§ 20. Движение по горизонтали и вертикали

Определения и обозначения

Горизонтальный бросок — движение тела, которому в начальный момент сообщена горизонтальная скорость, после чего оно движется под действием силы тяжести. Например, так движется мяч, скатившийся с края стола. Модель помогает разделить непростой путь тела на два простых движения.

Горизонтальная составляющая скорости — часть скорости, направленная вдоль горизонтальной оси. При отсутствии сопротивления воздуха она не меняется, потому что сила тяжести направлена вертикально. Эту составляющую обозначают vₓ; при горизонтальном броске vₓ = v₀.

Вертикальная составляющая скорости — часть скорости, направленная вдоль вертикальной оси. При горизонтальном броске она начинается с нуля и затем изменяется под действием ускорения свободного падения g. Обозначение vᵧ позволяет отдельно описывать, как быстро тело движется вверх или вниз.

Траектория движения — линия, которую описывает тело. При горизонтальном броске в однородном поле тяжести траектория является параболой. Это понятие связывает положение тела по горизонтали и вертикали в каждый момент времени.

Как это устроено

Чтобы понять движение, рассмотрим его по двум взаимно перпендикулярным направлениям. На тело действует сила тяжести, но она направлена только вертикально, поэтому горизонтального ускорения нет. Значит, горизонтальная скорость сохраняет значение v₀, а по вертикали тело движется с ускорением g вниз. Такое разложение работает потому, что движение по одной оси не изменяет движение по другой.

Выберем ось x горизонтально, а ось y вертикально вверх; начальная высота равна h. В начальный момент вертикальная скорость равна нулю, поэтому горизонтальная координата изменяется по закону x = v₀t, а высота — по закону y = h − gt²/2. Минус перед вторым слагаемым показывает, что с течением времени тело опускается. Эти формулы описывают обе координаты в один и тот же момент t.

Чтобы получить траекторию, выразим время из горизонтального уравнения: t = x/v₀. Подставим это выражение в закон вертикального движения и получим y = h − gx²/(2v₀²). Здесь координата y зависит от квадрата x, поэтому график имеет форму параболы. Чем больше v₀ при той же высоте, тем положе изгиб траектории: тело успевает дальше переместиться по горизонтали, пока падает.

Время падения можно найти, положив в вертикальном уравнении y = 0, если уровень земли выбран за начало высоты. Тогда 0 = h − gt²/2, откуда t = √(2h/g). В формуле нет горизонтальной скорости: время определяется только высотой и ускорением свободного падения. Поэтому тела, одновременно выпущенные с одной высоты, достигнут земли в один момент, даже если их горизонтальные скорости различаются.

Когда время известно, дальность полёта находят по горизонтальному закону: L = v₀t. Вертикальная составляющая скорости перед падением по модулю равна gt, поскольку она начинается с нуля и увеличивается с ускорением g. Полная скорость направлена наклонно и складывается из горизонтальной и вертикальной составляющих как вектор. Поэтому её модуль равен √(v₀² + (gt)²), а не сумме этих двух чисел.

Сравнение горизонтального и вертикального движений при горизонтальном броске

Пользуйся таблицей, чтобы не смешивать величины, относящиеся к разным направлениям. Сначала выбери формулу для нужной составляющей движения: например, время падения найдёшь по вертикальному столбцу. Затем это же время подставь в горизонтальные формулы, чтобы получить дальность.

Разбор задач

Мяч со стола

Мяч скатился со стола высотой 1,25 м с горизонтальной скоростью 4 м/с. Найдите время падения и дальность полёта, если g = 10 м/с², а сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1. Сначала найдём время по вертикальному движению: оно не зависит от скорости мяча по горизонтали. Используем формулу t = √(2h/g). Подставляем данные: t = √(2 · 1,25/10) = √0,25 = 0,5 с.

2. Теперь вычислим горизонтальный путь за это время. По горизонтали скорость постоянна, поэтому L = v₀t. Получаем L = 4 · 0,5 = 2 м.

