63. Соединения проводников

Определения и обозначения

Последовательное соединение — это соединение проводников один за другим, без разветвлений между ними. Через все элементы такой цепи проходит один и тот же ток, а напряжение источника распределяется между ними. Общее сопротивление группы обозначают Rобщ; оно нужно, чтобы рассчитывать всю последовательную цепь как единый участок.

Параллельное соединение — это соединение, при котором концы каждого проводника подключены к одной и той же паре точек цепи. Эти точки называют узлами: в них ток может разделяться на ветви и затем снова соединяться. Такое описание помогает распознать параллельные участки даже на схеме, где элементы расположены непривычно.

Общее сопротивление характеризует всю группу проводников со стороны остальной цепи. Группу можно заменить одним проводником с сопротивлением Rобщ: при том же напряжении он будет потреблять такой же общий ток. Эквивалентная замена упрощает расчёт, но не означает, что внутри группы токи и напряжения на отдельных элементах одинаковы.

Как это устроено

В последовательной цепи нет ответвлений, по которым заряд мог бы уйти в сторону. Если бы в месте соединения заряд накапливался, его количество и электрическое поле там менялись бы со временем; в установившемся режиме этого не происходит. Поэтому за одну и ту же секунду через каждый проводник проходит одинаковый заряд, а значит, I₁ = I₂ = I.

Напряжение всей последовательной группы складывается из напряжений на её частях: Uобщ = U₁ + U₂. По закону Ома для каждого проводника U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂, причём ток I в обоих один и тот же. Подставляя эти выражения в сумму напряжений, получаем Uобщ = I(R₁ + R₂); следовательно, Rобщ = R₁ + R₂, а для нескольких элементов складываются все сопротивления.

При параллельном соединении начало и конец каждой ветви совпадают с одними и теми же узлами. Напряжение — это разность потенциалов между двумя точками, поэтому при подключении ветвей к одной паре узлов напряжение на них одинаково: U₁ = U₂ = Uобщ. Ток в ветвях не обязан быть одинаковым: при том же напряжении через меньшее сопротивление проходит больший ток.

В узле заряд не исчезает и не возникает, поэтому общий ток равен сумме токов в ветвях: Iобщ = I₁ + I₂. По закону Ома Iобщ = U/Rобщ, I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂; подстановка даёт U/Rобщ = U/R₁ + U/R₂. После сокращения на общее напряжение получаем 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂; для нескольких ветвей в сумму включают обратные сопротивления каждой из них.

Смешанную цепь рассчитывают не одной формулой, а поэтапно. Сначала выделяют участок, который точно является последовательной или параллельной группой, и заменяют его эквивалентным сопротивлением. Затем упрощают оставшуюся схему до общего сопротивления и находят общий ток по закону Ома; после этого возвращаются к исходным ветвям, используя равенство токов или напряжений для соответствующего соединения.

Сравнение последовательного и параллельного соединений проводников

Сначала определяй вид соединения по узлам схемы, затем пользуйся нужной строкой таблицы. Для последовательного участка проверяй, что одинаков ток, а для параллельного — что одинаково напряжение. Эти правила помогают выбрать формулу и не перепутать складываемые величины.

Разбор задач

Последовательное соединение

Два резистора сопротивлениями 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно и подключены к источнику напряжения 20 В. Найдём общее сопротивление и силу тока в цепи. Поскольку разветвлений нет, сопротивления складываются, а ток можно определить по закону Ома для всей цепи.

1. Для последовательного участка Rобщ = R₁ + R₂ = 4 Ом + 6 Ом = 10 Ом.
2. По закону Ома I = U/Rобщ = 20 В/10 Ом = 2 А.

Ответ: Rобщ = 10 Ом, I = 2 А. Проверка здравого смысла: при общем сопротивлении 10 Ом напряжение 20 В должно создавать ток 2 А.

Параллельное соединение

Резисторы сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к напряжению 12 В. Напряжение на каждой ветви равно 12 В, поэтому токи в них можно найти независимо. Общий ток затем получится сложением токов ветвей.

