9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Определения и обозначения

Молекулярно-кинетическая теория — учение, объясняющее свойства вещества движением и взаимодействием его частиц. Иными словами, наблюдаемые явления связывают с тем, как движутся атомы и молекулы и сталкиваются ли они друг с другом. Такой подход помогает понять, почему газ оказывает давление и как его свойства меняются при нагревании.

Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул пренебрегают, а взаимодействие между ними учитывают только во время столкновений. Это упрощение позволяет описывать газ несколькими величинами, не рассматривая подробно каждую частицу. Модель хорошо работает, когда молекулы далеко друг от друга и силы между ними слабы.

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма: n = N/V, где N — число частиц, а V — объём газа. Она показывает, насколько плотно молекулы расположены в сосуде, и измеряется в м⁻³. Концентрация нужна, чтобы связать число частиц с давлением газа.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул — среднее значение энергии движения одной молекулы. Её обозначают ⟨Eк⟩ и связывают с абсолютной температурой формулой ⟨Eк⟩ = (3/2)kT. Эта величина позволяет описывать тепловое движение не для каждой молекулы отдельно, а в среднем для большого числа частиц.

Как это устроено

В основе МКТ лежат представления о том, что вещество состоит из частиц, частицы непрерывно и хаотически движутся, а также взаимодействуют друг с другом. В газе расстояния между молекулами обычно намного больше их размеров, поэтому они большую часть времени движутся свободно. Столкновения меняют скорость и направление движения, но не делают его упорядоченным. Модель объясняет давление и температуру через движение множества частиц.

Молекулы газа непрерывно ударяются о стенки сосуда. При каждом ударе импульс молекулы изменяется, а по закону сохранения импульса стенка получает импульс в обратном направлении. Отдельный удар очень слаб, но таких столкновений за короткое время происходит огромное количество. Суммарная сила ударов, приходящаяся на единицу площади стенки, и есть давление газа.

Чтобы получить основное уравнение МКТ, рассмотрим хаотическое движение молекул в сосуде. В среднем их движение равномерно распределено по трём взаимно перпендикулярным направлениям, поэтому на одно направление приходится треть среднего квадрата скорости: ⟨vₓ²⟩ = ⟨v²⟩/3. Подсчёт изменения импульса частиц при ударах о стенки приводит к зависимости давления от концентрации, массы молекулы и скорости: p = (1/3)m₀n⟨v²⟩. Множитель 1/3 возникает именно из-за распределения движения по трём направлениям.

Температура характеризует интенсивность хаотического движения частиц. Из опыта и теории следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре: ⟨Eк⟩ = (3/2)kT, где k — постоянная Больцмана, а T измеряется в кельвинах. При повышении температуры средняя энергия молекул растёт, хотя скорости отдельных молекул могут быть разными. При одинаковой температуре у молекул разных газов средняя кинетическая энергия одинакова.

Подставляя ⟨Eк⟩ = m₀⟨v²⟩/2 в уравнение МКТ, получаем p = nkT. Значит, давление растёт, если в том же объёме становится больше молекул или повышается температура. В более подробной форме оно зависит от концентрации n, массы одной молекулы m₀ и среднего квадрата скорости ⟨v²⟩. Для газов одинаковой температуры масса молекулы влияет на характерные скорости: лёгкие молекулы движутся быстрее тяжёлых, так что средняя энергия остаётся той же.

Основные величины и соотношения молекулярно-кинетической теории идеального газа

Сначала проверь, какие величины известны и в каких единицах они заданы. Для основного уравнения МКТ нужны m₀, n и ⟨v²⟩, а при известной температуре удобно пользоваться p = nkT. Угловые скобки означают среднее значение по большому числу молекул.

Разбор задач

1. Концентрация молекул

В сосуде объёмом 2 л находится 6·10²² молекул. Требуется определить концентрацию частиц. Используем n = N/V, но прежде переводим объём в кубические метры, потому что единица СИ для объёма — м³. Число молекул при переводе единиц не меняется.

1. Запишем данные: N = 6·10²², V = 2 л. Один литр равен 10⁻³ м³, значит V = 2·10⁻³ м³. Это переводит исходные данные в согласованные единицы СИ.

2. Подставим данные в формулу концентрации: n = N/V = (6·10²²)/(2·10⁻³). Деление на 2 даёт 3, а деление на 10⁻³ равносильно умножению на 10³. Поэтому получаем n = 3·10²⁵ м⁻³.

3. Проверим смысл результата: в каждом кубическом метре газа находится 3·10²⁵ молекул. Концентрация должна быть положительной, а её единица — обратный кубический метр. Перевод объёма из литров здесь принципиален.

