"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Горизонтальный бросок — это движение тела, которому сообщили начальную скорость вдоль горизонта, а затем предоставили действию силы тяжести. Его удобно разделить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Такой подход позволяет найти время падения, дальность полёта, скорость в любой момент и доказать, что траектория тела имеет форму параболы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Горизонтальный бросок — движение тела, начальная скорость которого направлена горизонтально, а вертикальная начальная скорость равна нулю. Например, предмет соскальзывает с края стола, не получая начального толчка вверх или вниз. Такая модель помогает отдельно изучать перемещение вперёд и падение.
Движение по горизонтали — равномерное движение с постоянной горизонтальной составляющей скорости. Если сопротивлением воздуха пренебречь, сила тяжести не имеет горизонтальной составляющей, поэтому vₓ = v₀ и x = v₀t. Это позволяет находить дальность полёта через время движения.
Движение по вертикали — равноускоренное движение под действием силы тяжести с ускорением g. При выборе оси Oy вверх ускорение направлено противоположно положительному направлению, поэтому aᵧ = −g. Именно оно заставляет тело падать всё быстрее.
Траектория тела — линия, которую тело описывает в пространстве. При горизонтальном броске она имеет форму параболы, потому что за одинаковые промежутки времени тело проходит равные расстояния по горизонтали, но всё большие расстояния вниз. Форма траектории связывает оба независимых движения в одну картину.
Движение тела описывают вектором скорости, который можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие. Для горизонтального броска начальная скорость уже направлена вдоль оси Ox, поэтому vₓ = v₀, а vᵧ = 0. Такое разложение не означает, что тело распадается на два тела: это удобный способ отдельно учитывать действие сил по двум направлениям.
Сила тяжести направлена вертикально вниз и не действует вдоль горизонтали, если сопротивлением воздуха пренебречь. Поэтому горизонтальное ускорение равно нулю, а горизонтальная скорость остаётся постоянной. По вертикали действует ускорение свободного падения, так что движение оказывается таким же, как обычное свободное падение с начальной вертикальной скоростью, равной нулю.
Выберем начало координат на земле, ось Ox направим горизонтально, а Oy — вверх. За время t горизонтальная координата увеличится на v₀t, поэтому x = v₀t. Начальная вертикальная координата равна высоте h, а вертикальное перемещение при ускорении −g равно −gt²/2, следовательно, y = h − gt²/2.
Чтобы получить форму траектории, выразим время из первого уравнения: t = x/v₀. Подставим его во второе уравнение и получим y = h − gx²/(2v₀²). Это уравнение квадратично зависит от x, поэтому график движения является параболой, ветви которой направлены вниз.
Время падения находят из условия y = 0: h − gt²/2 = 0, откуда t = √(2h/g). После этого дальность равна L = v₀t, а составляющие скорости в любой момент равны vₓ = v₀ и vᵧ = −gt. Полная скорость находится по теореме Пифагора: v = √(v₀² + g²t²), а угол падения α к горизонту — из соотношения tg α = |vᵧ|/vₓ.
В таблице собраны формулы для отдельных составляющих и для движения тела целиком. Сначала обычно используют вертикальное движение, чтобы определить время падения, а затем подставляют это время в горизонтальные формулы. Знак «минус» у вертикальной скорости и координаты связан с выбранным направлением оси Oy вверх.
| Параметр | Движение по горизонтали | Движение по вертикали | Движение тела целиком |
|---|---|---|---|
| Начальная скорость | vₓ = v₀ | vᵧ = 0 | v₀ направлена горизонтально |
| Ускорение | aₓ = 0 | aᵧ = −g | g направлено вертикально вниз |
| Зависимость координаты от времени | x = v₀t | y = h − gt²/2 | Траектория — парабола |
| Зависимость скорости от времени | vₓ = v₀ | vᵧ = −gt | v = √(v₀² + g²t²) |
| Время движения | Не ограничивает полёт | Определяется падением с высоты h | t = √(2h/g) |
| Дальность полёта | L = v₀t | По горизонтали не изменяется | L = v₀√(2h/g) |
Мяч бросили горизонтально со скоростью 5 м/с с высоты 20 м. Нужно определить время падения и дальность полёта. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, g принимаем равным 10 м/с². Сначала рассматриваем вертикальное движение, потому что именно оно задаёт длительность полёта.
