§ 19. Тело на наклонной плоскости

Определения и обозначения

Наклонная плоскость — плоская поверхность, расположенная под углом к горизонту. Она позволяет поднимать или опускать груз, перемещая его вдоль поверхности, а не поднимая вертикально. Угол наклона обозначают α. Он понадобится, чтобы определить, какая часть силы тяжести направлена вдоль поверхности, а какая — прижимает тело к ней.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; её модуль равен mg, где m — масса тела, g — ускорение свободного падения. Направлена она вертикально вниз, независимо от наклона поверхности. При решении задач силу тяжести раскладывают на составляющие, потому что движение тела рассматривают отдельно вдоль плоскости и перпендикулярно ей.

Реакция опоры N — сила, с которой поверхность действует на соприкасающееся с ней тело. Она направлена перпендикулярно плоскости, а не обязательно вертикально вверх. Эта сила нужна, чтобы описать взаимодействие с опорой и, если есть трение, вычислить его величину.

Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей и препятствует их относительному движению или его началу. При скольжении её модуль обычно записывают как Fтр = μN, где μ — коэффициент трения. Знание направления и величины трения помогает понять, будет ли тело скользить и с каким ускорением.

Как это устроено

Чтобы разобраться в движении, сначала изображают тело и силы, действующие именно на него. На схеме показывают силу тяжести, реакцию опоры и трение, если поверхности шероховатые. Это важно, потому что ускорение определяется равнодействующей сил, а не одной только силой тяжести. Силы, действующие на другие тела, например сила, с которой тело давит на плоскость, в эту схему не включают.

Удобно выбрать одну ось вдоль наклонной плоскости, а вторую — перпендикулярно ей. Тогда направление возможного движения совпадает с одной из осей, и уравнения Ньютона становятся проще. Сила тяжести остаётся направленной вертикально, поэтому её представляют суммой двух составляющих. Геометрически это проекции вектора mg на выбранные оси: вдоль плоскости получается mg sin α, а перпендикулярно — mg cos α.

Составляющая mg sin α тянет тело вниз по наклонной поверхности. Именно она может разгонять тело, если её не уравновешивают трение или другие силы. При увеличении угла α эта составляющая становится больше, поэтому телу легче начать скользить. При горизонтальной поверхности α = 0, и составляющая вдоль плоскости исчезает.

Составляющая mg cos α направлена к поверхности и прижимает к ней тело. Если тело не ускоряется перпендикулярно плоскости и других сил в этом направлении нет, реакция опоры уравновешивает эту составляющую: N = mg cos α. При увеличении наклона N уменьшается, потому что часть силы тяжести всё больше направлена вдоль поверхности. Это влияет и на трение, если оно зависит от реакции опоры.

При скольжении сила трения направлена против скорости тела относительно поверхности. Её модуль в простой модели равен Fтр = μN, поэтому при отсутствии иных перпендикулярных сил Fтр = μmg cos α. Выбрав направление вниз по плоскости положительным, для тела, скользящего вниз, получаем ma = mg sin α − μmg cos α. Следовательно, a = g(sin α − μ cos α); формула применима, пока тело действительно скользит вниз и принята модель сухого трения.

Если тело пока покоится, действует трение покоя, а не обязательно сила величиной μN. Оно принимает такое значение, которое нужно для равновесия, но не может превысить предельное значение μN. Поэтому тело остаётся в покое, пока трение способно уравновешивать mg sin α. Когда требуемая сила трения становится больше предельной, равновесие нарушается и начинается скольжение.

Силы и уравнения для наклонной плоскости

Сначала определите, какие силы действуют на тело и в какую сторону оно движется или может начать двигаться. Затем выберите оси и используйте нужные проекции: перпендикулярная ось помогает найти N, а ось вдоль плоскости — ускорение. Формулу для трения скольжения применяйте только при скольжении; условие покоя проверяйте отдельно.