Ответ: n = 3·10²⁵ м⁻³.

2. Давление по параметрам молекул

Требуется найти давление идеального газа, если известны концентрация молекул, масса одной молекулы и средний квадрат скорости. Обозначим данные n, m₀ и ⟨v²⟩, а искомое — p. Связь этих величин задаёт основное уравнение МКТ, поэтому температуру отдельно искать не требуется. Важно подставлять массу одной молекулы, а не массу всего образца.

1. Проверим единицы: n должна быть в м⁻³, m₀ — в килограммах, а ⟨v²⟩ — в м²/с². Если исходные единицы другие, сначала переведём их в СИ. Тогда результат получится в паскалях.

2. Запишем уравнение p = (1/3)m₀n⟨v²⟩. Подставим заданные числовые значения вместо соответствующих символов и перемножим их. Деление на три обязательно: оно учитывает хаотическое распределение движения по трём направлениям.

3. Проверим размерность произведения: кг·м⁻³·м²/с² = кг/(м·с²), то есть паскаль. Если числовые данные заданы без конкретных значений, ответ оставляют в виде p = m₀n⟨v²⟩/3. Так видно, от каких параметров зависит давление.

Ответ: p = (1/3)m₀n⟨v²⟩; числовое значение определяется заданными параметрами.

3. Сравнение давлений газов

Нужно сравнить давления двух газов при одинаковой температуре, зная концентрации и массы их молекул. Массы молекул различны, поэтому нельзя сравнить давления, просто подставив их в формулу и считая скорости одинаковыми. При одной температуре средняя кинетическая энергия одинаковая, а скорость зависит от массы. Удобно перейти к уравнению p = nkT.

1. Для первого и второго газа запишем p₁ = n₁kT и p₂ = n₂kT. Температура одинакова, как и постоянная Больцмана. Поэтому масса молекулы не входит в итоговое сравнение.

2. Разделим одно давление на другое: p₁/p₂ = n₁/n₂. Общий множитель kT сокращается. Следовательно, газ с большей концентрацией оказывает большее давление, а при равных концентрациях давления равны.

3. Сверим вывод с микроскопической картиной: более тяжёлые молекулы при той же температуре имеют меньшую среднюю квадратичную скорость. Это компенсирует различие масс в основном уравнении МКТ. При сравнении важно использовать условие одинаковой температуры.

Ответ: p₁/p₂ = n₁/n₂; давления относятся как концентрации молекул.

Типичные ошибки

Среднюю скорость иногда подменяют средней квадратичной скоростью √⟨v²⟩. Их путают из-за похожих названий, но усреднение и возведение в квадрат — разные действия. Проверяй, какая именно величина дана в условии, и не считай, что квадрат средней скорости равен среднему квадрату скоростей.

В формулу для средней энергии подставляют температуру в градусах Цельсия. Так поступают, потому что бытовые измерения обычно записывают именно в этой шкале, однако пропорциональность энергии температуре относится к шкале Кельвина. Перед вычислением используй T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия.

В основном уравнении МКТ могут забыть множитель 1/3. Он появляется потому, что хаотическое движение распределено по трём направлениям, а не только вдоль одной оси. Проверь формулу по записи p = (1/3)m₀n⟨v²⟩ и по тому, что давление не должно втрое превышать расчётное значение.

Ещё одна ошибка — подставлять вместо m₀ массу всего газа. Это происходит, когда обозначения массы не различают, хотя уравнение описывает вклад отдельной молекулы и числа частиц в единице объёма. Проверь единицы и смысл каждой величины: m₀ измеряется в килограммах для одной молекулы, а массу образца в эту формулу напрямую не подставляют.

Связь с другими темами

Для изучения МКТ нужны понятия массы, импульса, силы, давления, энергии и температуры, а также умение переводить величины в единицы СИ. Особенно полезно понимать изменение импульса при ударе: оно объясняет возникновение силы давления. На основе связи давления, объёма и температуры выводят уравнение состояния идеального газа и изучают газовые законы. Модель также помогает объяснять диффузию, броуновское движение, тепловое равновесие и свойства реальных газов.

Что запомнить

• Газ состоит из большого числа хаотически движущихся молекул.
• Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Концентрация молекул равна отношению их числа к объёму: n = N/V.
• Основное уравнение МКТ: p = (1/3)m₀n⟨v²⟩.
• Средняя кинетическая энергия молекулы равна ⟨Eк⟩ = (3/2)kT.
• При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул разных газов одинакова.
• Температура характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул.