§7. Зависимость удельного сопротивления проводников и полупроводников от температуры

Определения и обозначения

Удельное сопротивление — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать электрическому току; её обозначают греческой буквой ρ. Значение зависит от материала и температуры, а не только от формы конкретного образца. Удельное сопротивление нужно, чтобы сравнивать электрические свойства разных веществ независимо от размеров проводника. Сопротивление образца связано с ним формулой R = ρl/S.

Температурный коэффициент удельного сопротивления — величина α, показывающая, как меняется удельное сопротивление при изменении температуры на один градус вблизи выбранной температуры. Его единица измерения — °C⁻¹ или K⁻¹. Коэффициент позволяет рассчитать изменение ρ в небольшом температурном интервале. Знак α показывает, растёт удельное сопротивление при нагревании или уменьшается.

Сверхпроводимость — состояние некоторых веществ, возникающее при охлаждении ниже критической температуры, когда их электрическое сопротивление становится равным нулю. Критическая температура — граница перехода в это состояние для данного материала. Понятие нужно, чтобы отличать резкий переход к нулевому сопротивлению от обычного изменения сопротивления при изменении температуры. Сверхпроводимость наблюдается не у всех веществ.

Собственная проводимость полупроводника — проводимость чистого полупроводника, обусловленная движением свободных электронов и дырок. Дырка — место, освободившееся в структуре вещества после ухода электрона; она ведёт себя как положительный носитель заряда. При нагревании в чистом полупроводнике образуется больше таких пар носителей. Это понятие помогает объяснить, почему его электрические свойства сильно меняются с температурой.

Как это устроено

В металле часть электронов может перемещаться по кристаллической решётке и создавать ток. При нагревании атомы и ионы в узлах решётки колеблются интенсивнее. Эти колебания чаще отклоняют электроны от направленного движения, то есть усиливают их рассеяние. Из-за этого току труднее проходить через материал, а удельное сопротивление обычно возрастает.

Зависимость ρ металла от температуры вблизи выбранной начальной температуры T₀ часто считают линейной: ρ = ρ₀[1 + α(T − T₀)]. Здесь ρ₀ — удельное сопротивление именно при T₀, T — конечная температура, α — температурный коэффициент. Формула учитывает не само значение конечной температуры, а изменение температуры T − T₀. Это приближение удобно для небольших интервалов, но при больших изменениях температуры зависимость может перестать быть линейной.

В полупроводнике при нагревании некоторые электроны получают достаточно энергии, чтобы стать свободными и участвовать в переносе заряда. При этом в веществе появляются и дырки, которые также переносят заряд. Чем больше носителей, тем больше зарядов может участвовать в токе, поэтому удельное сопротивление обычно уменьшается. Подвижность электронов и дырок при нагревании может снижаться, однако часто увеличение числа носителей оказывается сильнее этого эффекта.

Сравнить металл и полупроводник можно по тому, что именно меняется при нагревании. В металле число свободных носителей обычно меняется незначительно, а решающим становится усиление рассеяния на колебаниях решётки. В полупроводнике существенно возрастает концентрация электронов и дырок. Поэтому направления изменения удельного сопротивления у этих материалов, как правило, противоположны.

У некоторых материалов при охлаждении до критической температуры сопротивление резко становится нулевым. Такое явление называют сверхпроводимостью, и оно не сводится к обычному уменьшению сопротивления при охлаждении. В обычном проводнике сопротивление остаётся ненулевым, даже если постепенно снижается с температурой. Резкий переход к нулю — отличительный признак сверхпроводящего состояния.

Температурная зависимость удельного сопротивления

Сначала сравните направление изменения удельного сопротивления, а затем — причину этого изменения. Таблица помогает не переносить объяснение для металла на полупроводник: температурный эффект в них определяется разными факторами. По последней строке можно увидеть, как зависимость свойств от температуры используют в приборах.

Разбор задач

Задача 1

Удельное сопротивление металлического проводника при 20 °C равно ρ₀, температурный коэффициент равен α. Нужно найти удельное сопротивление при 70 °C. Поскольку дана температура, при которой известно начальное значение, используем линейную формулу для металла. Сначала найдём изменение температуры, а затем подставим его в выражение.

1. Запишем формулу: ρ = ρ₀[1 + α(T − T₀)]. Здесь T₀ = 20 °C, T = 70 °C, а ρ₀ — значение при 20 °C. Такое обозначение не позволяет перепутать начальное удельное сопротивление с искомым.
2. Вычислим разность: T − T₀ = 70 °C − 20 °C = 50 °C. Подставим её в формулу: ρ = ρ₀(1 + 50α). Разность температур в градусах Цельсия численно равна соответствующей разности в кельвинах.
3. Полученное выражение показывает, во сколько раз изменилось удельное сопротивление относительно значения при 20 °C. Если численное значение α известно, его можно подставить и вычислить множитель. Ответ: ρ = ρ₀(1 + 50α).

