"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Наклонная плоскость помогает изучать движение тела под действием силы тяжести. Если поверхность гладкая, трением пренебрегают, а силу тяжести раскладывают на две составляющие: вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Первая вызывает скольжение и определяет ускорение, вторая уравновешивается реакцией опоры. Для тела на плоскости получают формулы N = mg·cos α и a = g·sin α, причём ускорение не зависит от массы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — плоская поверхность, образующая угол α с горизонтом. Угол α показывает, насколько плоскость поднята относительно горизонтального направления. Он нужен, чтобы определить составляющую силы тяжести, которая заставляет тело скользить.
Гладкая поверхность — поверхность, на которой трением пренебрегают. Поэтому в расчётах не появляется сила трения, направленная против движения. Это упрощает модель и позволяет увидеть действие силы тяжести.
Сила реакции опоры N — сила, с которой плоскость действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Она не направлена обязательно вертикально вверх: её направление задаётся самой плоскостью. Реакция опоры не даёт телу провалиться сквозь поверхность.
Разложение силы на составляющие — представление одной силы в виде нескольких сил по выбранным направлениям. Силу тяжести разделяют на составляющую вдоль плоскости и составляющую перпендикулярно ей. Такое разложение позволяет отдельно изучить движение и давление тела на опору.
Сначала строят модель: изображают тело и наклонную плоскость, отмечают угол α с горизонтом, а затем проводят силы. Силу тяжести направляют вертикально вниз, а реакцию опоры — перпендикулярно поверхности. Выбранные направления вдоль плоскости и поперёк неё удобны потому, что движение происходит вдоль первого из них, а тело не движется сквозь плоскость.
На тело действуют сила тяжести и реакция опоры. Сила тяжести появляется из-за притяжения тела Землёй, а реакция опоры — из-за деформации поверхности и тела при их контакте. Силу трения не рисуют: слово «гладкая» означает, что её влиянием в данной модели пренебрегают.
Силу тяжести mg раскладывают на два взаимно перпендикулярных направления. Вдоль плоскости действует составляющая mg·sin α, а перпендикулярно плоскости — mg·cos α. Такое соотношение получается из прямоугольного треугольника, образованного векторами силы и её составляющих.
Перпендикулярная составляющая стремится прижать тело к поверхности. Опора отвечает силой N в противоположную сторону, поэтому в этом направлении ускорения нет и силы уравновешиваются. Составляющая mg·sin α не компенсируется другой силой, поэтому она сообщает телу ускорение вниз по плоскости.
Запишем второй закон Ньютона отдельно для каждого направления. Поперёк плоскости: N − mg·cos α = 0, откуда N = mg·cos α; вдоль плоскости: ma = mg·sin α. После сокращения на массу получаем a = g·sin α, поэтому ускорение определяется углом наклона и ускорением свободного падения, но не массой тела.
В таблице сначала найдите силу или характеристику движения, затем сверьте её направление и формулу. Для решения задачи особенно важно отличать полную силу тяжести от её составляющих. Направление помогает выбрать нужное уравнение второго закона Ньютона.
| Величина | Направление | Формула | Роль в движении |
|---|---|---|---|
| Сила тяжести | Вертикально вниз | mg | Источник движения и давления на опору |
| Сила реакции опоры | Перпендикулярно плоскости, от неё | N = mg·cos α | Уравновешивает поперечную составляющую |
| Составляющая силы тяжести вдоль плоскости | Вниз по плоскости | mg·sin α | Вызывает ускорение |
| Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости | К плоскости | mg·cos α | Прижимает тело к опоре |
| Ускорение тела | Вниз по плоскости | a = g·sin α | Определяет изменение скорости |
Тело скользит по гладкой наклонной плоскости с углом 30°. Нужно найти ускорение и изобразить силы. Масса тела в условии не дана, потому что для гладкой плоскости она в формулу ускорения не входит. На схеме следует показать mg вертикально вниз, N перпендикулярно плоскости и движение вниз по плоскости.
