"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Движение в поле тяжести удобно изучать по двум независимым направлениям: горизонтальному и вертикальному. Такой подход помогает описывать свободное падение и горизонтальный бросок, не смешивая разные составляющие скорости. По горизонтали тело сохраняет скорость, если сопротивлением воздуха можно пренебречь, а по вертикали ускоряется вниз с ускорением g. Разложив движение на части, можно находить время падения, дальность полёта, скорость перед ударом и форму траектории.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз и у поверхности Земли примерно равно 9,8 м/с². Это понятие позволяет описывать падение общими формулами, не учитывая форму тела и другие силы.
Вертикальное движение — движение вдоль вертикальной прямой с ускорением, направленным вниз. Если ось y направить вверх, проекция ускорения равна aᵧ = −g, а при направлении оси вниз — aᵧ = +g. Выбор оси нужен, чтобы правильно записать знаки координат, скорости и ускорения.
Горизонтальное движение — движение вдоль горизонтальной оси. Когда горизонтальные силы отсутствуют, ускорение по этой оси равно нулю, поэтому тело движется равномерно: за равные промежутки времени проходит равные расстояния. Это описание помогает отдельно вычислять перемещение тела в сторону от точки броска.
Горизонтальный бросок — движение тела, которому в начальный момент сообщают горизонтальную скорость, после чего оно движется под действием силы тяжести. Начальная вертикальная скорость при таком броске равна нулю, но затем она появляется из-за ускорения g. Это понятие объединяет равномерное движение по горизонтали и равноускоренное движение по вертикали.
На тело после броска действует сила тяжести, направленная вниз. Поэтому она меняет вертикальную составляющую скорости, но при отсутствии сопротивления воздуха не меняет горизонтальную: силы действуют независимо по проекциям на оси. Значит, движение можно решать как две задачи с одним и тем же временем t.
Для равноускоренного движения координата равна начальной координате плюс начальная скорость, умноженная на время, плюс половина ускорения, умноженная на квадрат времени. Скорость равна начальной скорости плюс ускорение, умноженное на время. Поэтому по горизонтали x = x₀ + v₀ₓt и vₓ = v₀ₓ, а по вертикали y = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2 и vᵧ = v₀ᵧ − gt, если ось y направлена вверх.
При горизонтальном броске v₀ᵧ = 0, поэтому вертикальная скорость в начале равна нулю и затем увеличивается по модулю: vᵧ = −gt. Горизонтальная скорость остаётся равной начальной v₀, поскольку горизонтального ускорения нет. Так тело одновременно продвигается вбок и всё быстрее опускается.
Из уравнения x = x₀ + v₀t можно выразить время: t = (x − x₀)/v₀. Подставляя его в вертикальное уравнение, получаем y − y₀ = −g(x − x₀)²/(2v₀²). Это уравнение параболы: вертикальное перемещение зависит от квадрата горизонтального, потому что за время, пропорциональное x, падение растёт пропорционально t².
Если тело падает с высоты h, то по вертикали h = gt²/2, откуда время t = √(2h/g). Затем горизонтальная дальность находится по формуле L = v₀t. В момент падения вертикальная скорость равна gt, горизонтальная — v₀; их векторная сумма даёт конечную скорость, а отношение gt/v₀ позволяет найти угол её направления ниже горизонта.
В таблице приведены зависимости для случая, когда сопротивлением воздуха пренебрегают, ось y направлена вверх, а бросок начинается с горизонтальной скоростью v₀. Начальные координаты обозначены x₀ и y₀, а начальная вертикальная скорость равна нулю. Сопоставляйте строки по отдельным осям: это помогает не смешивать время падения и дальность.
| Характеристика | Движение по горизонтали | Движение по вертикали |
|---|---|---|
| Ускорение | aₓ = 0 | aᵧ = −g |
| Скорость | vₓ = v₀ | vᵧ = −gt |
| Координата | x = x₀ + v₀t | y = y₀ − gt²/2 |
| Начальные условия | v₀ₓ = v₀ | v₀ᵧ = 0 |
| Зависимость пройденного пути от времени | sₓ = v₀t | h = gt²/2 |
| Форма траектории при горизонтальном броске | Парабола: y − y₀ = −g(x − x₀)²/(2v₀²) | |
Сначала выбирайте уравнение для той величины, которую требуется найти: высота и время связаны вертикальными формулами, а дальность — горизонтальной. Для конечной скорости используйте обе составляющие. При другом выборе направления оси знаки в уравнениях изменятся, но физический результат останется тем же.
Решение. Обозначим высоту падения h; камень начинает движение из состояния покоя, поэтому v₀ᵧ = 0. Выберем направление вниз положительным: тогда перемещение равно h, а ускорение — g. Это позволяет сразу использовать уравнения вертикального движения.
