§ 5. Зависимость удельного сопротивления проводников и полупроводников от температуры

Определения и обозначения

Удельное сопротивление — характеристика материала, равная сопротивлению проводника единичной длины и площади поперечного сечения; обозначается ρ и измеряется в Ом·м. Оно позволяет сравнивать, насколько хорошо ток проходит через разные материалы, не смешивая это свойство с размерами конкретного провода. Чем больше ρ, тем сильнее материал препятствует току.

Температурный коэффициент удельного сопротивления показывает относительное изменение ρ при изменении температуры на 1 К и обозначается α. По нему можно оценить, насколько заметно материал реагирует на нагревание или охлаждение. Знак коэффициента подсказывает направление изменения: рост или уменьшение сопротивления.

Проводник — вещество с большой концентрацией свободных носителей заряда, для которого при нагревании удельное сопротивление обычно увеличивается. В металлах такими носителями преимущественно служат свободные электроны. Это определение помогает связать электрические свойства металла с движением зарядов внутри него.

Полупроводник — вещество, в котором концентрация носителей заряда сильно зависит от температуры, поэтому при нагревании удельное сопротивление обычно уменьшается. Носителями в нём могут быть электроны и дырки — условные положительные носители, связанные с отсутствием электрона в связи. Это свойство позволяет использовать полупроводники как чувствительные элементы для определения температуры.

Как это устроено

Сопротивление проводника определяется формулой R = ρl/S, где l — длина, а S — площадь поперечного сечения. Если размеры проводника остаются неизменными, изменение R вызывается изменением ρ. Поэтому для объяснения температурного поведения сопротивления нужно выяснить, как температура влияет на свойства самого материала, а не только на форму изделия.

В металлах при нагревании число свободных электронов меняется сравнительно мало. Зато атомы кристаллической решётки сильнее колеблются около своих положений равновесия. Электроны сталкиваются с возмущениями решётки чаще, их направленное движение затрудняется, а для поддержания тока требуется большее электрическое поле. Поэтому удельное сопротивление металла обычно возрастает.

В полупроводнике нагревание передаёт частицам энергию, достаточную для появления дополнительных подвижных носителей: свободных электронов и дырок. Чем больше носителей участвует в переносе заряда, тем легче материал проводит ток. Подвижность каждого носителя при нагревании может снижаться из-за более частых столкновений, но обычно увеличение концентрации оказывается сильнее. В результате удельное сопротивление полупроводника уменьшается.

Для металлов в небольшом интервале температур изменение удельного сопротивления приближённо линейно: ρ = ρ₀(1 + α(T − T₀)). Здесь ρ₀ — удельное сопротивление при начальной температуре T₀, а T — температура, для которой его находят. Разность температур можно выражать в кельвинах или градусах Цельсия, поскольку размер одного градуса в этих шкалах одинаков. У металлов α положителен, поэтому при T выше T₀ расчётное ρ становится больше.

Знак и величина температурного коэффициента показывают, как материал реагирует на нагревание и насколько сильно меняется его сопротивление. В частности, по знаку можно отличить обычное поведение металлического проводника от типичного поведения полупроводника. Зависимость сопротивления от температуры используют в термометрах сопротивления и терморезисторах. Изменение электрического параметра в таком приборе позволяет судить о температуре или применять его для автоматического регулирования и защиты цепей.

Зависимость удельного сопротивления от температуры

Сравнивайте прежде всего знак коэффициента и причину изменения сопротивления: эти признаки объясняют, почему материалы ведут себя по-разному. Таблица описывает обычные случаи, а не все возможные особенности конкретного вещества. Для расчёта используйте линейную формулу для металла лишь в ограниченном диапазоне температур.

Разбор задач

Задача 1. Удельное сопротивление металлического проводника при 20 °C равно 1,7·10⁻⁸ Ом·м, а температурный коэффициент равен 0,004 К⁻¹. Найдите удельное сопротивление при 80 °C. Материал — металл, поэтому используем линейную зависимость. Сначала найдём, на сколько градусов изменилась температура.

1. Вычисляем разность: ΔT = 80 °C − 20 °C = 60 К.
2. Подставляем данные: ρ = 1,7·10⁻⁸(1 + 0,004·60) = 1,7·10⁻⁸·1,24.
3. Получаем ρ = 2,108·10⁻⁸ Ом·м, или приблизительно 2,1·10⁻⁸ Ом·м.

