"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Наклонная плоскость помогает изучать движение тела под действием силы тяжести и трения. Угол наклона определяет, какая часть силы тяжести направлена вдоль поверхности, а какая прижимает тело к ней. Разложив силу тяжести на составляющие, можно найти реакцию опоры, силу трения и ускорение. На гладкой плоскости тело движется с ускорением g sin α, а при трении ускорение уменьшается.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Наклонная плоскость — опорная поверхность, образующая угол α с горизонтом. Если сила трения недостаточна, тело может двигаться по ней вниз под действием силы тяжести. Такая модель помогает отдельно изучать движение вдоль поверхности.
Сила реакции опоры N — сила, с которой плоскость действует на тело перпендикулярно своей поверхности. Она направлена от плоскости к телу, потому что опора не даёт телу проникнуть сквозь поверхность. Эта сила нужна для определения прижатия тела и силы трения.
Сила трения скольжения Fтр препятствует относительному движению тела и плоскости. Она направлена против движения или против его возможного направления, а её модуль находят по формуле Fтр = μN, где μ — коэффициент трения. Поэтому на наклонной плоскости трение зависит не непосредственно от mg, а от силы прижатия N.
Угол наклона α — угол между плоскостью и горизонталью. Он определяет, какая часть силы тяжести действует вдоль поверхности, а какая перпендикулярна ей. При увеличении α тело сильнее стремится скользить вниз.
Сначала изображают тело и все силы, действующие на него: силу тяжести mg вертикально вниз, реакцию опоры N перпендикулярно плоскости и, если поверхность шероховатая, силу трения вдоль плоскости. Направление трения выбирают после выяснения движения или его возможного направления. Затем удобно выбрать оси: одну вдоль плоскости, другую перпендикулярно ей.
Силу тяжести раскладывают на два взаимно перпендикулярных вектора. Вдоль плоскости действует составляющая mg sin α, потому что при α = 0 тело не должно самопроизвольно двигаться по горизонтали. Перпендикулярная составляющая равна mg cos α: именно она прижимает тело к поверхности и уравновешивается реакцией опоры.
Перпендикулярно плоскости тело обычно не ускоряется: оно не отрывается от опоры и не проваливается в неё. Поэтому второй закон Ньютона в этом направлении даёт N − mg cos α = 0. Отсюда N = mg cos α, если других перпендикулярных сил нет.
На гладкой плоскости вдоль поверхности действует только mg sin α. По второму закону Ньютона ma = mg sin α, после сокращения массы получаем a = g sin α. Масса не влияет на ускорение, потому что одновременно увеличивает и силу тяжести, и инертность тела.
При трении скольжения сначала находят N, затем Fтр = μmg cos α и учитывают её направление. Для движения вниз: ma = mg sin α − μmg cos α, поэтому a = g(sin α − μ cos α). До начала скольжения действует трение покоя, которое может изменяться; скольжение начинается, когда требуемая сила трения превышает максимальную μN, то есть когда tg α становится больше μ.
| Ситуация | Силы и условия | Ускорение или условие равновесия |
|---|---|---|
| Тело на гладкой плоскости | N = mg cos α; вдоль плоскости действует mg sin α | a = g sin α |
| Тело скользит вниз по шероховатой плоскости | Fтр = μmg cos α; сила трения направлена вверх по плоскости | a = g(sin α − μ cos α) |
| Тело покоится на шероховатой плоскости | Сила трения покоя уравновешивает составляющую mg sin α | sin α ≤ μ cos α, или tg α ≤ μ |
| Движение тела вверх по плоскости | Сила тяжести и сила трения направлены вниз по плоскости | a = g(sin α + μ cos α) вниз по плоскости |
Пользуйтесь таблицей после того, как определили направление движения и нарисовали силы. Сначала находите реакцию опоры, затем силу трения и только после этого записывайте второй закон Ньютона вдоль плоскости. Если тело покоится, проверяют не формулу ускорения, а возможность уравновесить силы трением покоя.
Условие: брусок скользит по гладкой плоскости с углом наклона 30°. Найти ускорение. Трение отсутствует, поэтому вдоль поверхности действует только составляющая силы тяжести.
Ответ: ускорение бруска направлено вниз по плоскости и равно 4,9 м/с².
Условие: брусок находится на шероховатой плоскости с коэффициентом трения μ и углом α. Нужно определить, начнёт ли он двигаться. Численные значения не заданы, поэтому ответ выражаем условием.
Ответ: при tg α ≤ μ брусок останется в покое, а при tg α > μ начнёт скользить вниз.
Условие: тело соскальзывает по шероховатой плоскости, известны α, μ и путь s; начальная скорость равна нулю. Найти скорость в конце пути. Масса в результате сократится.
Ответ: скорость в конце пути равна √(2gs(sin α − μ cos α)), если тело действительно скользит вниз.
Реакцию опоры часто направляют вертикально вверх. Так происходит из-за привычки представлять обычную горизонтальную опору. Проверьте себя: N всегда перпендикулярна поверхности, а не обязательно вертикальна.
Составляющие силы тяжести иногда записывают наоборот: вдоль плоскости берут mg cos α. Ошибка появляется из-за неверно выбранного угла в треугольнике сил. Проверьте предельный случай α = 0: вдоль горизонтали должна получиться нулевая составляющая, значит нужна mg sin α.
Силу трения направляют по движению тела. Её путают с силой, которая поддерживает движение, хотя трение противодействует относительному скольжению. Спросите себя, в какую сторону поверхности стремятся сместиться друг относительно друга, и направьте трение противоположно этому смещению.
Иногда используют формулу Fтр = μmg. Так можно рассуждать только при горизонтальной опоре, когда N = mg. На наклонной плоскости сначала найдите N = mg cos α, поэтому Fтр = μmg cos α.
До этой темы нужно знать второй закон Ньютона, понятие равнодействующей сил и разложение вектора на перпендикулярные составляющие. Без этого трудно правильно составить уравнения вдоль выбранных осей.
Также понадобятся формулы равноускоренного движения и различие между трением покоя и трением скольжения. Они позволяют определить не только факт движения, но и скорость тела после пройденного пути.
Модель наклонной плоскости пригодится при изучении движения по криволинейной траектории, работы силы, энергии и простых механизмов. Через неё удобно видеть, как направление силы меняет результат её действия.
Почему тело на наклонной плоскости ускоряется не с ускорением g?
Ускорение g возникает при свободном падении, когда вся сила тяжести направлена вдоль движения. На наклонной плоскости вдоль поверхности действует только составляющая mg sin α, поэтому ускорение равно g sin α на гладкой плоскости.
Почему сила реакции опоры на наклонной плоскости меньше mg?
Опора компенсирует не всю силу тяжести, а только её составляющую, перпендикулярную плоскости. Поэтому при отсутствии других перпендикулярных сил N = mg cos α, а cos α меньше единицы для наклонной плоскости.
Как понять, куда направлена сила трения?
Сила трения направлена против относительного движения поверхностей или против его возможного направления. Если тело скользит вниз, трение направлено вверх; если тело движется вверх, трение направлено вниз.
Когда тело на наклонной плоскости остаётся в покое?
Тело покоится, если сила трения покоя может уравновесить составляющую mg sin α. Для модели с коэффициентом трения μ условие покоя имеет вид tg α ≤ μ.
Почему при движении вверх сила трения складывается с составляющей силы тяжести?
При движении вверх обе силы направлены вниз по плоскости: составляющая силы тяжести стремится вернуть тело вниз, а трение препятствует движению вверх. Поэтому их модули складываются.
§ 19. Тело на наклонной плоскости