Ответ: время падения t = √(2h/g), скорость перед ударом v = √(2gh), направленная вниз. Численный ответ можно получить после подстановки высоты из условия. Проверка единиц даёт секунды для времени и метры в секунду для скорости.
Решение. Пусть высота равна h, а горизонтальная начальная скорость — v₀. Время полёта найдём из вертикального движения, поскольку именно оно определяет момент достижения земли. После этого рассчитаем горизонтальное перемещение за то же время.
Ответ: t = √(2h/g), L = v₀√(2h/g). Если увеличить горизонтальную скорость, дальность возрастёт пропорционально, а время падения не изменится. Подставьте значения h и v₀, чтобы получить численный результат.
Решение. Пусть высота обрыва равна h, а дальность — L. Сначала по высоте определим общее время движения, затем по дальности восстановим постоянную горизонтальную скорость. Так мы разделяем данные задачи по направлениям.
Ответ: v₀ = L√(g/(2h)); скорость перед падением имеет модуль √(v₀² + 2gh) и направлена под углом α = arctg(√(2gh)/v₀) ниже горизонта. Подстановка заданных h и L даёт численные значения. Проверить решение можно по отдельным горизонтальной и вертикальной составляющим.
Ошибка — считать, что после горизонтального броска тело продолжает двигаться только вбок. Так думают, потому что начальную скорость задают горизонтально, но сила тяжести сразу вызывает вертикальное ускорение. Проверьте себя: если тело опускается, у него должна быть вертикальная скорость, кроме самого начального момента.
Не следует приписывать горизонтальному движению ускорение g. Ускорение свободного падения направлено вертикально, а по горизонтали при отсутствии сопротивления ускорение равно нулю. Для проверки разложите ускорение на проекции: aₓ = 0, aᵧ = −g при оси y вверх.
Нельзя одной формулой без пояснений находить и время, и дальность: они связаны с разными составляющими движения. Часто их смешивают, потому что тело проходит обе части пути одновременно. Сначала найдите время по вертикали, затем используйте его для горизонтального перемещения.
Высота падения — это вертикальное перемещение, а дальность — горизонтальное, поэтому эти величины нельзя подменять друг другом. Ошибки со знаками появляются, когда не указано направление осей или начало отсчёта координат. Нарисуйте оси и проверьте: при оси y вверх вертикальная координата уменьшается, а ускорение имеет знак минус.
Для решения задач нужны векторное сложение и проекции: скорость и ускорение раскладывают на составляющие вдоль осей. Также следует знать уравнения равноускоренного движения, поскольку по вертикали тело движется именно так. Эти инструменты позволяют переводить векторное описание в расчёты по каждой координате.
Горизонтальный бросок опирается на изучение свободного падения и служит частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту. В обоих случаях вертикальная составляющая подчиняется действию силы тяжести, а горизонтальная — отдельному закону движения. Различаются начальные значения составляющих скорости.
Такая модель пригодится при описании движения снарядов и спортивных бросков, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Она помогает оценивать, где окажется тело и с какой скоростью оно достигнет поверхности. В реальных условиях сопротивление воздуха может изменить дальность и форму траектории.
Почему горизонтальная скорость тела не изменяется?
Если сопротивлением воздуха пренебречь, на тело не действует горизонтальная сила. Поэтому горизонтальное ускорение равно нулю, а горизонтальная скорость остаётся постоянной.
Почему время падения не зависит от начальной горизонтальной скорости?
Время падения задаётся вертикальным движением: высотой и вертикальной составляющей начальной скорости. При горизонтальном броске начальная вертикальная скорость равна нулю, поэтому горизонтальная скорость на время падения не влияет.
Как выбрать оси координат и знаки ускорения?
Удобно направить ось x горизонтально, а ось y — вертикально вверх, и записать, откуда отсчитываются координаты. Тогда ускорение свободного падения имеет проекции aₓ = 0 и aᵧ = −g; если ось y направить вниз, проекция будет +g.
Почему траектория горизонтального броска является параболой?
Горизонтальная координата пропорциональна времени, а вертикальное перемещение пропорционально квадрату времени. Если исключить время из уравнений координат, получится зависимость y = y₀ − gx²/(2v₀²), то есть уравнение параболы.
Как найти скорость тела непосредственно перед падением?
Нужно найти горизонтальную и вертикальную составляющие скорости в момент падения. Затем вычислить модуль v = √(vₓ² + vᵧ²); направление относительно горизонта определяют по этим составляющим, например tg α = |vᵧ|/vₓ.
§ 20. Движение по горизонтали и вертикали
