"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Наклонная плоскость помогает изучать движение тела по поверхности, расположенной под углом к горизонту. На брусок действуют сила тяжести, реакция опоры и, при необходимости, сила трения. Разложив силу тяжести на составляющие вдоль плоскости и перпендикулярно ей, можно определить реакцию опоры, условие покоя и ускорение. Главные формулы: N = mg cos α, а = g sin α для гладкой плоскости и а = g(sin α − μ cos α) при скольжении вниз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — опорная поверхность, образующая угол α с горизонтом. Угол α называют углом наклона. Он определяет, какая часть силы тяжести стремится сдвинуть тело вдоль поверхности.
Сила реакции опоры — сила, с которой плоскость действует на тело перпендикулярно поверхности. Её обозначают N; она не даёт телу провалиться сквозь плоскость и определяет силу трения.
Сила трения направлена вдоль поверхности и препятствует относительному движению тел или его началу. При скольжении она обозначается Fтр и зависит от реакции опоры и свойств поверхностей.
Коэффициент трения μ — безразмерная величина, характеризующая взаимодействие соприкасающихся поверхностей. Чем она больше, тем сильнее поверхности сопротивляются скольжению при одинаковой реакции опоры.
Оси выбирают вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей, потому что реакции опоры и трение сразу направлены по этим направлениям. Тогда в каждом направлении можно отдельно записать второй закон Ньютона. Такой выбор превращает задачу с векторами в два простых уравнения.
Сила тяжести направлена вертикально вниз, но для выбранных осей её удобно разложить на составляющие. Вдоль плоскости действует mg sin α, а перпендикулярно ей — mg cos α. Первая составляющая сдвигает тело вниз, вторая прижимает его к поверхности.
Если других сил, перпендикулярных плоскости, нет, тело не ускоряется в этом направлении. Поэтому реакция опоры уравновешивает перпендикулярную составляющую силы тяжести: N = mg cos α. Реакция оказывается меньше mg, потому что при наклоне к поверхности относится только часть веса.
При скольжении сила трения имеет величину Fтр = μN и направлена против скорости. Для покоя нельзя сразу писать Fтр = μN: трение принимает ровно такое значение, какое нужно для равновесия, но не превышает максимума μN. Поэтому тело покоится, если mg sin α ≤ μN.
На гладкой плоскости вдоль поверхности действует только mg sin α, поэтому из ma = mg sin α получается a = g sin α. При скольжении вниз по шероховатой плоскости трение направлено вверх: ma = mg sin α − μN. После подстановки N = mg cos α получаем a = g(sin α − μ cos α).
| Случай | Условие вдоль плоскости | Сила реакции опоры | Результат |
|---|---|---|---|
| Гладкая плоскость | Fтр = 0 | N = mg cos α | a = g sin α вниз по плоскости |
| Тело покоится на шероховатой плоскости | mg sin α ≤ μN | N = mg cos α | Условие покоя: tan α ≤ μ |
| Тело скользит вниз | mg sin α − Fтр = ma | N = mg cos α | a = g(sin α − μ cos α) |
| Тело движется вверх | Сила трения направлена вниз по плоскости | N = mg cos α | Ускорение направлено против движения; учитывать mg sin α и силу трения |
Сначала определите состояние тела и направление его движения, затем выберите строку таблицы. После этого подставьте известные величины в уравнение вдоль плоскости.
Для покоя используется максимальная сила трения как предел возможного сопротивления, а не как обязательное значение. Если тело движется, сила трения равна μN.
Брусок массой 2 кг находится на гладкой плоскости с углом 30°. Нужно найти N и ускорение. Возьмём g = 10 Н/кг, sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,87.
Ответ: N ≈ 17,4 Н; a = 5 м/с² вниз по плоскости.
Для угла 37° дано μ = 0,25. Используем sin 37° ≈ 0,6 и cos 37° ≈ 0,8. Сначала проверим, хватит ли трения покоя, а затем найдём ускорение при скольжении.
Ответ: покой невозможен, брусок скользит вниз с ускорением 4 м/с².
Масса бруска 5 кг, α = 30°, μ = 0,2. Силу нужно направить вверх вдоль плоскости, а движение сделать равномерным. Тогда ускорение равно нулю, но трение направлено вниз.
Ответ: минимальная сила равна примерно 33,7 Н и направлена вверх вдоль плоскости.
Считать N = mg. Так делают по привычке из задач о горизонтальной поверхности, но на наклонной опора уравновешивает mg cos α. Проверьте направление осей и перпендикулярную проекцию силы тяжести.
Направлять трение всегда вниз. Его направление определяется не наклоном, а движением или возможным движением. Сначала выясните, куда скользит тело или куда оно стремится сдвинуться.
Брать mg cos α вдоль плоскости. При принятом угле α величина mg sin α направлена вдоль поверхности, а mg cos α — перпендикулярно. Проверить себя можно при α = 0: вдоль горизонтали сила тяжести должна быть равна нулю.
Сразу писать Fтр = μN для покоя. Это максимальное трение покоя, а фактическое может быть меньше. Сначала сравните mg sin α с μN и только затем делайте вывод о движении.
Для решения задач нужны векторы, разложение силы на составляющие, законы Ньютона и условие равновесия. Без этих идей трудно правильно выбрать направления сил и составить уравнения.
Модель наклонной плоскости используется при изучении механической работы и закона сохранения энергии. Она также помогает анализировать движение по наклонным поверхностям и работу простых механизмов.
Почему тело на наклонной плоскости не падает вертикально вниз?
Плоскость не даёт телу двигаться перпендикулярно своей поверхности: этому препятствует сила реакции опоры. Поэтому движение возможно вдоль плоскости, а сила тяжести раскладывается на две составляющие.
Почему сила реакции опоры меньше mg?
На наклонной плоскости реакция опоры уравновешивает не всю силу тяжести, а только её перпендикулярную составляющую mg cos α. Поэтому N = mg cos α, и при ненулевом угле наклона N < mg.
Как понять, в какую сторону направлена сила трения?
Сила трения направлена противоположно относительному движению поверхностей или его возможному началу. Если брусок скользит вниз, трение направлено вверх, а при движении вверх — вниз.
Почему для силы тяжести используется sin α, а не cos α?
Угол α задаётся между плоскостью и горизонтом, поэтому проекция силы тяжести вдоль плоскости равна mg sin α. Перпендикулярная составляющая равна mg cos α.
Как определить, начнёт ли тело скользить или останется в покое?
Нужно сравнить силу, стремящуюся сдвинуть тело вниз, mg sin α, с максимальной силой трения покоя μN. При mg sin α ≤ μN тело остаётся в покое, то есть tan α ≤ μ.
§ 19. Тело на наклонной плоскости
