§ 10. Тело на наклонной плоскости

Определения и обозначения

Наклонная плоскость — опорная поверхность, расположенная под углом к горизонту. Угол наклона α отсчитывают между поверхностью плоскости и горизонтальным направлением. Такая модель помогает изучать движение по склону, не смешивая силы, действующие вдоль поверхности и поперёк неё.

Составляющие силы тяжести — проекции силы тяжести на направления вдоль плоскости и перпендикулярно ей. Если угол наклона равен α, их модули составляют mg sin α и mg cos α соответственно. Это разложение нужно, чтобы записать второй закон Ньютона отдельно для каждой оси.

Реакция опоры — сила, с которой поверхность действует на соприкасающееся с ней тело; она направлена перпендикулярно поверхности. Её нельзя автоматически считать равной силе тяжести: она связана с перпендикулярной составляющей тяжести и другими силами в этом направлении. Найдя реакцию, можно определить силу трения.

Сила трения скольжения действует вдоль поверхности и направлена против относительного движения соприкасающихся тел. В обычной модели её модуль равен Fтр = μN, где μ — коэффициент трения, а N — реакция опоры. Эта сила может замедлять скольжение или вместе с другими силами влиять на возможность равновесия.

Как это устроено

Сначала выбирают оси: одну направляют вдоль плоскости, обычно вниз по склону, а другую — перпендикулярно поверхности. Тогда направление реакции опоры совпадает со второй осью, а движение вдоль склона описывается первой. Такой выбор упрощает расчёт: вместо работы с наклонёнными векторами можно записать отдельное уравнение для каждой оси.

Силу тяжести раскладывают на две составляющие, потому что её направление вертикально, а выбранные оси наклонены вместе с плоскостью. В прямоугольном треугольнике проекций угол α расположен напротив составляющей вдоль плоскости, поэтому она равна mg sin α; перпендикулярная составляющая прилежит к углу и равна mg cos α. Именно mg sin α стремится сдвинуть тело вниз по склону, тогда как mg cos α прижимает его к поверхности.

Реакцию опоры находят из второго закона Ньютона для направления, перпендикулярного плоскости. Если тело не отрывается от поверхности и не ускоряется поперёк неё, сумма проекций сил на эту ось равна нулю: N − mg cos α = 0, откуда N = mg cos α. Если же на тело действует дополнительная поперечная сила или есть ускорение в этом направлении, равенство нужно заменить уравнением с учётом этих условий.

Перед добавлением трения выясняют, в какую сторону тело скользит или куда оно стремится двигаться. При скольжении вниз сила трения направлена вверх по плоскости, а при скольжении вверх — вниз. Затем её модуль связывают с реакцией опоры: Fтр = μN; поэтому значение трения зависит не просто от массы, а от силы прижатия тела к поверхности.

После выбора знаков записывают второй закон Ньютона вдоль плоскости и сравнивают действующие силы. При движении вниз составляющая тяжести направлена вниз, а трение — вверх; их разность определяет ускорение. При движении вверх обе силы обычно направлены вниз и тело замедляется. В покое ускорение равно нулю, поэтому силы вдоль плоскости должны уравновешиваться; проверить это нужно вместе с условием, что доступного трения достаточно.

Силы и уравнения для тела на наклонной плоскости

В таблице указаны направления сил и условия для наиболее обычного случая, когда тело не ускоряется поперёк плоскости. Сначала определите направление движения, затем выберите знаки проекций и подставьте нужные силы в уравнение вдоль склона. Если тело движется вверх, направление трения и знаки в уравнении нужно определить заново.

Разбор задач

1. Равновесие без трения

Тело покоится на наклонной плоскости без трения; нужно проверить, возможно ли это при α ≠ 0. Реакция опоры направлена перпендикулярно плоскости и уравновешивает поперечную составляющую тяжести, но вдоль плоскости она не действует. Поэтому для равновесия отдельно проверяем сумму сил вдоль склона.

1. Разложим силу тяжести: вдоль плоскости вниз действует mg sin α.
2. При отсутствии трения и других сил вдоль плоскости сумма сил равна mg sin α.
3. Для покоя ускорение должно быть нулевым, а значит, сумма сил вдоль оси тоже должна быть нулевой. При α ≠ 0 величина mg sin α положительна, поэтому это условие не выполняется.

