§ 27. Свободные гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора ёмкостью C и катушки индуктивностью L. Если конденсатор предварительно зарядить, а затем замкнуть цепь, в ней начнут изменяться заряд и ток. Контур нужен для получения электромагнитных колебаний и описания их обмена энергией.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, напряжения и силы тока после начального возбуждения контура, без внешнего периодического воздействия. Их дальнейшее развитие определяется свойствами самого контура. Это отличает их от колебаний, которые постоянно поддерживает источник.

Гармонические колебания — колебания, при которых изменяющаяся величина зависит от времени по закону синуса или косинуса. Например, заряд можно записать как q = qₘ cos(ωt + φ). Такая запись позволяет по амплитуде, частоте и начальной фазе описать состояние контура в любой момент.

Собственная циклическая частота ω — величина, задающая скорость свободных колебаний идеального контура; она зависит от его ёмкости и индуктивности. Её измеряют в радианах в секунду, а вычисляют по формуле ω = 1/√(LC). Это параметр системы: его не нужно задавать внешним периодическим воздействием.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, например, подключая к источнику напряжения. На его обкладках накапливаются заряды противоположных знаков, а между ними возникает электрическое поле. В этом поле запасена энергия Wэ = q²/(2C), поэтому заряженный конденсатор служит начальным запасом энергии для будущих колебаний.

Когда источник отключают и замыкают контур, конденсатор начинает разряжаться через катушку. Напряжение на его обкладках вызывает движение зарядов, то есть электрический ток, а ток создаёт вокруг катушки магнитное поле. По мере разрядки энергия электрического поля уменьшается и переходит в энергию магнитного поля.

При полной разрядке конденсатора ток не прекращается: движущиеся заряды уже создают магнитное поле катушки. Изменение тока вызывает ЭДС самоиндукции — явление, при котором катушка противодействует изменению тока. Поэтому ток продолжает течь и переносит заряды на обкладки, перезаряжая конденсатор с противоположной полярностью.

Зарядившийся наоборот конденсатор создаёт ток в обратном направлении, и процесс повторяется. Так заряд и ток периодически меняются, а энергия переходит из электрического поля в магнитное и обратно. В идеальном контуре, где нет потерь энергии, полная энергия сохраняется; в реальной цепи часть её рассеивается, поэтому колебания постепенно затухают.

Гармонический закон удобно записать в виде q = qₘ cos(ωt + φ), где qₘ — амплитуда заряда, а φ — начальная фаза. Напряжение связано с зарядом формулой u = q/C, поэтому имеет ту же фазу и амплитуду Uₘ = qₘ/C. Ток i = dq/dt, поэтому при такой записи i = −ωqₘ sin(ωt + φ), его амплитуда Iₘ = ωqₘ, а период T = 2π√(LC) задаёт формула Томсона.

Величины и соотношения в идеальном колебательном контуре

Таблица описывает случай, когда начальный заряд максимален в момент t = 0; при других начальных условиях меняется φ. Чтобы найти ток по заданному закону заряда, нужно взять производную, а не записывать его в той же фазе. Частота ν измеряется в герцах, циклическая частота ω — в радианах в секунду.

Разбор задач

Период и частота контура

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ зарядили и подключили к катушке индуктивностью 0,25 Гн. Требуется найти период и частоту свободных колебаний идеального контура. Сначала применим формулу Томсона, предварительно выразив ёмкость в фарадах.

1. Переведём единицы: C = 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф, L = 0,25 Гн.
2. Подставим в формулу: T = 2π√(LC) = 2π√(0,25·4·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ с ≈ 6,28·10⁻³ с.
3. Частота обратна периоду: ν = 1/T ≈ 1/(6,28·10⁻³) ≈ 159 Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц. Проверка порядка величин показывает, что при таком малом произведении LC период составляет несколько миллисекунд, а частота — сотни герц.

