§ 6. Соединения проводников

Определения и обозначения

Последовательное соединение — соединение проводников, включённых один за другим без разветвлений между ними. Ток проходит через каждый проводник по одному пути. Это определение помогает узнать такую часть схемы и выбрать правило расчёта её сопротивления.

Параллельное соединение — соединение, при котором концы каждого проводника подключены к одной и той же паре точек цепи. Эти точки называют узлами, а соединённые между ними пути образуют ветви. Определение позволяет определить, к каким элементам применимо правило одинакового напряжения.

Общее сопротивление — сопротивление, которым можно заменить несколько соединённых проводников, не меняя ток и напряжение на участке. Его обычно обозначают Rобщ. Оно нужно, чтобы рассчитать цепь как более простую: сначала определить сопротивление группы, затем применить закон Ома.

Ветвь цепи — участок параллельной цепи, по которому ток может проходить независимо от других ветвей. Ветви начинаются и заканчиваются в общих узлах. Понятие нужно, чтобы различать ток отдельного пути и общий ток, который распределяется между несколькими путями.

Как это устроено

В последовательной цепи заряд не может выбрать другой путь: каждый участок стоит на единственном маршруте от источника и обратно. Поэтому за одинаковое время через поперечное сечение каждого проводника проходит одинаковый заряд. Так как сила тока равна заряду, прошедшему за единицу времени, во всех проводниках ток один и тот же: I = I₁ = I₂ = … .

Напряжение характеризует изменение энергии заряда на участке. Проходя последовательно через несколько проводников, заряд получает или отдаёт энергию на каждом из них, поэтому общее напряжение складывается из отдельных: U = U₁ + U₂ + … . По закону Ома U = IR; поскольку ток в элементах одинаков, подстановка напряжений даёт Rобщ = R₁ + R₂ + … . Значит, каждый новый последовательно включённый резистор увеличивает сопротивление участка.

При параллельном соединении каждый проводник подключён к одним и тем же двум узлам. Напряжение определяется разностью потенциалов этих узлов, а она для всех ветвей одна и та же: U = U₁ = U₂ = … . Поэтому для каждой ветви ток можно найти отдельно по закону Ома, Iᵢ = U/Rᵢ; при одинаковом напряжении ветвь с меньшим сопротивлением пропускает больший ток.

В узле заряд не исчезает и не возникает: сколько заряда поступает за секунду, столько же должно уйти по ветвям. Поэтому общий ток равен сумме токов ветвей: Iобщ = I₁ + I₂ + … . Подставляя закон Ома для каждой ветви и для всего участка, получаем U/Rобщ = U/R₁ + U/R₂ + … . После сокращения на одинаковое напряжение выходит правило 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … .

Чтобы сравнить два способа соединения, спросите себя, какая величина общая для элементов. В последовательной цепи общий путь делает одинаковым ток, а напряжения распределяются между проводниками. В параллельной цепи общие узлы задают одинаковое напряжение, а ток распределяется между ветвями в зависимости от их сопротивлений.

Свойства последовательного и параллельного соединений

Сначала определите по схеме, где элементы соединены последовательно, а где параллельно, затем выберите соответствующую строку с формулой. Строки о токе и напряжении помогают проверить, что именно должно быть одинаковым или складываться. Для смешанной схемы применяйте правила по отдельности к каждой группе.

Разбор задач

Задача 1. Два резистора сопротивлениями 4 Ом и 6 Ом соединены последовательно. Найдите общее сопротивление участка и силу тока при напряжении 20 В. Поскольку соединение последовательное, сначала складываем сопротивления, а уже затем рассчитываем ток всего участка.

1. По правилу последовательного соединения Rобщ = R₁ + R₂ = 4 Ом + 6 Ом = 10 Ом.
2. Для всего участка применяем закон Ома: I = U/Rобщ = 20 В/10 Ом = 2 А.

Ответ: Rобщ = 10 Ом, I = 2 А. Проверка: ток одинаков в обоих резисторах, а напряжения на них составляют 8 В и 12 В; вместе они дают 20 В.

