"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
На наклонной плоскости сила тяжести действует не только вдоль поверхности, но и прижимает тело к ней. Поэтому для описания движения удобно разложить её на две составляющие и отдельно рассмотреть реакцию опоры и трение. Такой подход помогает найти ускорение при скольжении вверх или вниз и проверить, сдвинется ли тело из состояния покоя. Главное — учитывать направление трения и то, что оно зависит от направления движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — поверхность, расположенная под углом к горизонту; этот угол обозначают α. Например, так можно описать доску, пандус или склон. Угол нужен, чтобы определить, какая часть силы тяжести направлена вдоль поверхности, а какая прижимает тело к ней.
Сила нормальной реакции опоры N — сила, с которой плоскость действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Она возникает из-за взаимодействия тела с опорой и не даёт телу провалиться сквозь неё. Значение N понадобится для расчёта силы трения.
Сила трения скольжения Fтр действует вдоль поверхности и направлена против относительного движения тела и плоскости. Если брусок скользит вниз, трение направлено вверх, а при скольжении вверх — вниз. Направление этой силы важно установить до записи второго закона Ньютона.
Коэффициент трения скольжения μ — безразмерная величина, связывающая силу трения с реакцией опоры: Fтр = μN. Коэффициент зависит от соприкасающихся поверхностей и показывает, насколько сильно они препятствуют скольжению. Его значение не нужно умножать напрямую на mg, если реакция опоры отличается от силы тяжести.
Удобно направить одну ось вдоль наклонной плоскости, а другую — перпендикулярно ей. Тогда движение тела рассматривается по двум независимым направлениям, а силы проще складывать по осям. Сила тяжести mg направлена вертикально вниз, поэтому её составляющая вдоль плоскости равна mg sin α, а перпендикулярная составляющая — mg cos α.
Если тело не отрывается от плоскости и не ускоряется перпендикулярно ей, силы в этом направлении уравновешены. Реакция опоры направлена от поверхности, а перпендикулярная составляющая силы тяжести — к ней. Из второго закона Ньютона получаем N − mg cos α = 0, откуда N = mg cos α. Поэтому наклонная плоскость действует на тело слабее, чем горизонтальная опора.
Модуль силы трения скольжения пропорционален реакции опоры: Fтр = μN. Подставив N = mg cos α, получаем Fтр = μmg cos α. Значит, сила трения зависит не только от материала поверхностей, но и от того, насколько сильно тело прижато к плоскости. Увеличение угла при неизменных m и μ уменьшает реакцию опоры и трение.
Направление трения определяется движением, а не направлением силы тяжести целиком. При скольжении вниз трение направлено вверх, поэтому вдоль плоскости ma = mg sin α − μmg cos α и a = g(sin α − μ cos α). При скольжении вверх трение направлено вниз вместе с составляющей силы тяжести: ускорение направлено вниз, а его модуль равен g(sin α + μ cos α). Знак результата зависит от выбранного направления оси.
Чтобы понять, сдвинется ли отпущенное тело, сравнивают составляющую mg sin α, стремящуюся тянуть его вниз, с предельной силой трения μN. Если mg sin α больше μmg cos α, тело начинает скользить; после сокращения общих множителей получаем tan α > μ. Если условие не выполнено, трение покоя может удерживать тело. Это сравнение важно делать до применения формулы ускорения для скользящего тела.
| Ситуация | Направление силы трения | Уравнение вдоль плоскости | Ускорение |
|---|---|---|---|
| Тело скользит вниз | Вверх по плоскости | ma = mg sin α − μmg cos α | a = g(sin α − μ cos α), вниз |
| Тело скользит вверх | Вниз по плоскости | ma = −mg sin α − μmg cos α, если ось направлена вверх | a = g(sin α + μ cos α), вниз |
| Тело покоится; силы вдоль плоскости уравновешены | Против возможного движения вниз | Fтр.пок = mg sin α, если удержание возможно | a = 0 |
Сначала выбери направление оси и установи, движется ли тело или покоится. Затем определи направление трения и запиши уравнение проекций сил вдоль плоскости. В строке покоя равенство справедливо, только если требуемая сила трения не превышает предельное значение μN.
Брусок скользит вниз по плоскости с углом α, коэффициент трения равен μ. Требуется найти ускорение. Считаем, что тело сохраняет контакт с поверхностью и трение скольжения описывается формулой Fтр = μN.
