"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Гладкая наклонная плоскость помогает понять, как сила тяжести вызывает движение тела, даже если сама сила направлена не вдоль его пути. Угол α отсчитывают между плоскостью и горизонталью, а трением пренебрегают. Силу тяжести раскладывают на две составляющие: вдоль поверхности действует mg sin α, а перпендикулярно ей — mg cos α. Вторая уравновешивается реакцией опоры, поэтому тело ускоряется вниз по плоскости с ускорением a = g sin α. Оно не зависит от массы тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гладкая наклонная плоскость — поверхность, при движении по которой трением можно пренебречь. Её наклон к горизонтали задают углом α. Это упрощает задачу: вдоль поверхности остаётся учитывать только составляющую силы тяжести.
Сила реакции опоры — сила, с которой поверхность действует на соприкасающееся с ней тело. Она направлена перпендикулярно плоскости и от неё. Реакция нужна, чтобы описать, как опора препятствует движению тела внутрь поверхности.
Проекция силы тяжести на наклонную плоскость — составляющая силы тяжести, направленная вдоль поверхности вниз. Для массы m её значение равно mg sin α, где g — ускорение свободного падения. Именно эта составляющая отвечает за скольжение.
Ускорение тела на наклонной плоскости — изменение скорости тела под действием составляющей силы тяжести вдоль поверхности. Если тело скользит вниз и трения нет, его модуль равен g sin α. Эта величина позволяет находить скорость и время движения.
Для разбора сил выбирают две взаимно перпендикулярные оси: одну направляют вдоль плоскости, другую — перпендикулярно ей. Тогда перемещение при скольжении происходит вдоль первой оси, а контакт с поверхностью описывается второй. Такой выбор упрощает второй закон Ньютона: вместо векторного уравнения можно записать отдельные уравнения для каждого направления.
Сила тяжести mg остаётся направленной вертикально вниз, но для выбранных осей её удобно разложить на две составляющие. Прямоугольный треугольник проекций показывает, что вдоль плоскости действует mg sin α, а перпендикулярно ей — mg cos α. Синус относится к составляющей напротив угла α, косинус — к прилежащей. Поэтому эти выражения зависят от того, что α измеряют от горизонтали.
Тело не отрывается от плоскости и не ускоряется в направлении, перпендикулярном поверхности. Значит, проекция равнодействующей на эту ось равна нулю: реакция опоры уравновешивает перпендикулярную составляющую тяжести. Отсюда N = mg cos α. При этом опора не уравновешивает силу тяжести целиком, а только её составляющую, направленную в поверхность.
Вдоль плоскости при отсутствии трения действует только составляющая mg sin α. По второму закону Ньютона ma = mg sin α, где a — ускорение тела. После сокращения массы получаем a = g sin α. Если тело изначально покоится, оно начинает ускоряться вниз по плоскости именно под действием этой составляющей.
При увеличении α увеличивается sin α, а значит, возрастает и ускорение. Это согласуется с предельными случаями: при горизонтальной плоскости α = 0 и ускорение равно нулю, а при более крутом спуске составляющая тяжести вдоль него становится больше. Масса в формуле ускорения сокращается, потому что более тяжёлое тело испытывает пропорционально большую силу, но и его инертность пропорционально выше.
| Величина | Направление | Значение или формула |
|---|---|---|
| Сила тяжести | Вертикально вниз | mg |
| Составляющая силы тяжести вдоль плоскости | Вниз по плоскости | mg sin α |
| Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости | Внутрь поверхности | mg cos α |
| Сила реакции опоры | Перпендикулярно плоскости, от неё | N = mg cos α |
| Ускорение тела | Вниз по плоскости | a = g sin α |
Сначала определите, для какого направления нужна величина: вдоль плоскости или перпендикулярно ей. Затем найдите соответствующую проекцию силы тяжести; для реакции опоры используйте равенство N = mg cos α. Если требуется движение, примените a = g sin α и при необходимости формулы равноускоренного движения.
Тело массой 2 кг покоится на гладкой плоскости, наклонённой к горизонту под углом 30°. Найдите составляющие силы тяжести вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Положение покоя здесь не меняет разложение силы тяжести: для численного ответа потребуется значение g. Если принять g = 10 м/с², то вес тела равен 20 Н.
