§41. Свободные гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор ёмкостью C накапливает заряд и энергию электрического поля, а катушка индуктивностью L создаёт магнитное поле при прохождении тока. Эти обозначения позволяют связать свойства элементов с периодом колебаний.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и тока в контуре после его начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Начальным возбуждением может быть, например, заряд конденсатора. Термин «свободные» показывает, что дальнейшее изменение величин происходит за счёт энергии самого контура.

Собственная циклическая частота — циклическая частота свободных колебаний идеального контура, задаваемая его индуктивностью L и ёмкостью C. Её обозначают ω₀ и вычисляют по формуле ω₀ = 1/√(LC). Она показывает, насколько быстро изменяется фаза колебаний, и нужна для записи законов изменения величин.

Период свободных колебаний — время, за которое электрические и магнитные величины в контуре проходят полный цикл изменения. Период обозначают T и измеряют в секундах. Он позволяет сравнивать быстроту колебаний и рассчитывается через параметры контура.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому между его обкладками возникает электрическое поле и контур обладает электрической энергией. После замыкания цепи конденсатор начинает разряжаться, а освободившиеся заряды движутся по проводам. Их упорядоченное движение и есть электрический ток. Чем больше начальный заряд, тем больше запасённая энергия при неизменной ёмкости.

Проходящий ток создаёт магнитное поле катушки, и энергия постепенно накапливается в этом поле. Катушка обладает самоиндукцией: при изменении тока в ней возникает ЭДС, препятствующая этому изменению. Поэтому ток не прекращается мгновенно, даже когда заряд конденсатора становится равным нулю. Продолжающийся ток переносит заряд на обкладки уже с противоположной полярностью.

Когда конденсатор перезарядился, ток начинает уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки возвращается в электрическое поле конденсатора. Затем конденсатор снова разряжается, но ток направлен теперь в обратную сторону. Так повторяется переход энергии из электрической формы в магнитную и обратно. В идеальном контуре, где нет потерь, полная энергия сохраняется, хотя её распределение между элементами меняется.

Для идеального контура заряд описывается гармоническим законом q = qₘ cos(ω₀t + φ₀), где qₘ — амплитуда заряда, а φ₀ — начальная фаза. Ток равен производной заряда по времени: I = dq/dt = −ω₀qₘ sin(ω₀t + φ₀). Поэтому при максимальном по модулю заряде ток равен нулю, а при прохождении заряда через ноль ток максимален. Графики заряда и тока сдвинуты по фазе на четверть периода.

Уравнение колебаний приводит к формулам ω₀ = 1/√(LC) и T = 2π√(LC). Если увеличить индуктивность L или ёмкость C, произведение LC станет больше, а период возрастёт: контур будет колебаться медленнее. Если уменьшить L или C, период сократится. Частота обычных колебаний связана с циклической частотой формулой ν = ω₀/(2π) = 1/T.

Изменение величин и энергии в идеальном колебательном контуре

Сначала определите, какую величину ищете, а затем выберите её формулу в таблице. Для поиска значений в конкретный момент подставляйте время в закон заряда или тока, учитывая начальную фазу. При задачах на энергию удобно использовать сохранение полной энергии и связь Wэ + Wм = W.

Разбор задач

Задача 1. В идеальном контуре L = 0,20 Гн и C = 5,0 мкФ. Найти период и частоту собственных колебаний. Сначала нужно привести ёмкость к фарадам, иначе произведение LC нельзя корректно подставить в формулу. Затем период находится из формулы Томсона, а частота — как величина, обратная периоду.

1. Переведём ёмкость: C = 5,0 мкФ = 5,0·10⁻⁶ Ф.
2. Вычислим период: T = 2π√(LC) = 2π√(0,20·5,0·10⁻⁶) ≈ 6,3·10⁻³ с.
3. Найдём частоту: ν = 1/T ≈ 1/(6,3·10⁻³ с) ≈ 1,6·10² Гц.

Ответ: T ≈ 6,3 мс, ν ≈ 160 Гц. Проверка единиц подтверждает результат: период выражен в секундах, а частота — в герцах.