Ответ: ускорение тела равно 4,9 м/с² и направлено вниз по плоскости. Если принять g = 10 м/с², получится 5 м/с². На рисунке сила реакции должна быть перпендикулярна поверхности, а не вертикальна.
Тело начинает движение из состояния покоя по гладкой плоскости длиной 5 м с углом 30°. Требуется найти время движения и скорость в конце пути. Сначала найдём постоянное ускорение, затем применим формулы равноускоренного движения при v₀ = 0. Возьмём g = 10 м/с², чтобы вычисления были проще.
Ответ: время движения примерно 1,41 с, конечная скорость примерно 7,1 м/с. Скорость направлена вниз вдоль плоскости. Важно использовать длину плоскости именно как путь вдоль направления ускорения.
Тело прошло по гладкой плоскости 8 м за 2 с, начав движение из состояния покоя. Нужно определить угол наклона. Известны путь, время и начальная скорость, поэтому сначала можно найти ускорение по кинематике. Затем угол определяется из связи ускорения с наклоном плоскости.
Ответ: угол наклона примерно равен 23,6°. Если использовать g = 9,8 м/с², получится около 24,1°. Проверка проста: угол меньше 30°, потому что найденное ускорение меньше значения g·sin 30°.
Считать, что реакция опоры направлена вертикально вверх, неправильно: она всегда перпендикулярна поверхности. Ошибка возникает, когда тело мысленно помещают на горизонтальный стол; проверить себя можно, проведя к плоскости прямую под углом 90°.
Приписывать гладкой плоскости силу трения не нужно. Её добавляют по привычке, не учитывая условие задачи; если поверхность названа гладкой, силы трения в модели нет.
Составляющая вдоль плоскости равна mg·sin α, а не mg·cos α. Перепутать их легко, если не нарисовать прямоугольный треугольник; при α = 0 вдоль горизонтальной плоскости составляющая должна быть нулевой.
Формула a = g·cos α неверна для ускорения вдоль плоскости. Косинус относится к поперечной составляющей, которую компенсирует опора; при горизонтальной плоскости ускорение вдоль неё должно исчезать, а g·cos 0° не равно нулю.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятия силы тяжести и реакции опоры, а также разложение вектора на составляющие. Эти знания связывают рисунок сил с уравнениями движения.
Тема становится основой для изучения наклонной плоскости с трением и задач о связанных телах. Там сохраняется разложение силы, но добавляются новые силы и ограничения.
Формулы применяются в задачах на равноускоренное движение и в описании механизмов с наклонными поверхностями. По ним можно рассчитывать время, скорость и угол наклона.
Почему тело движется по гладкой плоскости, если сила трения отсутствует?
Сила тяжести направлена вертикально вниз, и её составляющая вдоль плоскости тянет тело вниз. Эта составляющая равна mg·sin α и создаёт ускорение.
Почему реакция опоры не равна силе тяжести?
Реакция опоры компенсирует только перпендикулярную плоскости составляющую силы тяжести. Поэтому N = mg·cos α, а полной силе тяжести она равна лишь при горизонтальной плоскости.
Как понять, где использовать sin α, а где cos α?
При выбранном угле α составляющая вдоль плоскости равна mg·sin α, а перпендикулярная составляющая — mg·cos α. Можно проверить это по предельным случаям: при α = 0 движение вдоль плоскости отсутствует.
Зависит ли ускорение тела от его массы?
Нет, для гладкой плоскости a = g·sin α. Масса входит и в силу, и в инертность тела, поэтому при делении уравнения Ньютона на массу она сокращается.
Что изменится, если плоскость будет не гладкой?
Появится сила трения, направленная против движения или возможного движения. Она уменьшит ускорение при скольжении вниз, а расчёт потребует учёта коэффициента трения.
1. Тело на гладкой наклонной плоскости
