8. Квантовая теория электромагнитного излучения и вещества

Определения и обозначения

Квант электромагнитного излучения, или фотон, — отдельная порция энергии, которую излучение передаёт веществу или получает от него. Энергия фотона определяется формулой E = hν, где ν — частота излучения. Такое описание нужно, чтобы учитывать дискретный, а не непрерывный обмен энергией на микроскопическом уровне.

Постоянная Планка h — фундаментальная физическая постоянная, задающая связь между энергией фотона и частотой: E = hν. Её значение примерно равно 6,63 · 10⁻³⁴ Дж · с. Благодаря этой постоянной волновую характеристику света — частоту — можно связать с энергией отдельного кванта.

Импульс фотона — его характеристика движения, несмотря на нулевую массу покоя. Для фотона p = E/c = hν/c = h/λ, где c — скорость света, а λ — длина волны. Эта формула позволяет описывать передачу импульса светом и связывает его волновые свойства с механическим воздействием.

Волна де Бройля — волна, связанная с движущейся частицей вещества; её длина равна λ = h/p. Здесь p — импульс частицы, а не обязательно её скорость. Формула нужна, чтобы оценить, могут ли у частицы проявиться дифракция и другие волновые эффекты.

Как это устроено

Классическая картина предполагала, что энергия излучения может меняться плавно, как угодно малыми порциями. Планк предложил, что вещество испускает и поглощает энергию отдельными квантами, причём энергия каждого кванта пропорциональна частоте. Поэтому излучение с более высокой частотой передаёт при одном акте обмена больший квант энергии.

Свет ведёт себя как поток фотонов, потому что при взаимодействии с атомами энергия передаётся отдельными порциями. Отдельный фотон не делится при поглощении на произвольные доли: его энергия задаётся частотой света. Если увеличить интенсивность при неизменной частоте, возрастёт число фотонов, падающих на поверхность за единицу времени, а не энергия каждого из них.

Формулы E = hν и p = h/λ показывают, как в описании фотона сочетаются свойства частицы и волны. Энергия связана с частотой, а импульс — с длиной волны. Поскольку для света λν = c, обе характеристики согласуются: p = E/c. Так волновые величины описывают энергию и импульс отдельных квантов.

Де Бройль предположил, что волновые свойства есть не только у света, но и у частиц вещества. Основание для такого шага — симметрия описания: если свет, который распространяется как волна, передаёт энергию порциями, то и частица может иметь связанную с ней волну. Формула λ = h/p даёт конкретную проверяемую связь: при большем импульсе длина волны меньше.

Корпускулярно-волновой дуализм — это проявление в одном объекте свойств, которые в классической физике связывали с частицами или волнами. Волновые свойства света обнаруживаются, например, в интерференции и дифракции, а квантовые — при передаче энергии фотонами. Для вещества волновое поведение микрочастиц проявляется в дифракции электронов, тогда как локальные столкновения показывают их корпускулярную сторону.

Квантовые характеристики фотона и частицы вещества

Сначала определите, о каком объекте идёт речь, а затем выберите соответствующую связь между его характеристиками. Для фотона используйте E = hν и p = E/c, для частицы вещества — λ = h/p. Формулы p = mv и Eₖ = p²/(2m) применимы к частице вещества в нерелятивистском случае.

Разбор задач

Задача 1. Найти энергию фотона излучения частотой 5,0 · 10¹⁴ Гц. Частота уже задана в герцах, поэтому можно сразу подставить её в E = hν. Возьмём h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж · с.

1. Запишем формулу энергии фотона: E = hν. Она показывает, что при фиксированной частоте энергия одного кванта определена однозначно.
2. Подставим значения: E = 6,63 · 10⁻³⁴ · 5,0 · 10¹⁴ = 3,315 · 10⁻¹⁹ Дж. В единицах Дж · с и Гц секунды сокращаются, остаются джоули.
3. Округлим результат до двух значащих цифр: E ≈ 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж. Ответ: энергия фотона равна примерно 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж.

