"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Наклонная плоскость — поверхность, расположенная под углом к горизонту. Чтобы выяснить, останется ли на ней тело в покое, нужно учесть силу тяжести, реакцию опоры и трение. Силу тяжести удобно разложить на составляющие вдоль поверхности и перпендикулярно ей. Покой возможен, если трение удерживает тело от скольжения; предельное условие выражается неравенством tg α ≤ μ, где α — угол наклона, а μ — коэффициент трения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — поверхность, образующая угол с горизонтом; этот угол обозначают α. Например, такой поверхностью может быть доска, приподнятая одним концом. Угол α показывает, насколько сильно поверхность наклонена и как велика направленная вдоль неё часть силы тяжести. Поэтому его значение понадобится при разложении силы на составляющие.
Сила тяжести — сила mg, с которой Земля притягивает тело; она направлена вертикально вниз. Здесь m — масса тела, а g — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с² у поверхности Земли. Масса показывает, сколько вещества содержит тело, а сила тяжести характеризует действие притяжения на него. Именно эта сила стремится сдвинуть тело вниз по наклонной поверхности.
Сила реакции опоры — сила N, с которой поверхность действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Она возникает при соприкосновении тела с опорой и не позволяет ему провалиться сквозь неё. На наклонной плоскости реакция направлена не вертикально, а под прямым углом к поверхности. Её величина нужна, чтобы определить возможную максимальную силу трения.
Сила трения покоя препятствует возможному скольжению тела и направлена вдоль плоскости. Она возникает при соприкосновении поверхностей и принимает именно такое значение, которое требуется для равновесия, пока это значение не превысило предел. Коэффициент трения μ характеризует сцепление соприкасающихся поверхностей и входит в формулу максимальной силы трения: Fтр.max = μN. Направление трения определяют по направлению возможного скольжения, а не заранее.
Сначала изобразим тело на наклонной плоскости и отметим силы: тяжесть, реакцию опоры и трение. Затем выберем две взаимно перпендикулярные оси: одну вдоль плоскости, другую — перпендикулярно ей. Такой выбор удобен, потому что реакция опоры направлена точно по второй оси, а трение — по первой. Условия равновесия можно записывать отдельно для каждого направления, не смешивая силы с разными направлениями.
Сила тяжести вертикальна, поэтому она не совпадает ни с одной из выбранных осей и её нужно разложить на две составляющие. Если представить её как диагональ прямоугольного треугольника, проекция вдоль плоскости равна mg sin α, а перпендикулярная проекция — mg cos α. При увеличении угла α первая составляющая растёт и сильнее тянет тело вниз по поверхности. Вторая при этом уменьшается, потому что всё меньшая часть тяжести прижимает тело к плоскости.
По перпендикулярной оси тело не движется и не отрывается от поверхности, поэтому сумма сил в этом направлении равна нулю. Реакция опоры направлена от поверхности, а составляющая тяжести mg cos α — к ней, следовательно, N = mg cos α. Это равенство справедливо, если в перпендикулярном направлении не действуют другие силы и тело не ускоряется. Оно также показывает, почему реакцию нельзя без проверки приравнивать ко всей силе тяжести.
Вдоль плоскости составляющая mg sin α направлена вниз, поэтому без трения тело начало бы скользить именно туда. Для равновесия сила трения покоя направлена вверх и уравновешивает эту составляющую: Fтр = mg sin α. Здесь сила трения не обязана иметь максимальное значение: она подстраивается под требуемую силу, пока поверхность способна удержать тело. Если возможное скольжение создаёт другая сила, направление трения нужно определять заново.
У трения покоя есть предел: Fтр ≤ μN, где μ — коэффициент трения. Значит, тело удержится, если требуемая сила mg sin α не больше максимально возможной: mg sin α ≤ μN. Подставляя N = mg cos α и сокращая одинаковые множители, получаем sin α ≤ μ cos α, то есть tg α ≤ μ. Когда достигается равенство tg α = μ, трение уже максимально и тело находится на границе начала скольжения.
| Величина или условие | Направление | Значение или соотношение |
|---|---|---|
| Сила тяжести | Вертикально вниз | mg |
| Составляющая силы тяжести вдоль плоскости | Вниз по плоскости | mg sin α |
| Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости | К поверхности | mg cos α |
| Сила реакции опоры | Перпендикулярно от поверхности | N = mg cos α, если других перпендикулярных сил нет |
| Сила трения покоя | Вдоль плоскости, против возможного скольжения | Уравновешивает mg sin α; Fтр ≤ μN |
| Условие равновесия перпендикулярно плоскости | По перпендикулярной оси | N − mg cos α = 0 |
| Условие покоя вдоль плоскости | По оси вдоль поверхности | Fтр = mg sin α и mg sin α ≤ μN |
| Предельный угол покоя | Граница начала скольжения | tg αпред = μ |
Сначала найдите строку с интересующей силой и проверьте её направление относительно выбранных осей. Затем используйте соотношение для равновесия по нужному направлению, учитывая, что максимум трения — это предел, а не обязательное значение. Для проверки покоя удобно сопоставить угол α с коэффициентом μ через неравенство tg α ≤ μ.
