§ 18. Плотность планеты. Суточное вращение планеты

Определения и обозначения

Средняя плотность планеты — отношение её массы к объёму: ρ = M/V. Здесь M — масса планеты, а V — её объём. Эта величина нужна, чтобы сравнивать планеты по средней «плотности вещества», даже если внутри они устроены неодинаково.

Плотность планеты — усреднённая по всему объёму характеристика, поскольку вещество внутри планеты распределено неоднородно. В разных слоях могут отличаться состав, температура и плотность. Поэтому средняя плотность не обязана совпадать с плотностью пород, находящихся на поверхности.

Суточное вращение планеты — вращение планеты вокруг собственной оси, совершающееся с периодом, близким к одним суткам. Ось вращения — воображаемая прямая, проходящая через планету и два полюса. Такое вращение объясняет смену дня и ночи и задаёт общую кинематику движения точек поверхности.

Угловая скорость вращения — величина, характеризующая быстроту вращения планеты: ω = 2π/T. Она показывает, какой угол проходит радиус, соединяющий точку с осью, за единицу времени. В СИ угловую скорость измеряют в радианах в секунду, причём полный оборот соответствует углу 2π радиан.

Как это устроено

Если планету приближённо считать шаром радиуса R, её объём равен V = 4πR³/3. Подставляя этот объём в определение плотности, получаем ρ = 3M/(4πR³). Радиус нужно подставлять в метрах, а массу — в килограммах, тогда плотность получится в кг/м³.

Средняя плотность Земли больше плотности большинства горных пород на поверхности, потому что с глубиной давление и содержание тяжёлых элементов возрастают. Особенно плотным считается металлическое ядро, состоящее главным образом из железа и никеля. Значит, сравнение средней и поверхностной плотностей даёт сведения о внутреннем строении планеты.

Ускорение свободного падения на поверхности связано с массой планеты формулой g = GM/R². Если вместо массы подставить M = ρV = ρ·4πR³/3, то после сокращения одной степени радиуса получится ρ = 3g/(4πGR). Поэтому среднюю плотность можно найти по g и R, если известна гравитационная постоянная G.

За один период T любая точка планеты, не лежащая на оси, совершает полный оборот и поворачивается на 2π радиан. Поэтому для всех точек твёрдой планеты угловая скорость одинакова: ω = 2π/T. Различаться могут не угловые, а линейные скорости, потому что точки находятся на разных расстояниях от оси.

Точка на расстоянии r от оси за один оборот проходит окружность длиной 2πr, поэтому её линейная скорость равна v = 2πr/T = ωr. На экваторе r максимально, а на полюсах равно нулю, поэтому скорость там максимальна и нулевая соответственно. Вращение также вызывает небольшое экваториальное выпячивание планеты и уменьшает действующий вес тел у экватора по сравнению с полюсами.

Основные характеристики планеты и её суточного вращения

В таблице собраны основные величины, их обозначения, формулы и единицы СИ. Формулу выбирают по тем данным, которые известны в условии задачи. Если величина задана в часах или километрах, перед расчётом её переводят в секунды и метры.

Для точки, находящейся не на экваторе, в формуле линейной скорости используют не радиус планеты, а расстояние r до оси вращения. Так можно объяснить, почему период и угловая скорость одинаковы для всей планеты, а линейная скорость меняется. Проверка единиц помогает обнаружить ошибку в преобразованиях.

Разбор задач

Средняя плотность по массе и радиусу

Условие. Планета имеет массу M и радиус R и считается шаром. Требуется найти её среднюю плотность. Численные данные в условии следует сначала привести к единицам СИ.

1. Находим объём планеты как объём шара: V = 4πR³/3. Куб радиуса особенно важен, поэтому переводить в метры нужно именно радиус до возведения в третью степень.
2. Используем определение плотности: ρ = M/V. Подставляем найденный объём и получаем ρ = M/(4πR³/3) = 3M/(4πR³).
3. Проверяем размерность: кг/м³ — единица плотности в СИ. Если в ответе остались километры или другие внесистемные единицы, перевод не завершён.

Ответ: ρ = 3M/(4πR³).

Средняя плотность по ускорению свободного падения

Условие. Известны ускорение свободного падения g на поверхности и радиус планеты R. Нужно выразить среднюю плотность через эти величины и G. Массу планеты напрямую искать не требуется.

1. Записываем закон для ускорения свободного падения: g = GM/R². Выражаем массу: M = gR²/G.
2. Подставляем эту массу в формулу ρ = 3M/(4πR³). Получаем ρ = 3gR²/(4πGR³) = 3g/(4πGR).
3. Проверяем результат по единицам: G имеет единицу м³/(кг·с²), а g — м/с², поэтому итоговая единица равна кг/м³. Радиус снова должен быть выражен в метрах.

Ответ: ρ = 3g/(4πGR).

Скорости при суточном вращении

Условие. Планета радиуса R вращается с периодом T. Требуется найти угловую скорость и линейную скорость точки на экваторе. Период, данный в часах, сначала переводим в секунды: T = 24·3600 с для земных суток.

1. Угловую скорость находим по формуле полного оборота: ω = 2π/T. Она одинакова для всех точек планеты, потому что все они поворачиваются на 2π за один и тот же период.
2. Для экватора расстояние до оси равно радиусу R. Поэтому v = ωR = 2πR/T, или сначала можно найти длину экваториальной окружности и разделить её на период.
3. Проверяем единицы: у ω должна получиться 1/с, или рад/с, а у v — м/с. Нельзя подставлять T одновременно в часах в одну формулу и в секундах в другую.

Ответ: ω = 2π/T, v = 2πR/T.

Типичные ошибки

Подменяют среднюю плотность планеты плотностью вещества на поверхности. Так происходит, когда забывают, что в расчёте участвуют масса и объём всей планеты, а не образец грунта. Проверьте себя: в формуле должны присутствовать M и V, а результат должен описывать планету целиком.

Используют формулу объёма шара без перевода радиуса в метры. Ошибка появляется потому, что радиус возводится в куб и ошибка в единицах увеличивается во много раз. Перед вычислением запишите R в метрах и проверьте, что объём получен в м³.

Путают период T с угловой скоростью ω. Период — время одного оборота в секундах, а угловая скорость — угол поворота за секунду в рад/с; их связь имеет вид ω = 2π/T. Самопроверка проста: при увеличении периода вращение должно становиться медленнее, то есть ω должна уменьшаться.

Считают линейную скорость одинаковой для всех точек планеты. Они используют v = 2πR/T там, где нужно расстояние до оси r, хотя эта формула с R относится к экватору. Проверьте положение точки: общее выражение v = ωr, а при приближении к полюсу r уменьшается до нуля.

Связь с другими темами

Для изучения плотности планеты нужны формулы плотности, объёма шара, закона всемирного тяготения и ускорения свободного падения. Суточное вращение опирается на понятия периода, частоты, угловой и линейной скоростей движения по окружности. Эти знания применяются при изучении строения Земли, движения искусственных спутников, силы тяжести, веса тел и вращения небесных тел.

Что запомнить

• Средняя плотность планеты равна отношению её массы к объёму.
• Объём планеты, приближённо имеющей форму шара, равен 4πR³/3.
• Средняя плотность Земли больше плотности поверхностных пород из-за плотного внутреннего ядра.
• Период суточного вращения — время одного полного оборота планеты вокруг оси.
• Угловая скорость вращения определяется формулой ω = 2π/T.
• Линейная скорость точки равна v = ωr и зависит от расстояния до оси вращения.
• На экваторе линейная скорость вращения максимальна, а на полюсах равна нулю.