Ответ: удельное сопротивление при 80 °C составляет примерно 2,1·10⁻⁸ Ом·м. Оно больше начального, что согласуется с положительным коэффициентом металла. Важно подставлять именно разность температур, а не конечное значение 80 °C.

Задача 2. Сопротивление металлического резистора при 20 °C равно 10 Ом, температурный коэффициент материала равен 0,004 К⁻¹. Как изменится сопротивление при нагревании до 70 °C? Размеры резистора считаем неизменными. Из R = ρl/S следует, что при постоянных l и S относительное изменение R такое же, как у ρ.

1. Находим изменение температуры: ΔT = 70 °C − 20 °C = 50 К.
2. Рассчитываем сопротивление: R = R₀(1 + αΔT) = 10(1 + 0,004·50) = 10·1,2.
3. Получаем R = 12 Ом. Изменение равно 12 − 10 = 2 Ом.

Ответ: сопротивление увеличится на 2 Ом и станет равным 12 Ом. Рост ожидаем, так как коэффициент положителен. Такой расчёт предполагает, что резистор работает в диапазоне, где зависимость можно считать линейной.

Задача 3. Сопротивление полупроводникового терморезистора при 20 °C равно 8 кОм, а при 60 °C — 2 кОм. Определите средний температурный коэффициент сопротивления на этом интервале и объясните знак результата. Используем относительное изменение сопротивления, отнесённое к начальному значению. Ищем среднее изменение за каждый градус, не предполагая, что зависимость линейна на всём интервале.

1. Находим разность температур: ΔT = 60 °C − 20 °C = 40 К.
2. Вычисляем относительное изменение: (R − R₀)/R₀ = (2 − 8)/8 = −0,75.
3. Делим на изменение температуры: αср = −0,75/40 = −0,01875 К⁻¹.

Ответ: средний температурный коэффициент сопротивления равен примерно −0,019 К⁻¹. Минус показывает, что сопротивление при нагревании уменьшилось. Это типично для полупроводника: увеличение числа носителей заряда перевешивает снижение их подвижности.

Типичные ошибки

Подстановка температуры вместо разности T − T₀ даёт неверный расчёт изменения сопротивления. Так ошибаются, когда используют конечную температуру, забывая, что коэффициент описывает изменение относительно начального состояния. Перед подстановкой выпишите T₀, T и отдельно вычислите ΔT. Если при T = T₀ формула не возвращает исходное ρ₀, проверьте подстановку.

Предположение, что при нагревании сопротивление любого материала растёт, не учитывает свойства полупроводников. Его допускают, перенося знакомое поведение металлических проводов на все вещества. Сверяйте вывод со знаком температурного коэффициента и типом материала. Для полупроводника типично отрицательное изменение сопротивления при нагревании.

Удельное сопротивление ρ и сопротивление R — не одно и то же: первое характеризует материал, второе зависит ещё и от длины и площади сечения. Путаница возникает потому, что обе величины связаны формулой R = ρl/S и обе описывают препятствие току. Проверяйте единицы: для ρ это Ом·м, для R — Ом. Если меняются размеры проводника, одного изменения ρ недостаточно, чтобы найти новое R.

Линейная формула для металла не обязана работать при любой температуре. Ошибка появляется, когда приближённую зависимость используют далеко за пределами небольшого температурного интервала. Уточните, дана ли температура в диапазоне применимости коэффициента и формулы. Если диапазон велик, линейный расчёт может дать заметное расхождение с реальным значением.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны закон Ома, понятие сопротивления и формула R = ρl/S: она связывает свойства материала с размерами проводника. Также пригодятся единицы температуры и умение находить разность T − T₀. Знание температурной зависимости помогает понять работу терморезисторов, термометров сопротивления и устройств защиты электрических цепей.

Тема продолжает изучение электрического тока в металлах и полупроводниках: температурное поведение объясняется движением и концентрацией носителей заряда. Эти представления нужны при разборе работы электронных приборов. Они показывают, как изменение условий окружающей среды может влиять на электрические характеристики устройства.

Что запомнить

• Удельное сопротивление характеризует материал, а сопротивление зависит также от размеров проводника.
• Для металлов при нагревании ρ обычно увеличивается.
• Для полупроводников при нагревании ρ обычно уменьшается.
• У металлов температурный коэффициент сопротивления положителен.
• У полупроводников температурный коэффициент сопротивления обычно отрицателен.
• В небольшом диапазоне температур для металлов применима формула ρ = ρ₀(1 + αΔT).
• Температурную зависимость сопротивления используют для измерения и регулирования температуры.