Ответ: ускорение направлено вниз по плоскости и равно g(sin α − μ cos α). Положительный результат согласуется с выбранным направлением оси; если выражение неположительно, заданное скольжение вниз не поддерживается полученной равнодействующей.
Брусок запущен вверх по плоскости с начальной скоростью v₀. Нужно найти ускорение и путь до остановки. Предполагаем, что тело скользит вверх до момента остановки, а коэффициент трения на всём участке постоянен.
Ответ: ускорение направлено вниз и имеет модуль g(sin α + μ cos α); путь до остановки равен v₀²/[2g(sin α + μ cos α)]. Формулу пути применяем только до остановки, пока направление скольжения не изменилось.
Брусок без начальной скорости находится на плоскости с углом α и коэффициентом трения μ. Нужно определить, начнёт ли он скользить, а если да — найти скорость через время t. Считаем, что тело отпустили без толчка и после начала движения действует трение скольжения.
Ответ: скольжение начинается при tan α > μ; тогда скорость через время t равна g(sin α − μ cos α)t и направлена вниз по плоскости. При tan α ≤ μ брусок остаётся в покое в рамках принятой модели.
Нельзя направлять силу трения всегда против силы тяжести. Трение противодействует относительному движению или его возможному началу, поэтому при движении вверх оно направлено вниз, а при движении вниз — вверх. Ошибка возникает, когда трение связывают с одной силой, не разбирая движение. Проверь себя: сначала укажи направление скорости или возможного сдвига.
Подстановка Fтр = μmg обычно неверна, потому что сила трения связана с реакцией опоры, а не непосредственно с полной силой тяжести. На наклонной плоскости N = mg cos α, следовательно, Fтр = μmg cos α. Эту ошибку допускают, перенося формулу для горизонтальной поверхности без изменений. Для проверки найди реакцию опоры по перпендикулярной оси.
Формулы ускорения для движения вверх и вниз различаются, поскольку вместе с направлением скольжения меняется направление трения. Если использовать одну формулу без проверки знаков, равнодействующая может оказаться направленной не туда. Запиши направление оси, спроецируй каждую силу и только затем сокращай массу. Проверка: при движении вверх обе силы вдоль плоскости направлены вниз.
Сила трения покоя не всегда равна μN: это лишь её максимальный модуль. В покое она принимает значение, необходимое для равновесия, пока не достигнут предел. Равенство μN часто переносят с трения скольжения на трение покоя. Проверь условие: требуемая сила трения должна быть не больше μN, иначе тело начнёт скользить.
Для разбора движения на наклонной плоскости нужны второй закон Ньютона, представления о силе тяжести и реакции опоры, разложение вектора на составляющие и формулы равноускоренного движения. Эти знания позволяют перейти от рисунка сил к уравнениям и затем найти скорость или путь. Позже тот же подход помогает анализировать движение по криволинейной траектории и работу сил с учётом трения. Он применяется и к практическим ситуациям: движению транспорта, грузов по пандусам и склонам.
Почему реакция опоры на наклонной плоскости меньше силы тяжести?
Реакция опоры уравновешивает только составляющую силы тяжести, направленную перпендикулярно плоскости. Эта составляющая равна mg cos α, поэтому N = mg cos α и при наклоне N меньше mg.
Как определить, в какую сторону направлена сила трения?
При скольжении трение направлено вдоль плоскости противоположно относительному движению тела. Если тело покоится, силу трения покоя направляют против возможного начала движения, которое определяют по остальным силам.
Почему при движении тела вверх ускорение направлено вниз по плоскости?
Когда тело скользит вверх, и сила тяжести вдоль плоскости, и сила трения направлены вниз. Их равнодействующая направлена вниз, поэтому туда же направлено ускорение, хотя скорость тела в этот момент направлена вверх.
Когда тело, отпущенное на наклонной плоскости, начнёт скользить?
В модели с коэффициентом трения условие начала скольжения вниз — tan α > μ. Если это неравенство не выполняется, сила трения покоя может уравновесить составляющую силы тяжести вдоль плоскости.
Всегда ли сила трения покоя равна μN?
Нет. μN — предельное значение силы трения покоя, а не её обязательный модуль. Фактическая сила подстраивается под остальные силы и не превышает этого предела.
3. Движение тела по наклонной плоскости с учётом трения
