"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Последовательная цепь с резистором, катушкой и конденсатором показывает, как переменный ток взаимодействует с электрическим и магнитным полями. Катушка и конденсатор по-разному противодействуют току, а их сопротивления зависят от частоты. Поэтому ток определяется не простой суммой сопротивлений, а полным сопротивлением цепи. При резонансе сопротивления катушки и конденсатора компенсируются, и ток достигает максимума.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переменный ток — ток, сила и направление которого периодически изменяются. Его мгновенную силу обозначают i, а мгновенное напряжение — u: значения этих величин в каждый момент времени могут быть разными. В расчётах цепей обычно используют действующие значения I и U — такие значения постоянного тока и напряжения, которые выделяют на резисторе ту же мощность.
Индуктивное сопротивление X_L — сопротивление катушки переменному току; оно определяется формулой X_L = ωL, где L — индуктивность, а ω — циклическая частота. Оно показывает, насколько катушка ограничивает ток из-за самоиндукции. Чем быстрее меняется ток, тем больше это сопротивление.
Ёмкостное сопротивление X_C — сопротивление конденсатора переменному току, равное X_C = 1/(ωC), где C — ёмкость. Оно обратно пропорционально частоте: при более частых изменениях напряжения конденсатор легче пропускает ток. Эта формула нужна, чтобы сравнивать действие конденсатора с действием катушки.
Резонанс напряжений — явление в последовательной цепи с резистором, катушкой и конденсатором, при котором X_L = X_C. Реактивные действия катушки и конденсатора компенсируются, поэтому ток достигает максимума. Резонанс позволяет выбирать нужную частоту в электрических цепях.
Переменное напряжение источника заставляет заряды двигаться то в одну, то в другую сторону, поэтому ток в цепи периодически меняется. В цепи с конденсатором его обкладки поочерёдно заряжаются, а затем разряжаются. В катушке меняющийся ток создаёт меняющееся магнитное поле; энергия попеременно запасается в электрическом и магнитном полях и переходит из одного в другое.
Катушка препятствует изменению тока: при изменении магнитного поля возникает ЭДС самоиндукции, направленная против причины изменения. Поэтому для поддержания тока на катушке требуется напряжение, которое опережает ток по фазе на π/2. Конденсатор препятствует быстрому изменению напряжения, поскольку его заряд связан с напряжением на обкладках. В результате ток через конденсатор опережает напряжение на π/2.
Индуктивное и ёмкостное сопротивления зависят от частоты противоположным образом. При увеличении частоты ток меняется быстрее, и катушка сильнее противодействует этому изменению: X_L = ωL растёт. Конденсатор, напротив, успевает чаще перезаряжаться, поэтому X_C = 1/(ωC) уменьшается. Значит, при изменении частоты соотношение сопротивлений в цепи тоже меняется.
В последовательной цепи через резистор, катушку и конденсатор проходит один и тот же ток, но их действия на переменный ток различаются по фазе. Активное сопротивление R превращает электрическую энергию в другие виды, а реактивные сопротивления связаны с обменом энергией с полями. Поэтому реактивные сопротивления не складывают как обычные: учитывают их разность, а полное сопротивление вычисляют по формуле Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Действующий ток равен I = U/Z.
При изменении частоты может наступить условие X_L = X_C. Тогда вклады катушки и конденсатора в реактивное сопротивление взаимно компенсируются, а полное сопротивление становится равным R. При неизменном напряжении источника ток I = U/Z в этот момент максимален — это резонанс напряжений. Из равенства ωL = 1/(ωC) получают ω₀ = 1/√(LC), или f₀ = 1/(2π√(LC)).
Таблица помогает быстро сравнить, как резистор, катушка и конденсатор влияют на переменный ток. Сначала определите элемент, затем проследите, какая величина опережает по фазе и как сопротивление зависит от частоты. Для цепи с несколькими элементами учитывайте, что сопротивления катушки и конденсатора складываются с противоположными знаками.
| Элемент | Сопротивление | Соотношение фаз напряжения и тока | Зависимость сопротивления от частоты |
|---|---|---|---|
| Резистор | Активное: R | Напряжение и ток совпадают по фазе | Не зависит от частоты в идеальной модели |
| Катушка индуктивности | Индуктивное: X_L = ωL | Напряжение опережает ток на π/2 | Увеличивается с частотой |
| Конденсатор | Ёмкостное: X_C = 1/(ωC) | Ток опережает напряжение на π/2 | Уменьшается с частотой |
Задача 1. К резистору сопротивлением 100 Ом подключено переменное напряжение с действующим значением 20 В. Найдём действующее значение тока. Поскольку в условии дан резистор, его сопротивление активно, и применим закон Ома I = U/R.