Ответ: составляющая вдоль плоскости — 10 Н, перпендикулярная составляющая — примерно 17,3 Н. Если значение g в условии не задано, результат можно оставить в виде 9,8 Н и 17,0 Н при g = 9,8 м/с². В состоянии покоя тела на плоскости нет, но эта задача просит найти именно проекции силы тяжести.
Тело соскальзывает из состояния покоя по гладкой плоскости длиной 5 м, наклонённой под углом 30°. Найдите ускорение и время спуска при g = 10 м/с². Сначала определяем ускорение из сил, а потом используем связь пути со временем. Важно, что длина плоскости здесь является путём вдоль направления движения.
Ответ: a = 5 м/с², время спуска примерно 1,4 с. Если бы начальная скорость была ненулевой, понадобилась бы формула с её учётом. Здесь применение формулы для старта из покоя соответствует условию.
Тело начинает двигаться из состояния покоя по гладкой наклонной плоскости и за 2 с проходит 4 м. Найдите угол наклона при g = 10 м/с². В условии не дана сила или ускорение напрямую, поэтому сначала восстановим ускорение по пройденному пути и времени. После этого используем связь ускорения с углом.
Ответ: угол наклона примерно 11,5°. Проверка показывает, что ускорение меньше g, как и должно быть при угле меньше 90°. Округление угла допустимо, если в условии не требуется заданная точность.
Считать, что сила тяжести направлена вдоль плоскости, — значит путать саму силу с её проекцией. Так происходит, потому что движение идёт по поверхности и легко перенести это направление на все силы. Проверьте себя: сила тяжести всегда вертикальна, а вдоль наклонной поверхности направлена только составляющая mg sin α.
Менять местами sin α и cos α обычно заставляет неверно выбранный угол в треугольнике проекций. Направление проекции можно проверить на горизонтальной плоскости: при α = 0 составляющая вдоль неё должна исчезнуть, поэтому формула для неё содержит sin α. Перпендикулярная составляющая при этом остаётся равной mg.
Приравнивать реакцию опоры к mg неверно, потому что реакция уравновешивает только силу, вдавливающую тело в поверхность. На наклонной плоскости это mg cos α, поэтому N = mg cos α. Проверка предельных случаев помогает: при α = 0 получаем N = mg, а при увеличении наклона реакция становится меньше.
Учитывать трение на гладкой плоскости или включать массу в формулу a = g sin α — лишнее. Трение по условию отсутствует, а масса сокращается при применении второго закона Ньютона. Для самопроверки запишите ma = mg sin α и разделите обе части на m: ускорение зависит от g и α, но не от массы.
Для решения задач о наклонной плоскости нужны второй закон Ньютона, понятия силы тяжести и равнодействующей, а также умение находить проекции векторов на оси. Эти знания позволяют перейти от рисунка с силами к уравнениям движения. Позже та же схема пригодится при изучении наклонной плоскости с трением: к силам вдоль поверхности добавится сила трения. Она также используется в задачах на связанные тела, когда движение одного тела влияет на движение другого.
Почему тело на гладкой наклонной плоскости начинает скользить?
Сила тяжести направлена вертикально вниз, и у неё есть составляющая вдоль поверхности — mg sin α. Именно она вызывает движение вниз по плоскости. Реакция опоры направлена перпендикулярно поверхности и эту составляющую не уравновешивает.
Как определить направление силы реакции опоры?
Реакция опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения и от неё. Для наклонной плоскости это направление перпендикулярно плоскости, а не вертикально вверх.
Почему вдоль плоскости действует mg sin α, а не mg cos α?
Угол α задан между плоскостью и горизонталью, поэтому при разложении силы тяжести составляющая вдоль плоскости равна mg sin α. Проверка: если плоскость горизонтальна, α = 0 и sin 0 = 0, значит, вдоль неё сила тяжести не действует.
Зависит ли ускорение тела от его массы?
Нет, на гладкой наклонной плоскости ускорение равно a = g sin α. Масса входит и в силу, вызывающую движение, mg sin α, и в инертность тела, поэтому сокращается.
Что изменится, если плоскость станет горизонтальной?
При α = 0 составляющая силы тяжести вдоль плоскости равна нулю, а ускорение a = g sin 0 = 0. Реакция опоры становится равной mg, поэтому тело на горизонтальной поверхности без других сил не начнёт скользить.
1. Тело на гладкой наклонной плоскости
