§ 49. Распределение молекул идеального газа в пространстве

Определения и обозначения

Концентрация молекул — число молекул в единице объёма; её обозначают n. В поле тяжести концентрация может зависеть от высоты h: внизу молекул обычно больше, чем наверху. Это понятие позволяет сравнивать количество частиц в разных слоях газа.

Распределение Больцмана — закон, по которому вероятность обнаружить частицу с потенциальной энергией Eп пропорциональна exp(−Eп/(kT)). Здесь k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Закон нужен, чтобы связать распределение частиц с энергией их положения во внешнем поле.

Барометрическая формула описывает, как концентрация, плотность и давление идеального газа зависят от высоты в однородном поле тяжести. В изотермическом случае все эти величины убывают экспоненциально. По формуле можно, например, определить давление на заданной высоте, зная его у поверхности.

Высота однородной атмосферы H — характерная высота, на которой концентрация или давление становятся в e раз меньше начального значения. Для молекул газа H = kT/(mg), а для молярных величин H = RT/(Mg). Она показывает, насколько быстро газ «разрежается» при подъёме.

Как это устроено

В газе молекулы непрерывно движутся и сталкиваются, поэтому тепловое движение стремится распределить их по доступному объёму равномерно. Однако поле тяжести действует на каждую молекулу и создаёт разницу потенциальной энергии между нижними и верхними слоями. В равновесии оба влияния учитываются одновременно, поэтому концентрация не одинакова по высоте. Внизу молекулы имеют меньшую потенциальную энергию, и их там в среднем больше.

Распределение Больцмана показывает, как энергия влияет на вероятность обнаружения частицы: она пропорциональна exp(−Eп/(kT)). При одинаковой температуре большая потенциальная энергия означает меньшую вероятность. Зависимость именно экспоненциальная: вероятность не уменьшается на одну и ту же величину при каждом одинаковом прибавлении энергии, а умножается на один и тот же коэффициент. Температура задаёт, насколько заметно различие энергий: при более высокой T распределение по энергиям становится менее резким.

В однородном поле тяжести потенциальная энергия молекулы на высоте h равна Eп = mgh, если нулевой уровень выбран у поверхности. Подставляя это выражение в распределение Больцмана и сравнивая концентрацию на высоте h с концентрацией n₀ на уровне h = 0, получаем n(h) = n₀ exp(−mgh/(kT)). При подъёме h растёт, показатель экспоненты становится более отрицательным, а концентрация уменьшается. Отношение n(h)/n₀ удобно тем, что не требует знать абсолютное число молекул в единице объёма.

Для идеального газа при постоянной температуре давление связано с концентрацией уравнением p = nkT. Поэтому если n убывает с высотой экспоненциально, то так же убывает p: p(h) = p₀ exp(−mgh/(kT)). Плотность также пропорциональна концентрации, так что она подчиняется тому же закону. Это означает, что верхние слои газа содержат меньше молекул и создают меньшее давление, чем нижние.

Формулу можно записать для одной молекулы или для количества вещества: m — масса одной молекулы, M — молярная масса; k — постоянная Больцмана, R — газовая постоянная. Эти формы согласуются, поскольку масса одного моля содержит число Авогадро молекул и m/k = M/R. В молярной записи показатель имеет вид −Mgh/(RT), а высота однородной атмосферы равна H = RT/(Mg). Значит, при большей температуре или меньшей молярной массе концентрация убывает медленнее и характерная высота больше.

Распределение параметров идеального газа в поле тяжести

Сначала выберите нужную величину и проверьте, какие параметры заданы: массу одной молекулы или молярную массу. Для отношения значения на высоте к значению у поверхности используйте соответствующее выражение с экспонентой. Высота H помогает быстро оценить результат: на высотах H, 2H и 3H величина равна соответственно 1/e, 1/e² и 1/e³ от начальной.

Разбор задач

Задача 1. Во сколько раз изменится концентрация молекул кислорода при подъёме на высоту h в однородном поле тяжести? Температура постоянна. Численных значений высоты и температуры нет, поэтому результат выражается формулой; масса молекулы не нужна, если использовать молярную массу кислорода. Ищем отношение концентраций, а не их абсолютные значения.

1. Записываем барометрическую зависимость: n(h)/n₀ = exp(−Mgh/(RT)).
2. Для кислорода подставляем его молярную массу M = M(O₂); g и T должны быть выражены в согласованных единицах.
3. Отношение меньше единицы при h > 0, поэтому концентрация при подъёме уменьшается.