Ответ: действующее значение тока равно 0,20 А.
Задача 2. Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику частотой 50 Гц. Требуется найти индуктивное сопротивление. В формуле X_L = ωL нужна циклическая частота, поэтому сначала выразим её через обычную частоту.
Ответ: X_L ≈ 63 Ом.
Задача 3. Последовательно соединены резистор 30 Ом, катушка 0,10 Гн и конденсатор 100 мкФ. Найдём частоту резонанса и действующий ток, если напряжение источника равно 12 В. При резонансе X_L = X_C, поэтому можно сразу найти частоту по параметрам L и C, а затем использовать Z = R.
Ответ: частота резонанса примерно 50,3 Гц, действующий ток при резонансе — 0,40 А.
Считать X_L и X_C постоянными нельзя: оба сопротивления зависят от частоты, причём в противоположных направлениях. Ошибка возникает, если забыть, что частота входит в формулы X_L = ωL и X_C = 1/(ωC). Проверьте себя: при увеличении частоты X_L должно расти, а X_C — уменьшаться.
Нельзя складывать X_L и X_C при вычислении полного сопротивления последовательной цепи: нужно учитывать разность Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Их действия на фазу противоположны, поэтому при равенстве они компенсируются. Проверка проста: при X_L = X_C формула должна давать Z = R, а не увеличенное сопротивление.
Легко перепутать фазовые соотношения катушки и конденсатора, потому что оба элемента связаны с накоплением энергии. В катушке напряжение опережает ток, а в конденсаторе ток опережает напряжение; в обоих случаях сдвиг составляет π/2. Для проверки можно вспомнить причину: катушка противится изменению тока, а конденсатор — изменению напряжения.
Подстановка амплитуды напряжения в формулу для действующего тока приводит к ошибке в √2 раза. Закон Ома I = U/Z для действующих величин требует действующего напряжения, а амплитудное обозначают Uₘ. Перед расчётом проверьте, какое значение дано: если дано Uₘ, сначала найдите U = Uₘ/√2.
Для понимания цепей переменного тока нужны знания о гармонических колебаниях, частоте, периоде и фазе: они описывают, как меняются ток и напряжение. Также пригодятся закон Ома, электромагнитная индукция и формулы энергии электрического и магнитного полей. Идея резонанса применяется в радиоприёмных цепях для выбора частоты, а свойства переменного тока важны для работы трансформаторов и передачи электроэнергии.
Почему катушка и конденсатор оказывают сопротивление переменному току?
В катушке меняющийся ток вызывает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению тока. В конденсаторе переменный ток периодически заряжает и разряжает обкладки, а напряжение на конденсаторе меняется не мгновенно. Поэтому оба элемента ограничивают переменный ток, хотя и по разным причинам.
Почему индуктивное сопротивление увеличивается с частотой?
При большей частоте ток быстрее меняется, поэтому сильнее проявляется самоиндукция. Катушка создаёт ЭДС, противодействующую этим изменениям. Это выражается формулой X_L = ωL: с ростом ω увеличивается и X_L.
Почему ёмкостное сопротивление уменьшается с частотой?
При высокой частоте напряжение успевает чаще менять направление, и конденсатор быстрее перезаряжается. Поэтому через него может проходить больший переменный ток при том же напряжении. Формула X_C = 1/(ωC) показывает, что с увеличением частоты ёмкостное сопротивление уменьшается.
Что происходит с током в последовательной RLC-цепи при резонансе?
При резонансе X_L = X_C, поэтому реактивные сопротивления компенсируются. Полное сопротивление цепи становится равным активному сопротивлению R, а действующий ток достигает максимума при данном напряжении источника.
Чем действующее значение переменного тока отличается от амплитудного?
Амплитудное значение — это наибольшее мгновенное значение тока за период, а действующее характеризует его действие на резистор. Для гармонического тока I = Iₘ/√2, где Iₘ — амплитуда. Аналогично U = Uₘ/√2 для напряжения.
§42. Колебательный контур в цепи переменного тока
