"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Движение по наклонной плоскости помогает исследовать, как сила тяжести и трение влияют на тело. Силу тяжести раскладывают на составляющие вдоль и перпендикулярно поверхности, находят реакцию опоры и силу трения. По второму закону Ньютона определяют, останется ли тело в покое, будет двигаться равномерно или получит ускорение. Главные результаты связаны с условием tan α > μ и формулой ускорения при движении вниз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — поверхность, образующая угол с горизонтом. Этот угол обозначают α, а ось координат удобно направлять вдоль плоскости, например вниз. Такой выбор помогает сразу видеть направления движения и сил.
Сила трения скольжения препятствует относительному движению соприкасающихся поверхностей. Она направлена вдоль плоскости противоположно скорости тела. Поэтому её направление зависит от того, движется тело вверх или вниз.
Коэффициент трения μ — безразмерная величина, характеризующая взаимодействие тела с поверхностью. Он связывает силу трения с реакцией опоры формулой Fтр = μN. Чем больше μ, тем сильнее поверхность сопротивляется скольжению.
Угол покоя — наибольший угол наклона, при котором тело ещё остаётся неподвижным. На границе начала движения выполняется μ₀ = tan αп, где μ₀ — коэффициент трения покоя. Это позволяет определить коэффициент трения по простому измерению угла.
Силу тяжести mg раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Первая, mg sin α, направлена вдоль плоскости и стремится сдвинуть тело вниз. Вторая, mg cos α, прижимает тело к поверхности, поэтому влияет на реакцию опоры и трение.
Перпендикулярно плоскости тело обычно не ускоряется: оно не проваливается в поверхность и не отрывается от неё. Поэтому силы в этом направлении уравновешены: N − mg cos α = 0. Отсюда реакция опоры N = mg cos α, а не mg, поскольку опора компенсирует только перпендикулярную составляющую тяжести.
По закону Кулона сила трения скольжения пропорциональна реакции опоры: Fтр = μN. Подставляя найденную реакцию, получаем Fтр = μmg cos α. Трение направляют не по заранее выбранному правилу, а противоположно фактическому движению тела.
Если тело движется вниз, направим ось вниз вдоль плоскости. Тогда составляющая тяжести положительна, а трение отрицательно: mg sin α − μmg cos α = ma. После деления на массу получаем a = g(sin α − μ cos α).
До начала скольжения действует трение покоя, которое может принимать разные значения до предельного. Скольжение начинается, когда mg sin α становится больше максимальной силы трения покоя μ₀mg cos α, то есть tan α > μ₀. Если равенство ещё не нарушено, тело может покоиться; при нулевом результирующем ускорении возможно и равномерное движение.
| Состояние или направление движения | Направление силы трения | Сила трения | Условие или ускорение | Основное уравнение |
|---|---|---|---|---|
| Тело покоится на плоскости | Против возможного скольжения | Fтр = mg sin α, но Fтр ≤ μ₀N | tan α ≤ μ₀ | mg sin α − Fтр = 0 |
| Тело скользит вниз | Вверх по плоскости | Fтр = μN | a = g(sin α − μ cos α) | mg sin α − μN = ma |
| Тело движется вверх по плоскости | Вниз по плоскости | Fтр = μN | a = −g(sin α + μ cos α), если ось направлена вверх | −mg sin α − μN = ma |
| Начало скольжения | Против возможного движения | Fтр пред = μ₀N | tan α > μ₀ | mg sin α > μ₀mg cos α |
| Равномерное движение вниз | Вверх по плоскости | Fтр = μN | a = 0, sin α = μ cos α | mg sin α − μmg cos α = 0 |
| Ускоренное движение вниз | Вверх по плоскости | Fтр = μN | a > 0 при sin α > μ cos α | mg sin α − μmg cos α = ma |
Сначала определите, покоится тело или уже скользит, затем выберите направление оси. В строках с движением знак ускорения зависит от выбранной оси, а направление сил остаётся физически тем же. Для покоя используют коэффициент трения покоя, а для скольжения — коэффициент трения скольжения.