Разбор задач

Задача. Брусок массой 2 кг скользит вниз по наклонной плоскости с углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения равен 0,2, ускорение свободного падения примите равным 10 м/с². Найдите ускорение бруска. Сопротивлением воздуха пренебрегите.

1. Выберем ось вдоль плоскости и направим её вниз. Это направление совпадает со скоростью бруска, поэтому составляющая силы тяжести будет положительной, а сила трения — отрицательной. Перпендикулярное оси ускорение равно нулю, поскольку брусок не отрывается от плоскости.

2. Запишем силы перпендикулярно поверхности. Реакция опоры уравновешивает перпендикулярную составляющую силы тяжести, поэтому N = mg cos 30°. При cos 30° ≈ 0,866 получаем N ≈ 2 · 10 · 0,866 = 17,32 Н.

3. Найдём силу трения скольжения: Fтр = μN. Подставляем значения и получаем Fтр = 0,2 · 17,32 ≈ 3,46 Н. Трение направлено вверх по плоскости, так как мешает движению бруска вниз.

4. Вдоль плоскости сила тяжести даёт составляющую mg sin 30° = 2 · 10 · 0,5 = 10 Н. Равнодействующая равна 10 − 3,46 = 6,54 Н; по второму закону Ньютона ma = 6,54 Н. Делим на массу 2 кг и получаем a ≈ 3,27 м/с².

Ответ: ускорение бруска примерно равно 3,3 м/с² и направлено вниз по плоскости. Проверка здравого смысла: ускорение получилось меньше, чем без трения, когда оно было бы равно g sin 30° = 5 м/с². Это ожидаемо, потому что трение направлено против движения и уменьшает равнодействующую.

Типичные ошибки

• Считать силу тяжести направленной вдоль плоскости. Так ошибаются, потому что тело движется по поверхности, и кажется, будто все силы должны быть направлены туда же. Но mg всегда направлена вертикально вниз; вдоль плоскости направлена только её проекция mg sin α. Проверьте схему: исходный вектор должен оставаться вертикальным.

• Менять местами синус и косинус. Это происходит, когда угол α не связывают с геометрией прямоугольного треугольника проекций. При α = 0 сила тяжести не имеет составляющей вдоль горизонтальной плоскости, значит там должно быть mg sin 0 = 0. Такая проверка помогает быстро обнаружить перестановку.

• Всегда полагать N = mg. На наклонной поверхности тело прижимает к опоре не вся сила тяжести, а её перпендикулярная составляющая. При отсутствии других перпендикулярных сил получается N = mg cos α. Проверьте крайний случай: при вертикальной плоскости cos 90° = 0, и сила тяжести не прижимает тело к стене.

• Направлять трение по движению или всегда считать его равным μN. Первое неверно для скольжения: трение противодействует относительному движению поверхностей. Второе неверно для покоя, когда сила трения подстраивается под требуемое значение до предела. Перед расчётом выясните, скользит тело или покоится, и сравните силы вдоль плоскости.

Связь с другими темами

Задачи о наклонной плоскости опираются на второй закон Ньютона: ускорение задаёт равнодействующая сил. Разложение силы тяжести на проекции — частный случай работы с векторами и выбора удобной системы координат. Сила трения связывает эту тему с законами взаимодействия соприкасающихся тел, а условие покоя — с равновесием сил. Те же приёмы применяются при анализе движения по наклонным дорогам, рампам и другим поверхностям.

Что запомнить

• Сила тяжести mg направлена вертикально вниз, а реакция опоры N — перпендикулярно поверхности.

• Проекции силы тяжести: mg sin α вдоль плоскости и mg cos α перпендикулярно ей.

• Если нет ускорения поперёк плоскости и дополнительных перпендикулярных сил, N = mg cos α.

• При скольжении Fтр = μN и направлена против движения; для покоя сила трения может быть меньше μN.

• Для движения вниз без трения a = g sin α; при трении скольжения a = g(sin α − μ cos α), если тело скользит вниз.