"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Наклонная плоскость помогает понять, как сила тяжести вызывает движение тела по наклонной поверхности. Если плоскость считать гладкой, трения нет, а на тело действуют только сила тяжести и реакция опоры. Разложив силу тяжести на составляющие вдоль и перпендикулярно плоскости, можно найти реакцию опоры и ускорение. Ускорение равно g sin α: оно зависит от наклона поверхности, но не от массы тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гладкая наклонная плоскость — опора, наклонённая к горизонту, на которой отсутствует сила трения. Слово «гладкая» обозначает идеализацию: в реальности трение обычно есть, но в задаче им пренебрегают. Это позволяет отдельно изучить, как сила тяжести влияет на движение.
Угол наклона плоскости — угол между плоскостью и горизонталью; его обозначают греческой буквой α. От величины этого угла зависит, какая часть силы тяжести направлена вдоль поверхности. Поэтому α понадобится при вычислении ускорения.
Реакция опоры — сила, с которой поверхность действует на соприкасающееся с ней тело; её обозначают N. На наклонной плоскости она направлена перпендикулярно поверхности, а не обязательно вертикально. Эта сила не даёт телу провалиться сквозь опору.
Ускорение свободного падения обозначают g: это ускорение, которое получает тело под действием силы тяжести. Вблизи поверхности Земли его значение приблизительно равно 9,8 м/с². Вектор g направлен вертикально вниз, как и сила тяжести mg.
На тело, которое скользит по гладкой плоскости, действуют сила тяжести mg и реакция опоры N. Сила трения отсутствует по условию идеализации, поэтому равнодействующую находят только из этих двух сил. Именно равнодействующая определяет ускорение тела по второму закону Ньютона.
Удобно выбрать одну ось вдоль поверхности, а другую — перпендикулярно ей. Тогда реакция опоры целиком направлена по второй оси, а перемещение тела происходит по первой. Такой выбор не меняет физику движения, но упрощает запись второго закона Ньютона отдельно для двух направлений.
Силу тяжести раскладывают на две составляющие: перпендикулярную плоскости и направленную вдоль неё. Вместе они образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна mg. Угол между вертикальной силой тяжести и перпендикуляром к плоскости равен α: поворот от вертикали к перпендикуляру равен наклону плоскости от горизонтали. Поэтому прилежащая к α составляющая равна mg cos α, а противолежащая — mg sin α.
Перпендикулярно плоскости тело не ускоряется: оно остаётся прижатым к поверхности и не отрывается от неё. В этом направлении силы уравновешены, значит, N = mg cos α. Вдоль плоскости реакция опоры не действует, а составляющая mg sin α направлена вниз по наклону.
По второму закону Ньютона для движения вдоль плоскости ma = mg sin α. После сокращения массы получаем a = g sin α, причём ускорение направлено вниз по наклону. Масса не влияет на результат: при большей массе одновременно пропорционально возрастают и сила, и инертность тела.
| Величина | Направление | Значение или связь |
|---|---|---|
| Сила тяжести | Вертикально вниз | mg |
| Реакция опоры | Перпендикулярно плоскости, от неё | N = mg cos α |
| Составляющая силы тяжести вдоль плоскости | Вниз по наклону | mg sin α |
| Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости | К плоскости | mg cos α |
| Ускорение тела | Вниз по наклону | a = g sin α |
Сначала определите, какая сила или составляющая действует вдоль выбранной оси, а затем используйте нужную строку таблицы. Для нахождения реакции опоры берите перпендикулярную составляющую, а для ускорения — составляющую вдоль поверхности. Направление каждой величины помогает проверить знак в уравнении.
Тело начинает скользить без начальной скорости по гладкой плоскости длиной 5 м, наклонённой под углом 30° к горизонту. Нужно найти ускорение и время спуска. Примем g = 9,8 м/с², а путь вдоль плоскости обозначим s.
Ответ: ускорение равно 4,9 м/с², время спуска — примерно 1,43 с. Знак ускорения соответствует движению вниз по наклону.
Тело массой 2 кг находится на гладкой плоскости, наклонённой под углом 30°. Требуется найти реакцию опоры и ускорение. Для обеих величин разложим силу тяжести по выбранным осям.
Ответ: реакция опоры приблизительно равна 17 Н, ускорение — 4,9 м/с² вниз по наклону. Массу нужно учитывать при расчёте реакции, но в выражении для ускорения она сокращается.
Тело без начальной скорости скользит с вершины гладкой плоскости высотой 1,8 м. Нужно определить скорость у основания и сравнить её для двух углов наклона. Возьмём g = 9,8 м/с² и сначала рассмотрим плоскость с углом 30°.
Ответ: скорость у основания примерно 5,94 м/с при любом угле наклона, если высота одинакова. Угол меняет время спуска, но не конечную скорость в этих условиях.
Реакцию опоры иногда направляют вертикально вверх, потому что так она направлена на горизонтальной поверхности. Но на наклонной плоскости N всегда перпендикулярна поверхности. Проверьте направление: сила не должна быть ни вдоль плоскости, ни произвольно вертикальной.
Составляющие силы тяжести легко перепутать и записать вдоль плоскости mg cos α. Причина — в том, что угол можно мысленно отнести к разным сторонам треугольника сил. Найдите, какая составляющая лежит напротив α: это mg sin α; прилежащая к углу равна mg cos α.
Иногда в уравнение движения добавляют силу трения, хотя поверхность названа гладкой. Так меняются равнодействующая и ускорение, а значит, ответ перестаёт соответствовать условию. Перед составлением уравнений выпишите все действующие силы и не добавляйте трение без основания.
Ещё одна ошибка — считать, что ускорение растёт вместе с массой тела. Так думают, потому что сила тяжести mg действительно больше у более массивного тела. Проверьте уравнение ma = mg sin α: масса сокращается, и остаётся a = g sin α.
Чтобы разбирать движение по наклонной плоскости, нужно уметь применять второй закон Ньютона, находить равнодействующую сил и раскладывать вектор на составляющие. Эти навыки позволяют записать отдельные уравнения для выбранных осей. Разобранная модель служит основой для задач, где появляется трение: тогда к силам добавляется сила трения. Она также помогает анализировать системы связанных тел, в которых движение одного тела зависит от движения другого.
Почему гладкая плоскость не действует на тело силой трения?
«Гладкой» называют идеализированную поверхность, для которой силу трения считают равной нулю. В реальности поверхности взаимодействуют, но во многих задачах это влияние не учитывают, чтобы проще изучить движение.
Почему реакция опоры не направлена вертикально вверх?
Реакция опоры возникает из-за контакта тела с поверхностью и направлена перпендикулярно ей. На горизонтальной поверхности это направление совпадает с вертикалью, а на наклонной — нет.
Как понять, какую составляющую силы тяжести записывать через синус, а какую через косинус?
Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный силой тяжести и её составляющими. Угол α оказывается между силой тяжести и перпендикулярной к плоскости составляющей, поэтому она равна mg cos α. Противолежащая углу составляющая вдоль плоскости равна mg sin α.
Почему ускорение тела на наклонной плоскости не зависит от его массы?
Вдоль плоскости второй закон Ньютона даёт ma = mg sin α. Масса есть в обеих частях равенства и сокращается, поэтому a = g sin α.
Как изменится ускорение, если увеличить угол наклона плоскости?
Ускорение равно g sin α, поэтому при увеличении угла от 0° до 90° оно возрастает. При этом составляющая силы тяжести вдоль плоскости становится больше.
1. Тело на гладкой наклонной плоскости