Ответ: время падения — 0,5 с, дальность полёта — 2 м.

Бросок с высоты 45 м

Тело бросили горизонтально со скоростью 15 м/с с высоты 45 м. Найдите время полёта, дальность и модуль скорости перед падением при g = 10 м/с².

1. Вертикальное движение задаёт время: t = √(2h/g) = √(2 · 45/10) = √9 = 3 с. Это время одинаково для любой начальной горизонтальной скорости при той же высоте.

2. Найдём дальность: L = v₀t = 15 · 3 = 45 м. Вертикальная составляющая скорости перед падением по модулю равна gt = 10 · 3 = 30 м/с, а горизонтальная остаётся 15 м/с.

3. Составляющие скорости перпендикулярны, поэтому модуль полной скорости находим по теореме Пифагора. v = √(15² + 30²) = √1125 ≈ 33,5 м/с.

Ответ: время полёта — 3 с, дальность — 45 м, скорость перед падением — примерно 33,5 м/с.

Тело у обрыва

Тело упало на расстоянии 24 м от основания обрыва высотой 20 м. Определите начальную горизонтальную скорость и уравнение траектории при g = 10 м/с².

1. По высоте определим время падения: t = √(2h/g) = √(40/10) = 2 с. Дальность 24 м тело преодолело за это же время.

2. Горизонтальная скорость постоянна, поэтому v₀ = L/t = 24/2 = 12 м/с. Теперь выразим траекторию через координату x: y = h − gx²/(2v₀²).

3. Подставим значения h = 20 м, g = 10 м/с² и v₀ = 12 м/с. Получим y = 20 − 10x²/(2 · 12²) = 20 − 5x²/144, где x и y измеряются в метрах.

Ответ: начальная горизонтальная скорость — 12 м/с; уравнение траектории — y = 20 − 5x²/144.

Типичные ошибки

Иногда считают, что горизонтальная скорость уменьшается по мере падения. Так рассуждают, потому что тело меняет скорость в целом, но изменение вызывает вертикальная сила тяжести; без сопротивления горизонтальное ускорение равно нулю. Проверь себя: в уравнении x = v₀t скорость по горизонтали постоянна.

Другая ошибка — принимать вертикальную начальную скорость за v₀. Это происходит, если не учитывать направление броска: при горизонтальном броске v₀ направлена вдоль оси x, а начальная вертикальная скорость равна нулю. Проверь подписи к составляющим и подставляй в вертикальное уравнение именно vᵧ₀ = 0.

Некоторые полагают, что более быстрая горизонтальная скорость увеличивает время падения. Кажется, что тело летит дальше и потому должно дольше оставаться в воздухе, но дальность и высота относятся к разным направлениям. Проверка проста: время t = √(2h/g) зависит от высоты и g, а не от v₀.

Нельзя складывать горизонтальную и вертикальную составляющие скорости как обычные числа. Ошибка возникает, когда забывают, что скорость — вектор, а составляющие направлены перпендикулярно. Чтобы проверить результат, нарисуй прямоугольный треугольник скоростей и найди модуль по теореме Пифагора: v = √(vₓ² + vᵧ²).

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о равномерном прямолинейном движении, равноускоренном движении и формулах свободного падения: по горизонтали скорость постоянна, а по вертикали действует ускорение. Разложение движения на независимые составляющие пригодится при изучении броска под углом к горизонту: тогда ненулевой будет и начальная вертикальная скорость. Ускорение свободного падения связано с законами Ньютона: оно возникает из-за действия силы тяжести.

Что запомнить

• Горизонтальное и вертикальное движения при броске рассматривают независимо.
• По горизонтали тело движется равномерно: x = v₀t.
• По вертикали тело падает с ускорением g: y = h − gt²/2.
• Время падения определяется высотой и не зависит от горизонтальной скорости.
• Траектория горизонтального броска — парабола.
• Скорость тела складывается из горизонтальной и вертикальной составляющих.