§ 50. Распределение молекул идеального газа по скоростям

Определения и обозначения

Распределение Максвелла — закономерность, показывающая, какая доля молекул идеального газа имеет скорости в заданном интервале. Оно нужно потому, что в газе нет одной скорости, общей для всех молекул. С его помощью можно описывать движение всего множества частиц.

Функция распределения скоростей f(v) задаёт вероятность обнаружить молекулу со скоростью от v до v + Δv. Точнее, для очень малого интервала Δv доля таких молекул приблизительно равна f(v)Δv. Эта функция позволяет связать график с вероятностью и количеством частиц.

Наиболее вероятная скорость — скорость, которой обладает наибольшая доля молекул; ей соответствует максимум функции распределения. Это не значит, что все молекулы движутся именно так. Показатель нужен, чтобы отметить наиболее высокую часть распределения.

Среднеквадратичная скорость — величина, связанная со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Её находят из среднего квадрата скоростей, а не обычным усреднением скоростей. Поэтому она помогает выражать энергию газа через скорость молекул.

Как это устроено

Молекулы одного газа при одной температуре всё время сталкиваются друг с другом, и после столкновений их скорости меняются. Энергия распределяется между частицами не поровну, хотя средняя кинетическая энергия определяется температурой. Поэтому часть молекул движется медленно, часть — быстро, а большинство имеет скорости в некоторой области. Вероятностное распределение описывает весь этот набор, а не приписывает газу одну скорость.

Скорость молекулы можно разложить на компоненты вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей: vₓ, vᵧ и v_z. В равновесном газе распределение каждой компоненты описывается отдельно; компоненты независимы и распределены симметрично относительно нуля. Модуль скорости равен √(vₓ² + vᵧ² + v_z²), поэтому для перехода к распределению по модулю нужно объединить множество возможных троек компонент. Результатом такого объединения становится распределение Максвелла.

В формуле по модулю скорости есть множитель v²: f(v) = 4π(m/(2πkT))^(3/2)v² exp(−mv²/(2kT)). Он появляется не из-за того, что быстрые молекулы обязательно встречаются чаще при любых скоростях, а из-за геометрии пространства компонент скорости. Тройкам компонент, длина которых близка к большому v, соответствует больше возможных направлений, чем тройкам с малым v. Поэтому при малых скоростях функция растёт, а экспонента при больших скоростях, наоборот, подавляет число молекул.

Значение f(v) — это плотность вероятности, а не доля молекул само по себе. Для узкого интервала от v до v + dv доля равна dP = f(v)dv, то есть площади узкой полосы под графиком. Интеграл от нуля до бесконечности равен единице: ∫₀∞ f(v)dv = 1, поскольку учтены все молекулы и их скорости. Для конечного интервала долю находят как площадь под кривой между его границами.

В формуле важны температура T и масса молекулы m. При нагревании множитель, задающий характерные скорости, увеличивается: максимум уходит вправо, кривая расширяется и становится ниже, сохраняя прежнюю полную площадь. При большей массе характерные скорости меньше, поэтому тяжёлые молекулы при той же температуре в среднем движутся медленнее. В графике ниже показан этот эффект для кислорода.

Наиболее вероятная скорость, средняя скорость и среднеквадратичная скорость — разные способы охарактеризовать одно распределение. Для идеального газа vвер = √(2kT/m), vср = √(8kT/(πm)), vкв = √(3kT/m), поэтому vвер < vср < vкв. Средняя скорость — среднее арифметическое модулей скоростей, а наиболее вероятная указывает на вершину графика. Среднеквадратичная скорость связана со средней кинетической энергией: ⟨E⟩ = ½mvкв².

Основные характеристики распределения молекул идеального газа по скоростям

Сначала определите, какой именно показатель требуется: максимум графика, среднее значение или величина, связанная с энергией. Для интервала скоростей используйте площадь под графиком, а не высоту кривой в одной точке. В задачах на скорости подставляйте массу одной молекулы в килограммах, температуру — в кельвинах.

Разбор задач

Наиболее вероятная скорость азота

Найти наиболее вероятную скорость молекул азота при T = 300 К, если m = 4,65·10⁻²⁶ кг. Используем формулу vвер = √(2kT/m), где k = 1,38·10⁻²³ Дж/К. Под корнем получится величина в м²/с², поэтому результат будет выражен в м/с.

1. Запишем исходные данные и выберем нужную характеристику: T = 300 К, m = 4,65·10⁻²⁶ кг, vвер = √(2kT/m).
2. Подставим постоянную Больцмана: vвер = √(2·1,38·10⁻²³·300/(4,65·10⁻²⁶)).
3. Вычислим значение под корнем: оно приблизительно равно 1,78·10⁵ м²/с².
4. Извлечём квадратный корень: vвер ≈ 4,22·10² м/с.