Условие. Тело массой 5 кг покоится на плоскости с углом наклона 30°. Найти силу трения покоя и реакцию опоры; принять g = 10 м/с². Решение. По перпендикулярной оси реакция уравновешивает составляющую тяжести, прижимающую тело к поверхности. Вдоль плоскости трение должно уравновесить составляющую, которая тянет тело вниз.
Ответ: сила трения покоя равна 25 Н и направлена вверх по плоскости, реакция опоры равна примерно 43,3 Н.
Условие. Угол наклона равен 20°, коэффициент трения μ = 0,30. Проверить, будет ли тело покоиться. Решение. Масса в этой проверке не нужна: она сократится, если сравнить составляющую тяжести вдоль плоскости с максимальным трением. Поэтому достаточно проверить tg α ≤ μ.
Ответ: тело не останется в покое и начнёт скользить вниз по плоскости.
Условие. Плоскость медленно наклоняют, а коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,40. Найти предельный угол, при котором тело ещё удерживается. Решение. При медленном увеличении наклона растёт составляющая тяжести вдоль поверхности. На границе скольжения трение достигает максимума, поэтому условие покоя превращается в равенство tg αпред = μ.
Ответ: предельный угол составляет примерно 21,8°.
Считать силу трения покоя всегда равной μN. Так делают, потому что запоминают формулу максимального трения и применяют её без уточнения. Но до начала скольжения трение принимает только необходимое для равновесия значение, а μN задаёт верхний предел. Проверьте себя: сначала найдите требуемую силу вдоль плоскости, а уже затем сравните её с μN.
Всегда направлять трение вниз по плоскости. Такую ошибку допускают, смешивая направление трения с направлением силы тяжести. Трение противодействует возможному относительному движению, поэтому в обычной ситуации оно направлено вверх, а при других внешних силах может быть направлено иначе. Проверка: мысленно уберите трение и определите, куда тело начало бы скользить.
Приравнивать реакцию опоры к mg. Это верно для горизонтальной поверхности при отсутствии других вертикальных сил, но на наклонной плоскости силы рассматривают относительно перпендикулярной оси. Реакция уравновешивает только mg cos α и потому равна N = mg cos α, если других сил по этой оси нет. Проверяйте направление реакции: она перпендикулярна поверхности, а не обязательно вертикальна.
Сравнивать mg sin α непосредственно с μ. Здесь сравниваются величины разных типов: mg sin α — сила, а μ — безразмерный коэффициент. Сначала нужно записать условие mg sin α ≤ μN, а затем подставить реакцию и получить tg α ≤ μ. Самопроверка проста: в исходном сравнении обе части должны иметь одинаковые единицы измерения.
Для решения задач о наклонной плоскости нужны первый закон Ньютона и условия равновесия: если тело покоится, равнодействующая приложенных сил равна нулю. Также важно уметь раскладывать вектор силы на составляющие вдоль выбранных осей. Эти приёмы применяются и в задачах о движении тела по наклонной плоскости, где равнодействующая уже может вызывать ускорение. Сравнение необходимой силы трения с её максимумом помогает находить границу между покоем и скольжением и связывает тему с изучением сил трения.
Почему силу тяжести нужно раскладывать на две составляющие?
Оси удобно направить вдоль плоскости и перпендикулярно ей, потому что реакции опоры и трение действуют именно по этим направлениям. Тогда можно отдельно записать условия равновесия для каждой оси. Вдоль плоскости действует составляющая mg sin α, а перпендикулярно — mg cos α.
Почему реакция опоры на наклонной плоскости меньше силы тяжести?
Реакция опоры уравновешивает только ту составляющую силы тяжести, которая направлена перпендикулярно поверхности. При отсутствии других сил в этом направлении N = mg cos α. Для наклонной плоскости cos α меньше единицы, поэтому N меньше mg.
Всегда ли сила трения покоя равна μN?
Нет. Сила трения покоя принимает такое значение, какое необходимо для сохранения равновесия, и может быть меньше μN. Равенство достигается только на границе начала скольжения.
Как определить направление силы трения?
Сначала нужно определить, в какую сторону тело скользило бы без трения. Сила трения покоя направлена против этого возможного движения вдоль поверхности. Поэтому на обычной наклонной плоскости она направлена вверх, но при действии других сил направление может измениться.
Как связаны коэффициент трения и предельный угол наклона?
На границе начала скольжения необходимая сила трения достигает максимума μN. Из условий равновесия следует tg α = μ. Поэтому коэффициент трения равен тангенсу предельного угла, а покой возможен при tg α ≤ μ.
2. Условие покоя тела на наклонной плоскости