Ответ: мяч находился в полёте 2 с. За это время он пролетел по горизонтали 10 м.
Тело горизонтально бросили с высоты 45 м со скоростью 12 м/с. Найдём скорость непосредственно перед падением. Горизонтальная составляющая скорости не меняется, а вертикальную нужно определить по времени падения.
Ответ: скорость перед падением примерно 32,3 м/с. Её горизонтальная составляющая равна 12 м/с, а вертикальная направлена вниз и имеет модуль 30 м/с.
Камень вылетел горизонтально со скалы и упал на расстоянии 30 м от её основания через 2 с. Требуется найти высоту скалы, начальную скорость и уравнение траектории. Возьмём g = 10 м/с² и направим ось Oy вверх от земли.
Ответ: высота скалы равна 20 м, начальная скорость камня — 15 м/с. Уравнение траектории: y = 20 − x²/45, где x и y выражены в метрах.
Уменьшение горизонтальной скорости из-за силы тяжести. Так считают, потому что тело падает и его скорость меняется. Но сила тяжести направлена вертикально, поэтому при отсутствии сопротивления воздуха vₓ остаётся постоянной; проверьте, что aₓ = 0.
Подстановка высоты прямо в формулу дальности. Высота и дальность имеют разные физические смыслы, поэтому нельзя писать L = v₀h. Сначала найдите время t = √(2h/g), а затем используйте L = v₀t; не путайте дальность с длиной криволинейной траектории.
Начальная вертикальная скорость равна v₀. Такая запись смешивает полную начальную скорость с её составляющими. При горизонтальном броске vₓ = v₀, а vᵧ = 0; эти значения нужно проверить по направлению начального вектора скорости.
Неверный знак ускорения свободного падения. Ошибка появляется, если направление оси Oy выбрано вверх, а в формуле использовано положительное ускорение. Сначала укажите ось, затем определите знак: при оси вверх aᵧ = −g, при оси вниз можно использовать aᵧ = g.
Для решения задач нужны формулы равномерного и равноускоренного движения, умение раскладывать вектор на составляющие и теорема Пифагора. Эти знания позволяют отдельно работать с координатами и скоростями по двум осям. Без выбора системы координат легко ошибиться в знаках.
Горизонтальный бросок подготавливает изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту. В более общем случае начальная скорость имеет и горизонтальную, и вертикальную составляющие. Принцип независимости движений при этом сохраняется.
Модель применяют для описания прыжков, падения предметов с высоты, движения снарядов и расчёта дальности полёта. Она хорошо работает, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. В реальных условиях сопротивление может изменить скорость и траекторию.
Почему тело одновременно движется вперёд и падает вниз?
Начальная скорость направляет тело вперёд, поэтому оно перемещается по горизонтали. Сила тяжести сообщает ему вертикальное ускорение вниз, и тело одновременно падает.
Почему время падения не зависит от скорости горизонтального броска?
Время падения определяется только вертикальным движением. Горизонтальная скорость не влияет на вертикальную составляющую ускорения, поэтому при одной и той же высоте тела упадут одновременно.
Как выбрать направление оси и знаки в уравнениях движения?
Удобно направить ось Oy вверх, а начало отсчёта поместить на земле. Тогда ускорение свободного падения имеет знак «минус»: aᵧ = −g, а координата тела равна y = h − gt²/2.
Можно ли пренебречь сопротивлением воздуха в любой задаче?
Нет, такое приближение допустимо, если скорость не слишком велика, тело компактно, а влияние воздуха мало по сравнению с силой тяжести. Если сопротивление существенно, горизонтальная скорость изменяется, и простые формулы горизонтального броска уже неточны.
Как найти угол, под которым тело падает на землю?
Сначала находят составляющие скорости в момент падения: vₓ = v₀ и vᵧ = −gt. Угол α к горизонту определяют из формулы tg α = |vᵧ|/vₓ = gt/v₀.
§ 20. Движение по горизонтали и вертикали