Задача 2. Заряд задан законом q = 4,0·10⁻⁶ cos(500t) Кл. Требуется найти амплитуды заряда и тока, период, а также ток при t = 0. Сопоставление с общим законом q = qₘ cos(ω₀t + φ₀) сразу даёт qₘ = 4,0·10⁻⁶ Кл и ω₀ = 500 рад/с. Ток следует получить дифференцированием, а не считать синфазным с зарядом.

1. Амплитуда заряда: qₘ = 4,0·10⁻⁶ Кл.
2. Из I = dq/dt получаем I = −4,0·10⁻⁶·500 sin(500t) = −2,0·10⁻³ sin(500t) А, поэтому Iₘ = 2,0·10⁻³ А.
3. Период: T = 2π/ω₀ = 2π/500 ≈ 1,26·10⁻² с.
4. При t = 0 синус равен нулю, следовательно, I(0) = 0.

Ответ: qₘ = 4,0·10⁻⁶ Кл, Iₘ = 2,0 мА, T ≈ 12,6 мс, I(0) = 0. Нулевой ток в начальный момент согласуется с тем, что заряд тогда максимален.

Задача 3. В идеальном контуре известны L и максимальный заряд qₘ. Когда заряд равен qₘ/2, определить ток и энергию магнитного поля. Числа для L и qₘ не заданы, поэтому результат нужно выразить через эти параметры; ёмкость в окончательной формуле не потребуется. Сохранение энергии позволяет сравнить полную энергию с электрической энергией при данном заряде.

1. Полная энергия при максимальном заряде: W = qₘ²/(2C).
2. При q = qₘ/2 электрическая энергия Wэ = q²/(2C) = qₘ²/(8C) = W/4.
3. Магнитная энергия равна остатку: Wм = W − Wэ = 3W/4 = 3qₘ²/(8C).
4. Так как Wм = LI²/2, получаем |I| = √(2Wм/L) = (qₘ/√(LC))·√3/2 = √3·ω₀qₘ/2.

Ответ: Wм = 3W/4, |I| = √3·ω₀qₘ/2. Знак тока зависит от того, движется ли заряд к нулю или, наоборот, удаляется от него; по одним только q и qₘ направление определить нельзя.

Типичные ошибки

Считать, что ток прекращается сразу после полной разрядки конденсатора. Так думают, потому что при q = 0 исчезает электрическое поле конденсатора. Но магнитное поле катушки сохраняет энергию и из-за самоиндукции поддерживает ток, который перезаряжает конденсатор. Проверка: в этот момент заряд равен нулю, а ток по модулю максимален.

Путать циклическую частоту ω₀ и частоту ν. Обе величины характеризуют быстроту колебаний, но циклическая частота измеряется в радианах в секунду, а обычная — в герцах. Их связь — ω₀ = 2πν, поэтому в формуле периода T = 2π/ω₀ присутствует множитель 2π. Проверяйте, какая именно частота дана и какие у неё единицы.

Считать ток и заряд синфазными. Это заблуждение возникает, если забыть, что ток определяется не самим зарядом, а скоростью его изменения. Из I = dq/dt следует, что максимальный заряд соответствует нулевому току, а прохождение заряда через ноль — максимальному току. Проверить вывод можно, продифференцировав закон q(t).

Считать, что энергия исчезает при переходе между электрической и магнитной формами. При разрядке конденсатора его электрическая энергия уменьшается, и может показаться, что она пропала. В идеальном контуре она становится энергией магнитного поля катушки, а сумма Wэ + Wм остаётся постоянной. Проверка: сравните энергии в моменты q = qₘ и q = 0 — вся энергия лишь меняет форму.

Связь с другими темами

Для изучения контура понадобятся понятия ёмкости конденсатора и индуктивности катушки, формулы энергий электрического и магнитного полей, а также закон электромагнитной индукции и самоиндукция. Законы гармонических электромагнитных колебаний помогают перейти к переменному току и вынужденным колебаниям. Формула периода T = 2π√(LC) используется при изучении резонанса и работы колебательных цепей.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону.
• Ток равен производной заряда по времени и сдвинут относительно заряда на четверть периода.
• Собственная циклическая частота идеального контура равна ω₀ = 1/√(LC).
• Период собственных колебаний равен T = 2π√(LC).