2. Условие покоя тела на шероховатой наклонной плоскости

Определения и обозначения

Сила трения покоя — сила, возникающая при возможном скольжении соприкасающихся поверхностей и направленная против этого скольжения. Её величина подстраивается под другие силы, поэтому тело может оставаться неподвижным. Обозначают её Fтр.

Предельная сила трения покоя — наибольшее значение силы трения перед началом скольжения. Она определяется формулой Fтр пред = μN, где μ — коэффициент трения, а N — сила нормальной реакции. Это значение используют, чтобы проверить, хватит ли трения для равновесия.

Сила нормальной реакции — сила, с которой поверхность действует на тело перпендикулярно поверхности. Она направлена от плоскости к телу и обозначается N. На наклонной плоскости её находят из равновесия сил в перпендикулярном направлении.

Условие покоя на наклонной плоскости означает, что составляющая силы тяжести вдоль плоскости не превышает предельную силу трения покоя. Тогда тело не начинает скользить вниз. В обозначениях это условие записывается как mg sin α ≤ μN.

Как это устроено

На тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Чтобы изучать её действие на наклонной плоскости, удобно разложить силу на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль поверхности и поперёк неё. Из прямоугольного треугольника сил получают составляющие mg sin α вдоль плоскости и mg cos α перпендикулярно ей.

Перпендикулярная составляющая прижимает тело к поверхности, но не заставляет его скользить вдоль плоскости. Если тело покоится, ускорения поперёк поверхности нет, поэтому силы в этом направлении должны компенсировать друг друга. Отсюда сила нормальной реакции равна N = mg cos α, если других перпендикулярных сил нет.

Вдоль плоскости составляющая силы тяжести mg sin α направлена вниз. Без трения тело стало бы двигаться именно туда, поэтому сила трения покоя направлена вверх по плоскости. Пока тело неподвижно, она уравновешивает продольную составляющую: Fтр = mg sin α.

Однако трение не может расти безгранично: его максимальное значение равно μN. Поэтому для покоя необходимо, чтобы требуемая сила трения не превышала предельную: mg sin α ≤ μN. Подставляя N = mg cos α, получаем mg sin α ≤ μmg cos α.

При ненулевой массе и ускорении свободного падения можно сократить mg и разделить обе части на cos α. Получается основной результат: tg α ≤ μ. Если угол увеличивать, составляющая силы тяжести растёт, а доступное трение ограничено; при равенстве tg α = μ наступает граница скольжения, а при большем угле тело движется вниз.

Силы и условия равновесия тела на наклонной плоскости

Таблица помогает разделить силы по направлениям и быстро выбрать нужную формулу. Сначала найдите составляющие силы тяжести, затем определите реакцию опоры и сравните требуемую силу трения с её предельным значением.

Разбор задач

Задача 1

Тело покоится на наклонной плоскости. Нужно изобразить действующие силы и указать направление силы трения покоя. Рассуждать следует не по направлению силы тяжести, а по возможному движению тела.

1. Изобразите силу тяжести mg вертикально вниз.
2. Изобразите реакцию опоры N перпендикулярно плоскости.
3. Определите, что без трения тело стало бы скользить вниз.
4. Проведите силу трения вверх вдоль плоскости.

Ответ: сила трения покоя направлена вверх по наклонной плоскости и препятствует возможному скольжению вниз.

Задача 2

Тело массой 2 кг покоится на плоскости с углом наклона 20°. Найдём силу трения покоя при g = 10 м/с². Для равновесия вдоль плоскости трение должно компенсировать продольную составляющую силы тяжести.

1. Запишите формулу: Fтр = mg sin α.
2. Подставьте значения: Fтр = 2 · 10 · sin 20°.
3. Используйте sin 20° ≈ 0,342 и вычислите: Fтр ≈ 6,84 Н.

Ответ: сила трения покоя примерно равна 6,8 Н и направлена вверх по плоскости.

Задача 3

Коэффициент трения μ = 0,5, угол наклона α = 30°. Проверим покой тела и найдём предельный угол. Удобно сравнить тангенс угла с коэффициентом трения, потому что именно такое сравнение следует из условия равновесия.

1. Вычислите tg 30° ≈ 0,577.
2. Сравните: 0,577 > 0,5, значит, условие покоя не выполняется.
3. Для предельного угла используйте tg αпред = μ.
4. Получите αпред = arctg 0,5 ≈ 26,6°.

Ответ: при 30° тело не останется в покое; предельный угол покоя примерно равен 26,6°.

Типичные ошибки

Считать силу трения покоя всегда равной μN. Так делают, потому что формула предельного трения часто запоминается как обычная формула трения. Проверьте себя: сначала найдите силу, нужную для равновесия, а затем убедитесь, что она не больше μN.

Направлять трение вниз по плоскости. Ошибка возникает, если смотреть только на направление силы тяжести. Представьте движение без трения: тело скользило бы вниз, значит, сила трения направлена вверх.

Принимать N равной mg. На наклонной поверхности опора компенсирует только перпендикулярную составляющую силы тяжести. Проверьте направление: при отсутствии других сил должно быть N = mg cos α.

Считать tg α = μ условием любого покоя. Это равенство описывает только границу скольжения. Для обычного покоя должно выполняться неравенство tg α ≤ μ.

Связь с другими темами

Для решения задач сначала нужны разложение силы на составляющие и условия равновесия тела. Эти приёмы показывают, почему одна часть силы тяжести действует вдоль плоскости, а другая определяет реакцию опоры.

Понятия силы тяжести, нормальной реакции и коэффициента трения пригодятся при изучении движения по наклонной плоскости и законов Ньютона. Если трения уже недостаточно, равновесие сменяется ускоренным движением, которое описывают уравнениями динамики.

Что запомнить

• Сила трения покоя препятствует возможному скольжению.
• Если тело стремится скользить вниз, трение направлено вверх по плоскости.
• Вдоль плоскости составляющая силы тяжести равна mg sin α.
• Перпендикулярно плоскости составляющая силы тяжести равна mg cos α.
• При отсутствии других перпендикулярных сил N = mg cos α.
• Тело может покоиться, если tg α ≤ μ.
• При tg α = μ тело находится на границе скольжения.