Ответ: концентрация становится в exp(Mgh/(RT)) раз меньше начальной, или составляет exp(−Mgh/(RT)) от неё.

Задача 2. Определить высоту однородной атмосферы азота при заданной температуре и сравнить её с высотой для водорода. Чтобы сравнить газы, температуру и ускорение свободного падения считаем одинаковыми. Характерная высота зависит от молярной массы обратно пропорционально.

1. Для азота применяем Hₙ₂ = RT/(Mₙ₂g), подставляя заданные T, табличное значение Mₙ₂ и g.
2. Для сравнения записываем Hₕ₂ = RT/(Mₕ₂g). Делим формулы: Hₕ₂/Hₙ₂ = Mₙ₂/Mₕ₂.
3. Поскольку молярная масса водорода меньше молярной массы азота, отношение больше единицы. Значит, водородная атмосфера разрежается с высотой медленнее.

Ответ: высота для азота равна RT/(Mₙ₂g), а для водорода она больше в Mₙ₂/Mₕ₂ раз.

Задача 3. Найти давление на заданной высоте по давлению у поверхности, температуре и молярной массе газа, а затем оценить влияние температуры. Ускорение свободного падения и высота также должны быть известны. Поскольку численные данные не заданы, решение показывает, какие величины подставлять и как оценивать изменение.

1. Используем p(h) = p₀ exp(−Mgh/(RT)) и подставляем p₀, M, g, h и T в согласованных единицах.
2. Проверяем показатель: Mgh/(RT) безразмерен. При h > 0 экспонента меньше единицы, следовательно, p(h) < p₀.
3. При увеличении T показатель по модулю уменьшается, поэтому экспонента становится ближе к единице. При неизменных остальных параметрах расчётное давление на высоте будет больше.

Ответ: p(h) = p₀ exp(−Mgh/(RT)); повышение температуры ослабляет относительное уменьшение давления с высотой.

Типичные ошибки

Считать концентрацию постоянной с высотой. Это ошибочно: идеальность газа означает, что взаимодействием молекул друг с другом пренебрегают, но сила тяжести продолжает действовать. Такую ошибку допускают, смешивая свойства модели газа с условиями его нахождения. Проверка: если в задаче есть поле тяжести и высота, рассмотрите потенциальную энергию mgh.

Ставить положительный знак в показателе экспоненты. При подъёме потенциальная энергия растёт, поэтому вероятность и концентрация должны уменьшаться, а показатель должен быть отрицательным. Положительный знак предсказывает рост концентрации, что противоречит физическому смыслу. Проверьте знак подстановкой h = 0 и h > 0: сначала должно получиться n₀, затем значение меньше n₀.

Путать массу молекулы m и молярную массу M. Из-за похожих обозначений можно соединить массу одной молекулы с R или молярную массу с k. Но k относится к одной молекуле, а R — к молю вещества. Перед вычислением проверьте единицы и выбирайте согласованную пару: m и k либо M и R.

Применять формулу при заметном изменении температуры. Барометрическая формула в записанном виде получена для постоянной температуры. Её часто используют без проверки условия задачи, хотя при изменении T показатель уже нельзя считать по этой простой формуле. Перед расчётом выясните, можно ли считать газ изотермическим; если нет, температурную зависимость нужно учитывать отдельно.

Связь с другими темами

Для понимания распределения по высоте нужны понятия идеального газа, концентрации, уравнение Менделеева—Клапейрона, потенциальная энергия в поле тяжести и свойства экспоненты. Барометрическая формула объясняет, почему атмосферное давление зависит от высоты, и лежит в основе принципа высотомеров. Позже распределение Больцмана встречается в статистической физике и при описании частиц во внешних полях.

Что запомнить

• В равновесии молекулы идеального газа в поле тяжести распределены по высоте неравномерно.
• Распределение Больцмана связывает вероятность обнаружить молекулу с её потенциальной энергией.
• В однородном поле тяжести концентрация убывает с высотой экспоненциально.
• При постоянной температуре давление и плотность изменяются с высотой так же, как концентрация.
• Показатель экспоненты безразмерен: это −mgh/(kT) или −Mgh/(RT).
• Высота однородной атмосферы больше при более высокой температуре и меньшей молярной массе.