую группу, для которой можно применить соответствующее правило, и заменяют её общим сопротивлением. Затем анализируют получившуюся упрощённую схему и повторяют действие. Так цепь постепенно сводят к одному сопротивлению, не меняя её действия на ток во внешней части.

Сравнение последовательного и параллельного соединений

Сначала определите тип соединения по тому, как элементы подключены к узлам. Затем выберите строку о токе или напряжении и примените формулу общего сопротивления из таблицы. Сравнение сопротивлений удобно использовать как быструю проверку результата.

Разбор задач

Задача 1. Два резистора сопротивлениями 3 Ом и 5 Ом соединены последовательно. Нужно найти общее сопротивление участка. Поскольку разветвлений между резисторами нет, применяем правило для последовательного соединения.

1. Запишем данные: R₁ = 3 Ом, R₂ = 5 Ом.
2. Для последовательного соединения используем формулу Rобщ = R₁ + R₂.
3. Подставим значения: Rобщ = 3 Ом + 5 Ом = 8 Ом.

Ответ: общее сопротивление участка равно 8 Ом. Оно больше каждого из сопротивлений, что согласуется с правилом для последовательного соединения. При расчёте важно складывать именно сопротивления, а не их обратные величины.

Задача 2. Резисторы 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к источнику напряжением 12 В. Требуется найти общее сопротивление и ток в каждой ветви. Поскольку ветви подключены к одной паре узлов, напряжение на каждой из них равно 12 В.

1. Найдём общее сопротивление: 1/Rобщ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6, значит Rобщ = 2 Ом.
2. Для первой ветви применим закон Ома: I₁ = U/R₁ = 12/6 = 2 А.
3. Для второй ветви также используем закон Ома: I₂ = U/R₂ = 12/3 = 4 А.
4. Проверим: полный ток равен I₁ + I₂ = 2 А + 4 А = 6 А. По закону Ома для участка 12 В / 2 Ом = 6 А, значит расчёт согласован.

Ответ: Rобщ = 2 Ом, токи в ветвях — 2 А и 4 А. Через резистор с меньшим сопротивлением идёт больший ток, потому что напряжение на обоих резисторах одинаково. Проверка суммы токов подтверждает результат.

Задача 3. Резисторы 4 Ом и 8 Ом соединены последовательно; этот участок подключён параллельно резистору 6 Ом. Напряжение всей цепи равно 12 В. Нужно определить общее сопротивление цепи и ток в ней, поэтому сначала упростим последовательную часть.

1. Сопротивление последовательного участка: R₁₂ = 4 Ом + 8 Ом = 12 Ом.
2. Теперь сопротивления 12 Ом и 6 Ом подключены параллельно. Тогда 1/Rобщ = 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12, откуда Rобщ = 4 Ом.
3. Найдём ток всей цепи по закону Ома: I = U/Rобщ = 12 В / 4 Ом = 3 А.

Ответ: общее сопротивление равно 4 Ом, ток всей цепи — 3 А. Последовательную группу нужно было заменить до расчёта параллельного соединения, так как резисторы 4 Ом и 8 Ом образуют одну ветвь. Полученное сопротивление меньше 6 Ом — сопротивления второй ветви, как и должно быть для параллельного участка.

Типичные ошибки

Складывать сопротивления при параллельном соединении. Такое правило легко перенести с последовательного соединения, где сопротивления действительно складываются. Но в параллельной цепи складываются токи ветвей, поэтому складывают обратные величины сопротивлений: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂. Проверь себя: результат должен быть меньше сопротивления каждой ветви.

Считать, что при параллельном соединении ток во всех ветвях одинаков. Путаница возникает потому, что ветви имеют одинаковое напряжение, и эти два свойства соединения могут смешиваться. На деле ток зависит и от сопротивления: I = U/R, поэтому при меньшем сопротивлении ток больше. Проверь расчёт, отдельно применив закон Ома к каждой ветви.

Считать, что при последовательном соединении напряжение на каждом проводнике одинаково. Иногда это свойство ошибочно переносят с параллельного соединения. В последовательной цепи одинаков ток, а напряжения на элементах складываются; их величины зависят от сопротивлений. Проверка проста: сумма напряжений на всех элементах должна равняться напряжению всего участка.

Сворачивать смешанную цепь, не проверив соединение узлов. Элементы могут выглядеть расположенными рядом или на одной линии, но электрически быть подключены иначе. Последовательность требует отсутствия ответвления между элементами, а параллельность — подключения к одной паре узлов. Проследи путь тока по схеме и отметь узлы, прежде чем выбирать формулу.

Связь с другими темами

Для расчёта соединений нужны закон Ома для участка цепи, определение силы тока как заряда, проходящего за время, и понятие напряжения. Они позволяют перейти от правил соединения к вычислению конкретных величин. Соединения проводников применяются при анализе разветвлённых цепей, где ток распределяется между ветвями. Эти знания также пригодятся при изучении измерительных приборов и способов их подключения.

Что запомнить

• При последовательном соединении сила тока одинакова во всех элементах.
• При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• При параллельном соединении полный ток равен сумме токов в ветвях.
• Обратная величина общего сопротивления параллельного соединения равна сумме обратных величин сопротивлений ветвей.
• Общее сопротивление параллельного участка меньше сопротивления каждой его ветви.