Закон изменения тока

Заряд задан законом q = 6·10⁻⁶ cos(500t) Кл. Нужно определить амплитуду заряда, циклическую частоту, период, максимальный ток и закон изменения тока. Сопоставим выражение со стандартной формой q = qₘ cos(ωt), а затем продифференцируем его по времени.

1. Из записи сразу получаем qₘ = 6·10⁻⁶ Кл и ω = 500 рад/с.
2. Период равен T = 2π/ω = 2π/500 ≈ 0,0126 с.
3. Ток i = dq/dt = −6·10⁻⁶·500 sin(500t) = −3·10⁻³ sin(500t) А. Поэтому Iₘ = ωqₘ = 3·10⁻³ А.

Ответ: qₘ = 6 мкКл, ω = 500 рад/с, T ≈ 12,6 мс, Iₘ = 3 мА; i = −3·10⁻³ sin(500t) А. Минус появляется при дифференцировании косинуса и показывает направление тока относительно выбранного направления заряда.

Напряжение и энергия

В идеальном контуре C = 2 мкФ, максимальный заряд qₘ = 8 мкКл. Нужно найти максимальное напряжение, максимальную энергию конденсатора и максимальную энергию магнитного поля катушки. Сначала вычислим энергию в момент максимального заряда, а затем используем сохранение полной энергии.

1. Переведём величины в СИ: C = 2·10⁻⁶ Ф, qₘ = 8·10⁻⁶ Кл. Тогда Uₘ = qₘ/C = 4 В.
2. Максимальная энергия конденсатора Wэ,max = qₘ²/(2C) = (8·10⁻⁶)²/(2·2·10⁻⁶) = 16·10⁻⁶ Дж.
3. В идеальном контуре эта энергия равна полной энергии системы. Когда энергия магнитного поля максимальна, она также равна 16·10⁻⁶ Дж.

Ответ: Uₘ = 4 В, Wэ,max = 16 мкДж, Wм,max = 16 мкДж. Максимумы электрической и магнитной энергии достигаются не одновременно: в разные моменты одна форма энергии полностью переходит в другую.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при полной разрядке конденсатора ток обязательно прекращается. Такое рассуждение игнорирует энергию уже возникшего магнитного поля и самоиндукцию катушки, которая препятствует резкому изменению тока. Проверьте себя: в момент нулевого заряда энергия магнитного поля и ток, наоборот, максимальны.

Ошибка: путать период T, частоту ν и циклическую частоту ω. Это происходит потому, что все три величины связаны с повторением колебаний, но измеряются и вычисляются по-разному: ν = 1/T, ω = 2πν. При проверке формул убедитесь, что множитель 2π не потерян, а единицы соответствуют величине.

Ошибка: записывать ток в той же фазе, что и заряд. Ток равен производной заряда, поэтому его закон получают дифференцированием, и между величинами возникает сдвиг на четверть периода. Для самопроверки возьмите производную q(t): при максимальном заряде она равна нулю, а при прохождении заряда через ноль ток по модулю максимален.

Ошибка: полагать, что энергия электрического и магнитного полей одновременно максимальна. В идеальном контуре они переходят друг в друга, а сохраняется их сумма. Проверьте себя по крайним состояниям: при максимальном заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде ток максимален.

Связь с другими темами

Для описания контура нужны уже знакомые ёмкость конденсатора, индуктивность катушки и формулы энергии электрического и магнитного полей. Связь с гармоническими механическими колебаниями помогает узнавать амплитуду, период, частоту и фазовый сдвиг в законах изменения заряда и тока. Далее модель контура пригодится для изучения вынужденных электромагнитных колебаний, резонанса и принципа работы радиоприёмника.

Что запомнить

• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия.
• В идеальном контуре энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно.
• Заряд и напряжение конденсатора изменяются гармонически; ток связан с изменением заряда во времени.
• Период собственных колебаний идеального контура определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Собственная частота зависит от ёмкости и индуктивности контура: при увеличении любой из них период возрастает.
• В идеальном контуре полная энергия электромагнитных колебаний сохраняется.