Брусок массой 2 кг движется вниз по плоскости с углом 30°, коэффициент трения скольжения равен 0,2. Требуется найти ускорение. Возьмём g ≈ 10 м/с² и направим ось вниз вдоль плоскости.
Ответ: ускорение бруска примерно 3,3 м/с² вниз по плоскости. Масса сократилась, поэтому на значение ускорения не повлияла.
Найдём минимальный угол, при котором брусок начнёт скользить, если μ₀ = 0,4. На границе движения составляющая тяжести вдоль плоскости равна предельной силе трения покоя. Поэтому mg sin α = μ₀mg cos α.
Ответ: минимальный угол наклона примерно 22°. При большем угле условие tan α > μ₀ выполнится, и начнётся скольжение.
Брусок движется вверх со скоростью 6 м/с по плоскости с углом 30°, μ = 0,1. Нужно найти путь до остановки. И сила тяжести, и трение направлены вниз, поэтому при оси вверх ускорение отрицательно.
Ответ: брусок пройдёт до остановки около 3,1 м. После остановки его дальнейшее движение зависит уже от условия трения покоя.
Силу трения всегда направляют вниз по наклонной плоскости. Так делают, потому что тело часто изображают движущимся вниз, но при движении вверх трение направлено вниз, а при движении вниз — вверх. Проверьте себя вопросом: куда направлена скорость или возможное скольжение?
Вместо N = mg используют полную силу тяжести. Ошибка возникает, если забыть, что опора действует только перпендикулярно поверхности. Разложите mg на составляющие и используйте N = mg cos α.
Коэффициент трения покоя смешивают с коэффициентом трения скольжения. Первый применяют для проверки начала движения, второй — после того, как поверхности уже скользят. Сначала определите состояние тела, а затем выбирайте нужный коэффициент.
Считают, что тело обязательно поедет вниз при любом наклоне. На самом деле при tan α ≤ μ₀ сила трения покоя может уравновесить составляющую тяжести. Сравните именно mg sin α и μ₀mg cos α, прежде чем писать уравнение движения.
Для решения задач нужны второй закон Ньютона, понятия силы и реакции опоры, разложение вектора на составляющие. Также понадобятся кинематические формулы равноускоренного движения, например v² − v₀² = 2as.
Эта модель пригодится при изучении движения по криволинейной траектории, механической работы и энергии. Она описывает торможение, разгон и движение транспорта по дорогам с уклоном.
Тема связана с экспериментом: постепенно увеличивая угол наклона, можно найти угол начала скольжения. Затем коэффициент трения покоя вычисляют по формуле μ₀ = tan αп.
Почему сила трения не всегда направлена вниз по наклонной плоскости?
Трение направлено против относительного движения поверхностей или против возможного скольжения. Поэтому при движении тела вверх сила трения направлена вниз, а при движении вниз — вверх.
Почему реакция опоры равна mg cos α, а не mg?
Реакция опоры уравновешивает только составляющую силы тяжести, перпендикулярную плоскости. Эта составляющая равна mg cos α, тогда как mg — вся сила тяжести.
Как определить, начнёт ли тело скользить?
Сравните составляющую силы тяжести вдоль плоскости с максимальной силой трения покоя. Скольжение начнётся, если mg sin α > μ₀mg cos α, то есть tan α > μ₀.
Чем отличаются коэффициенты трения покоя и скольжения?
Коэффициент трения покоя определяет предельную силу, удерживающую неподвижное тело. Коэффициент трения скольжения используют после начала движения; обычно он меньше коэффициента трения покоя.
Как выбрать направление оси и знаки в уравнении движения?
Ось удобно направить вдоль плоскости, например вниз, если тело движется вниз. Силы, направленные по оси, записывают со знаком плюс, а противоположные — со знаком минус.
3. Движение тела по наклонной плоскости с учётом трения