Ответ: нет, без трения и других уравновешивающих сил тело не может оставаться в покое при ненулевом угле наклона. При α = 0 составляющая вдоль плоскости обращается в ноль.

2. Скольжение вниз с трением

Тело скользит вниз по плоскости с углом α; коэффициент трения равен μ. Требуется найти ускорение, считая, что поперечного ускорения нет и тело остаётся на поверхности. Направим ось вдоль плоскости вниз, чтобы ускорение при скольжении вниз считалось положительным.

1. Поперёк плоскости ускорения нет, поэтому из второго закона Ньютона N = mg cos α.
2. Трение направлено вверх по склону, против скольжения; его модуль Fтр = μN = μmg cos α.
3. Вдоль плоскости запишем ma = mg sin α − Fтр. Подставляя выражение для трения и сокращая массу, получаем a = g(sin α − μcos α).

Ответ: a = g(sin α − μcos α) вниз по плоскости, если это выражение положительно. Если оно равно нулю, ускорения вдоль склона нет; отрицательный знак означает, что выбранное направление ускорения не совпало с фактическим.

3. Движение вверх до остановки

Тело скользит вверх с начальной скоростью v₀ по плоскости с углом α; коэффициент трения μ известен. Найдём путь до остановки. Ось направим вверх по плоскости: и составляющая тяжести, и сила трения направлены вниз, поэтому ускорение будет отрицательным.

1. Поперечное ускорение равно нулю, следовательно, N = mg cos α.
2. Трение направлено против движения, вниз по плоскости, и равно μmg cos α. Вдоль выбранной оси ma = −mg sin α − μmg cos α, поэтому a = −g(sin α + μcos α).
3. Для движения с постоянным ускорением используем v² = v₀² + 2as. В точке остановки v = 0; подставляем ускорение и находим s = v₀²/[2g(sin α + μcos α)].

Ответ: путь вверх до остановки равен v₀²/[2g(sin α + μcos α)]. Сумма в знаменателе показывает, что и тяжесть, и трение уменьшают скорость тела.

Типичные ошибки

Меняют местами sin α и cos α, потому что ориентируются только на привычную запись, а не на геометрию проекций. Проверьте, какой катет лежит напротив угла α: вдоль плоскости это mg sin α, перпендикулярно ей — mg cos α. При α = 0 составляющая вдоль плоскости должна обратиться в ноль, что служит быстрой проверкой.

Считают реакцию опоры равной mg, забывая, что сила тяжести направлена не перпендикулярно наклонённой поверхности. Обычно N уравновешивает только перпендикулярную составляющую тяжести и равна mg cos α, если поперечного ускорения нет. Проверяйте реакцию по второму закону Ньютона именно для перпендикулярной оси.

Направляют силу трения всегда вниз по плоскости, хотя её направление определяется относительным движением или его возможным направлением. Например, при скольжении вверх трение направлено вниз, а при скольжении вниз — вверх. Перед записью уравнения отметьте направление движения тела и приложите трение против него.

Приравнивают силу трения к μmg, не учитывая наклон поверхности. В модели скольжения Fтр = μN, а реакция обычно равна mg cos α, поэтому трение равно μmg cos α. Подставляйте в формулу именно найденную реакцию опоры; при дополнительных силах сначала заново определите N.

Связь с другими темами

Чтобы решать задачи на наклонную плоскость, нужны второй закон Ньютона, понятие проекции силы и правила сложения векторов. Здесь динамика даёт ускорение, а кинематика помогает по нему находить скорость и путь тела. Тот же приём разложения сил на удобные направления применяется при изучении движения по криволинейным траекториям и условий равновесия. Меняется геометрия задачи, но принцип остаётся тем же: выбрать оси и записать уравнения для проекций.

Что запомнить

• Оси удобно направлять вдоль плоскости и перпендикулярно ей.
• Составляющая силы тяжести вдоль плоскости равна mg sin α.
• Составляющая силы тяжести перпендикулярно плоскости равна mg cos α.
• При отсутствии ускорения поперёк плоскости N = mg cos α.
• Сила трения скольжения равна μN и направлена против движения.
• Уравнение движения составляют отдельно для каждой выбранной оси.