1. I₁ = U/R₁ = 12 В/6 Ом = 2 А, а I₂ = U/R₂ = 12 В/3 Ом = 4 А.
2. Iобщ = I₁ + I₂ = 2 А + 4 А = 6 А. Тогда Rобщ = U/Iобщ = 12 В/6 А = 2 Ом.
3. Проверим формулой параллельного соединения: 1/Rобщ = 1/6 + 1/3 = 1/2, значит, Rобщ = 2 Ом.

Ответ: Rобщ = 2 Ом; в ветви 6 Ом течёт ток 2 А, а в ветви 3 Ом — 4 А. Меньшее сопротивление пропускает больший ток при одинаковом напряжении.

Смешанное соединение

Резистор 2 Ом соединён последовательно с параллельной группой резисторов 6 Ом и 3 Ом, вся цепь подключена к источнику 12 В. Сначала упростим параллельную группу, затем присоединим к ней последовательный резистор. Найденный общий ток будет током через резистор 2 Ом и общим током, входящим в ветви.

1. Сопротивление параллельной группы: 1/Rп = 1/6 + 1/3 = 1/2, поэтому Rп = 2 Ом.
2. Общее сопротивление цепи Rобщ = 2 Ом + 2 Ом = 4 Ом. Общий ток Iобщ = 12 В/4 Ом = 3 А.
3. Напряжение на параллельной группе Uп = IобщRп = 3 А · 2 Ом = 6 В. Тогда токи ветвей: I₁ = 6 В/6 Ом = 1 А, I₂ = 6 В/3 Ом = 2 А.
4. Проверка: токи ветвей складываются, 1 А + 2 А = 3 А, что совпадает с общим током.

Ответ: Rобщ = 4 Ом, общий ток равен 3 А; в ветви 6 Ом течёт 1 А, в ветви 3 Ом — 2 А.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать напряжение одинаковым при последовательном соединении. Так думают, потому что ток через элементы один, и эти величины легко перепутать; на самом деле напряжения зависят от сопротивлений. Проверь себя: запиши Uᵢ = IRᵢ — при разных R напряжения обычно разные.

• Ошибка — считать одинаковым ток во всех параллельных ветвях. Равным является напряжение, поскольку ветви подключены к одним узлам, а токи могут отличаться из-за разных сопротивлений. Проверка: рассчитай каждую ветвь по I = U/R и сложи полученные токи.

• Ошибка — складывать сопротивления параллельных проводников напрямую. При таком соединении складываются обратные величины 1/R, потому что складываются токи при одинаковом напряжении. Проверь результат: сопротивление параллельной группы должно быть меньше сопротивления каждой отдельной ветви.

• Ошибка — применять формулу общего сопротивления сразу ко всей смешанной цепи. Формулы относятся к конкретным последовательным или параллельным участкам, поэтому сначала нужно определить узлы и выделить группы. Самопроверка: укажи, какие именно элементы входят в каждую группу, и упрощай схему поэтапно.

Связь с другими темами

Для расчёта соединений нужны сила тока, напряжение и сопротивление, а также закон Ома для участка цепи: I = U/R. Он связывает эти величины и позволяет найти неизвестный ток или напряжение после определения общего сопротивления. Сохранение заряда объясняет, почему ток в последовательной цепи одинаков, а ток в узле распределяется между ветвями.

Правила соединения помогают рассчитывать разветвлённые электрические цепи: освещение, участки электрических схем и устройства с несколькими потребителями. Они также нужны при изучении измерительных приборов, которые подключают к цепи по определённым правилам. Умение находить токи и напряжения в ветвях помогает понять, как элементы влияют друг на друга.

Что запомнить

• При последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова.
• Общее сопротивление последовательной цепи равно сумме сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• При параллельном соединении общий ток равен сумме токов в ветвях.
• Для параллельного соединения складываются обратные сопротивления.
• Общее сопротивление параллельно соединённых проводников меньше сопротивления каждого из них.