Задача 2

Сопротивление металлического элемента равно 10 Ом при 20 °C и 12,4 Ом при 80 °C. Требуется найти средний температурный коэффициент сопротивления на этом интервале. Для элемента одинаковой геометрии относительное изменение сопротивления описывают такой же линейной зависимостью, как относительное изменение удельного сопротивления. Речь идёт о среднем коэффициенте в заданном интервале, а не обязательно о точном значении для любой температуры.

1. Запишем связь для сопротивления: R = R₀[1 + α(T − T₀)]. Начальное сопротивление R₀ = 10 Ом, конечное R = 12,4 Ом. Разность температур равна 80 °C − 20 °C = 60 °C.
2. Выразим коэффициент: α = (R/R₀ − 1)/(T − T₀). Отношение сопротивлений равно 12,4/10 = 1,24, поэтому α = (1,24 − 1)/60 °C = 0,24/60 °C. Деление сопротивлений даёт безразмерное число.
3. Вычислим: α = 0,004 °C⁻¹, или 4 · 10⁻³ °C⁻¹. Температурный интервал составлен из разности двух температур в градусах Цельсия, поэтому единицы согласованы. Ответ: средний коэффициент равен 0,004 °C⁻¹.

Задача 3

При нагревании образца полупроводника его сопротивление уменьшилось в несколько раз. Нужно объяснить, как изменилось число носителей заряда и почему результат отличается от поведения металла. Не следует подставлять данные в линейную формулу для металлического проводника: она описывает другой механизм. Рассмотрим, какие изменения происходят внутри полупроводника.

1. При нагревании больше электронов получает энергию, достаточную для перехода в состояние, в котором они могут перемещаться по веществу. Одновременно возникают дырки, поэтому число носителей заряда обоих типов увеличивается. Это усиливает перенос заряда.
2. В результате удельное сопротивление полупроводника обычно уменьшается, и вместе с ним может уменьшиться сопротивление образца. Подвижность носителей при нагревании может стать ниже, но рост их числа часто перевешивает этот эффект. Поэтому наблюдаемое уменьшение сопротивления объясняется прежде всего ростом концентрации электронов и дырок.
3. В металле носителей обычно и так много, а их число при нагревании меняется мало. Там основную роль играет более частое рассеяние электронов на колебаниях решётки, поэтому сопротивление обычно растёт. Ответ: в полупроводнике число носителей увеличилось, и этим объясняется отличие от поведения металла.

Типичные ошибки

Считать удельное сопротивление и сопротивление одним и тем же — ошибка. Её допускают, потому что обе величины описывают препятствие току, но сопротивление зависит также от длины и площади сечения образца. Проверьте себя по формуле R = ρl/S: если размеры входят в выражение, речь идёт о сопротивлении, а не только о свойстве материала.

Подставлять конечную температуру без указания начальной тоже неверно. В формуле используется разность T − T₀, поскольку изменение свойства отсчитывают от значения ρ₀ при температуре T₀. Ошибка возникает, когда символ ρ₀ принимают за значение при 0 °C, хотя в условии оно может быть задано, например, при 20 °C. Перед вычислением подпишите обе температуры и найдите их разность.

Применять линейную формулу для металлов к полупроводнику нельзя. Обычно при нагревании у полупроводника растёт число носителей заряда и уменьшается удельное сопротивление, тогда как металлическая формула описывает иной механизм. Эту ошибку легко допустить, если запомнить формулу, но не разобраться в её области применения. Сначала определите материал и направление изменения ρ, а уже затем выбирайте модель.

Объяснять рост сопротивления металла только изменением концентрации носителей — значит упускать основной эффект. В металле их число при нагревании меняется незначительно, зато усиление колебаний решётки увеличивает рассеяние электронов. Такое объяснение иногда переносят с полупроводников, где концентрация носителей действительно играет важную роль. Проверьте себя вопросом: какой фактор сильнее меняется при нагревании именно этого материала?

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в температурной зависимости, нужно знать, как сопротивление связано с удельным сопротивлением, длиной и площадью сечения проводника. Объяснение опирается на представления об электрическом токе в металлах и полупроводниках и о носителях заряда. На практике эта тема связана с терморезисторами и температурными датчиками, в которых изменение электрических свойств используют для измерения температуры. Понятие сверхпроводимости пригодится при дальнейшем изучении свойств проводников и материалов для низких температур.

Что запомнить

• Удельное сопротивление зависит от материала и температуры.
• У металлов при нагревании удельное сопротивление обычно возрастает.
• Вблизи заданной температуры зависимость удельного сопротивления металла можно считать линейной.
• При нагревании полупроводников обычно растёт число свободных носителей заряда.
• Удельное сопротивление полупроводника при нагревании обычно уменьшается.
• Нулевое сопротивление ниже критической температуры — признак сверхпроводимости.