Задача 2. Резисторы 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к напряжению 12 В. Найдите ток в каждой ветви и общий ток. Ветви имеют одинаковое напряжение, поэтому токи удобнее вычислить по отдельности, а затем сложить.

1. Для резистора 6 Ом: I₁ = U/R₁ = 12 В/6 Ом = 2 А.
2. Для резистора 3 Ом: I₂ = U/R₂ = 12 В/3 Ом = 4 А.
3. В узле токи ветвей складываются: Iобщ = I₁ + I₂ = 2 А + 4 А = 6 А.

Ответ: ток через резистор 6 Ом равен 2 А, через резистор 3 Ом — 4 А, общий ток — 6 А. Больший ток во второй ветви согласуется с тем, что при одном напряжении меньшее сопротивление пропускает больший ток.

Задача 3. Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно, а полученный участок последовательно соединён с резистором 5 Ом. Найдите общее сопротивление и ток в цепи при напряжении 18 В. Схему сначала упрощаем внутри: параллельные резисторы заменяем одним сопротивлением, затем учитываем последовательный резистор.

1. Для параллельной пары: 1/Rп = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 1/3, значит Rп = 3 Ом.
2. Параллельный участок и резистор 5 Ом соединены последовательно: Rобщ = 3 Ом + 5 Ом = 8 Ом.
3. Находим ток всей цепи по закону Ома: I = U/Rобщ = 18 В/8 Ом = 2,25 А.

Ответ: общее сопротивление цепи равно 8 Ом, ток равен 2,25 А. Сначала найденное сопротивление параллельной пары стало одним элементом смешанной схемы, поэтому далее применилось правило последовательного соединения.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать сопротивления при параллельном соединении напрямую. Такое действие переносят из правила для последовательной цепи, но в параллельной складываются обратные сопротивления: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … . Проверка проста: общее сопротивление параллельного участка должно быть меньше наименьшего сопротивления ветви.

Ошибка: считать ток во всех параллельных ветвях одинаковым. Путают его с напряжением, общим для ветвей из-за подключения к одним узлам. Токи определяются сопротивлениями: Iᵢ = U/Rᵢ. Проверьте расчёт: при одинаковом напряжении меньшему сопротивлению должен соответствовать больший ток.

Ошибка: полагать, что при последовательном соединении напряжение на каждом проводнике одинаково. Напряжение распределяется, потому что при одинаковом токе Uᵢ = IRᵢ, и на разных сопротивлениях падения напряжения различаются. Сложите найденные напряжения: их сумма должна равняться общему напряжению участка. Если сопротивления разные, одинаковые напряжения обычно получиться не должны.

Ошибка: принимать общее сопротивление параллельного участка за сопротивление каждой ветви. У отдельных резисторов свои значения, а Rобщ описывает всю группу целиком. Ошибка возникает, если не различать параметры ветви и участка. Проверьте итог по правилу: сопротивление параллельной группы меньше сопротивления каждой её ветви.

Связь с другими темами

Для расчёта соединений нужны понятия силы тока, напряжения и электрического сопротивления, а также закон Ома для участка цепи: I = U/R. Без него правила сложения показывают, как связаны величины, но не позволяют найти неизвестный ток или напряжение. Поэтому при решении сначала определяют тип соединения, а затем выбирают нужную формулу и применяют закон Ома.

Правила соединения используют при расчёте разветвлённых электрических цепей с несколькими потребителями. Сложные схемы часто можно упростить, последовательно заменяя группы резисторов их общими сопротивлениями. Такой подход позволяет определить ток всей цепи, а затем восстановить параметры отдельных участков и ветвей.

Что запомнить

• При последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова.
• При последовательном соединении напряжения складываются.
• Общее сопротивление последовательного участка равно сумме сопротивлений проводников.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• Общий ток параллельного участка равен сумме токов в ветвях.
• Для параллельного соединения складываются обратные сопротивления.
• Общее сопротивление параллельного участка меньше сопротивления каждой его ветви.