Задача 2. Энергия фотона равна 4,0 · 10⁻¹⁹ Дж; найти его импульс и длину волны. Сначала найдём импульс по формуле E = pc, а затем используем связь импульса с длиной волны. Примем c = 3,0 · 10⁸ м/с и h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж · с.

1. Выразим импульс: p = E/c. Подстановка даёт p = (4,0 · 10⁻¹⁹)/(3,0 · 10⁸) ≈ 1,33 · 10⁻²⁷ кг · м/с.
2. Найдём длину волны из λ = h/p. Получаем λ = (6,63 · 10⁻³⁴)/(1,33 · 10⁻²⁷) ≈ 4,97 · 10⁻⁷ м.
3. Проверим порядок величины: 4,97 · 10⁻⁷ м — это около 500 нм. Ответ: p ≈ 1,3 · 10⁻²⁷ кг · м/с, λ ≈ 5,0 · 10⁻⁷ м.

Задача 3. Электрон ускорен разностью потенциалов 150 В; найти его длину волны де Бройля и сравнить с препятствием размером 0,10 нм. Электрон получает кинетическую энергию eU, где e = 1,60 · 10⁻¹⁹ Кл. Считаем движение нерелятивистским и используем массу электрона mₑ = 9,11 · 10⁻³¹ кг.

1. Найдём кинетическую энергию: Eₖ = eU = 1,60 · 10⁻¹⁹ · 150 = 2,40 · 10⁻¹⁷ Дж. Для нерелятивистского электрона Eₖ = p²/(2mₑ), поэтому p = √(2mₑEₖ) ≈ 6,61 · 10⁻²⁴ кг · м/с.
2. Вычислим длину волны: λ = h/p = (6,63 · 10⁻³⁴)/(6,61 · 10⁻²⁴) ≈ 1,00 · 10⁻¹⁰ м. Это равно 0,10 нм.
3. Сравним длину волны с размером препятствия: они примерно равны, значит, волновые эффекты могут быть заметны. Ответ: λ ≈ 0,10 нм; условие для наблюдения дифракции подходящее.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при увеличении интенсивности растёт энергия каждого фотона. Такое заключение возникает из смешения энергии отдельного кванта с энергией всего потока света. При неизменной частоте энергия фотона остаётся E = hν, а число фотонов в потоке увеличивается; проверьте, не изменилась ли частота в условии.

Ошибка: подставлять скорость частицы прямо в формулу де Бройля вместо импульса. Обычно так поступают, автоматически заменяя p на mv, хотя эта формула верна для нерелятивистского движения и частицы с массой. Сначала найдите импульс подходящим способом и проверьте, не близка ли скорость к скорости света.

Ошибка: считать фотон частицей с массой покоя. Это следует из привычного представления, что импульс возможен только у массивного тела. У фотона масса покоя равна нулю, но есть энергия и импульс p = E/c; для проверки используйте именно эту связь, а не p = mv.

Ошибка: полагать, что волновые свойства принадлежат только свету. Такое мнение связано с привычным разделением волн и частиц в классической физике. Волна де Бройля относится и к частицам вещества; проверьте, можно ли для объекта вычислить λ = h/p и сравнить её с размером препятствия.

Связь с другими темами

Для работы с формулами фотона нужны связь длины волны и частоты электромагнитного излучения λν = c, а также понятия энергии и импульса. Квантовые представления помогают объяснять фотоэффект, строение атома и взаимодействие излучения с веществом. Волна де Бройля важна для понимания дифракции электронов и служит одним из оснований квантовой механики.

Что запомнить

• Энергия фотона равна E = hν.
• Импульс фотона равен p = E/c = h/λ.
• Частота определяет энергию фотона, а длина волны связана с его импульсом.
• Длина волны де Бройля частицы равна λ = h/p.
• Волновые свойства проявляются у частиц вещества наряду с корпускулярными.
• Корпускулярно-волновой дуализм относится и к излучению, и к веществу.