§ 18. Плотность планеты. Суточное вращение планеты

Определения и обозначения

Средняя плотность планеты — отношение её массы к объёму: ρ = M/V. Если планету считают шаром радиуса R, то V = 4πR³/3. Эта величина показывает, насколько компактно распределено вещество планеты, даже если внутри есть разные слои.

Орбитальный период спутника — время одного полного обращения спутника вокруг планеты; его обозначают T. По периоду можно судить о движении спутника и о притяжении со стороны планеты. Чем больше период при том же радиусе орбиты, тем слабее необходимое для движения притяжение.

Суточное вращение планеты — вращение планеты вокруг собственной оси, а период полного оборота обозначают Tвр. Это движение не следует путать с обращением спутника вокруг планеты. Период Tвр нужен для оценки влияния вращения на тела у поверхности.

Центробежное ускорение — ускорение во вращающейся системе отсчёта, направленное от оси вращения. На экваторе его модуль равен aц = ω²R, где ω — угловая скорость, а R — радиус планеты. Оно объясняет, почему вращение немного уменьшает эффективное ускорение свободного падения.

Как это устроено

Если спутник движется по круговой орбите, его скорость постоянно меняет направление, поэтому спутнику нужно центростремительное ускорение. Сила, обеспечивающая это ускорение, — сила тяготения планеты: GMm/r² = mv²/r. После сокращения массы спутника можно связать массу планеты с радиусом орбиты r и скоростью движения, а значит, и с периодом T.

Скорость спутника на круговой орбите выражается как v = 2πr/T, потому что за один период он проходит длину окружности 2πr. Подстановка этой связи даёт M = 4π²r³/(GT²). Если затем заменить массу формулой M = ρ·4πR³/3, получится ρ = 3πr³/(GT²R³), то есть плотность можно найти по наблюдаемому движению спутника.

Для орбиты у поверхности расстояние от центра планеты до спутника практически равно R, поэтому r = R. В общей формуле множители r³ и R³ сокращаются, и получается ρ = 3π/(GT²). Это упрощение работает только для спутника, находящегося очень близко к поверхности, а не для любой орбиты.

В расчётах радиус планеты и радиус орбиты имеют разный смысл. Радиус планеты R идёт от её центра до поверхности, а радиус орбиты r — от центра планеты до спутника; если высота над поверхностью равна h, то r = R + h. Подстановка вместо r одной только высоты h занижает расстояние и приводит к неверной плотности.

При вращении планеты точка на экваторе движется по окружности вокруг оси, поэтому во вращающейся системе отсчёта появляется центробежное ускорение. Угловая скорость равна ω = 2π/Tвр, а на экваторе aц = ω²R. На полюсах расстояние до оси равно нулю, поэтому центробежного ускорения нет; вследствие этого эффективное ускорение свободного падения на экваторе меньше.

Величины и зависимости при определении плотности и учёте вращения планеты

Таблица собрана как краткая схема решения: сначала определяют нужное расстояние и связь сил, затем получают массу или плотность. В последней строке показано, как период вращения переводится в центробежное ускорение. Единицы помогают проверить результат: плотность измеряется в кг/м³, периоды — в секундах, а ускорение — в м/с².

Разбор задач

Задача 1. Спутник у поверхности

Спутник обращается по круговой орбите у поверхности планеты с периодом T. Требуется найти среднюю плотность планеты. Планету считаем шаром, а сопротивлением атмосферы пренебрегаем.

1. Для кругового движения записываем GMm/R² = mv²/R, так как радиус орбиты у поверхности равен радиусу планеты.
2. Подставляем v = 2πR/T и сокращаем массу спутника: M = 4π²R³/(GT²).
3. Делим найденную массу на объём планеты 4πR³/3 и сокращаем R³.

Ответ: ρ = 3π/(GT²). Радиус планеты в итоговую формулу не входит, поскольку радиус орбиты совпал с ним.

Задача 2. Спутник на высоте h

Спутник движется по круговой орбите на высоте h над планетой радиуса R, а его период обращения известен и равен T. Нужно определить среднюю плотность планеты. Теперь орбита не совпадает с поверхностью, поэтому расстояние до спутника нужно отсчитывать от центра.

1. Находим радиус орбиты: r = R + h.
2. Из равенства силы тяготения и центростремительной силы получаем M = 4π²r³/(GT²).
3. Подставляем массу в ρ = M/(4πR³/3) и используем найденное r.

Ответ: ρ = 3π(R + h)³/(GT²R³). При h = 0 эта формула переходит в результат первой задачи.

Задача 3. Вращение и вес тела

Для планеты известен период вращения вокруг оси Tвр; её радиус равен R. Требуется найти центробежное ускорение на экваторе и сравнить его с ускорением свободного падения g. Сначала вычисляют скорость вращения, а затем оценивают, насколько вращение уменьшает эффективное ускорение.

1. Находим угловую скорость: ω = 2π/Tвр.
2. Вычисляем центробежное ускорение на экваторе: aц = ω²R = 4π²R/Tвр².
3. В простой оценке принимаем geff ≈ g − aц и сравниваем aц с g.

Ответ: aц = 4π²R/Tвр², а эффективное ускорение на экваторе примерно равно g − aц. Если aц много меньше g, влияние вращения мало, но оно всё равно приводит к уменьшению веса.

Типичные ошибки

Высоту спутника принимают за радиус орбиты. Так происходит, потому что оба расстояния обозначают отрезком до спутника. Проверка проста: в законе тяготения расстояние должно начинаться в центре планеты, значит, нужно использовать r = R + h.

Силу тяготения приравнивают к mv, а не к mv²/r. Величина mv связана с импульсом, но не является силой, поддерживающей круговое движение. Запишите размерности: у силы должны получиться ньютоны, а правильное выражение для центростремительной силы — mv²/r.

Путают два периода. Период T относится к обращению спутника вокруг планеты, а Tвр — к вращению самой планеты вокруг оси. Перед подстановкой подпишите, какое именно движение описывает данное время.

Считают центробежное ускорение одинаковым везде. Оно зависит от расстояния до оси вращения и равно ω²r⊥, где r⊥ — это расстояние до оси. На экваторе оно максимально, а на полюсе r⊥ = 0, поэтому эффект исчезает.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужны закон всемирного тяготения, движение по окружности и связи v = 2πr/T и ω = 2π/Tвр. Эти знания позволяют перейти от наблюдаемого периода к массе и плотности планеты. Поэтому задача объединяет несколько разделов механики.

Определение плотности по спутнику связывает механику орбит с астрономическими наблюдениями. Период обращения и радиус орбиты можно измерить, а затем оценить свойство небесного тела без прямого взвешивания. Такой подход применим к планетам и их спутникам.

Учёт вращения понадобится при изучении веса тел и эффективного ускорения свободного падения. Он также вводит понятие неинерциальной системы отсчёта, в которой появляются центробежные силы. Это объясняет различия условий на экваторе и полюсах.

Что запомнить

• Средняя плотность планеты равна отношению её массы к объёму.
• Массу планеты можно определить по движению её спутника.
• Радиус орбиты отсчитывают от центра планеты.
• Для спутника у поверхности ρ = 3π/(GT²).
• Угловая скорость вращения равна 2π/Tвр.
• Центробежное ускорение максимально на экваторе и равно нулю на полюсах.