Ответ: наиболее вероятная скорость молекул азота примерно 422 м/с. Проверка единиц подтверждает результат: (Дж/К)·К — это кг·м²/с², а после деления на кг остаётся м²/с². Извлечение корня даёт м/с.

Три скорости молекул кислорода

Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости кислорода при T = 300 К; масса молекулы m = 4,65·10⁻²⁶ кг. Сначала заметим, что во всех трёх формулах есть общий множитель √(kT/m), а различаются только числовые коэффициенты. Это позволяет использовать одинаковые исходные данные и затем сравнить результаты.

1. Вычислим √(kT/m) = √(1,38·10⁻²³·300/(4,65·10⁻²⁶)) ≈ 298 м/с.
2. Наиболее вероятная скорость: vвер = √2·298 ≈ 422 м/с.
3. Средняя скорость: vср = √(8/π)·298 ≈ 476 м/с.
4. Среднеквадратичная скорость: vкв = √3·298 ≈ 516 м/с.
5. Сопоставим коэффициенты: √2 < √(8/π) < √3, значит, в этом порядке возрастают и скорости.

Ответ: vвер ≈ 422 м/с, vср ≈ 476 м/с, vкв ≈ 516 м/с; следовательно, vвер < vср < vкв. Максимум распределения задаёт наиболее вероятную скорость, тогда как усреднение и связь с энергией дают другие значения. Различие не является противоречием: каждая величина по-своему описывает распределение.

Число молекул в интервале скоростей

В сосуде находится N молекул. По графику нужно оценить, сколько из них имеют скорости от v₁ до v₂. Само значение f(v) в точке не показывает долю: у него есть размерность, и оно задаёт высоту кривой. Долю на конечном интервале определяет заключённая под графиком площадь.

1. На графике отметим границы v₁ и v₂ и выделим участок кривой между ними.
2. Оценим площадь S этого участка. Она равна вероятности P того, что скорость случайно выбранной молекулы попадёт в интервал; при необходимости используем численное суммирование или приближение площади простыми фигурами.
3. Умножим найденную долю на общее число молекул: Nинт ≈ P·N = S·N.
4. Проверим, что 0 ≤ P ≤ 1, а полученное число молекул не превышает N.

Ответ записывается как Nинт ≈ N·∫ᵥ₁ᵛ² f(v)dv. Например, если площадь между границами равна 0,2, в этом интервале ожидается примерно 0,2N молекул. Без численного графика или значений f(v) точное число найти нельзя, но способ подсчёта остаётся тем же.

Типичные ошибки

Считать, что все молекулы движутся с наиболее вероятной скоростью, — значит принять вершину распределения за единственную скорость газа. Так ошибаются, потому что слово «наиболее» воспринимают как «у всех». Проверьте себя: кривая имеет ненулевую ширину, значит, скорости молекул различаются.

Принимать f(v) за долю молекул в интервале тоже неверно: f(v) задаёт плотность вероятности, а доля зависит ещё и от ширины интервала. Ошибка возникает из-за чтения высоты графика как площади. Для узкого интервала умножьте f(v) на Δv; для широкого найдите площадь под кривой.

Наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости нельзя подменять друг другом. Их путают, потому что все три измеряются в м/с и характеризуют один газ. Сверьте смысл и формулу: максимум графика соответствует vвер, арифметическое усреднение — vср, связь со средней энергией — vкв.

При нагревании график не просто сдвигается вправо: он расширяется и его максимум становится ниже. Ошибка появляется, если следить только за положением вершины. Проверьте площадь под кривой: она должна оставаться равной единице, поэтому расширившееся распределение не может сохранить ту же высоту во всех точках.

Связь с другими темами

Для изучения распределения нужны основы кинетической теории идеального газа и связь температуры со средней кинетической энергией молекул. Вероятностное описание помогает перейти от отдельных частиц к свойствам всего газа. Оно используется при объяснении давления, средней длины свободного пробега, диффузии и эффузии — истечения газа через малое отверстие.

Распределение Максвелла связано с распределением Больцмана и служит одним из примеров применения статистической физики. В термодинамике такие закономерности объясняют, как микроскопическое движение молекул приводит к измеряемым макроскопическим свойствам вещества. Понимание скоростей помогает связать модель газа с наблюдаемыми явлениями.

Что запомнить

• Молекулы газа при одной температуре имеют широкий набор скоростей.
• Распределение Максвелла задаёт долю молекул с различными скоростями.
• Вероятность попадания в интервал скоростей определяется площадью под графиком.
• Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму функции распределения.
• При увеличении температуры характерные скорости молекул возрастают.
• При одинаковой температуре более тяжёлые молекулы движутся медленнее.
• Среднеквадратичная скорость связана со средней кинетической энергией молекул.