"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Вращение планеты вокруг оси влияет на вес тел и на измеряемое ускорение свободного падения. Тело, движущееся вместе с планетой, получает центростремительное ускорение, а во вращающейся системе отсчёта действие вращения удобно учитывать с помощью центробежной силы инерции. На полюсе эта сила равна нулю, на экваторе она максимальна и уменьшает вес. На промежуточных широтах её направление приходится учитывать как вектор.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угловая скорость вращения планеты — величина, равная 2π, делённому на период вращения: ω = 2π/T. Здесь T — время одного полного оборота, а ω показывает, на какой угол планета поворачивается за единицу времени. Эта величина нужна, чтобы связать вращение с ускорением и силами. Если период дан в часах, перед вычислениями его переводят в секунды.
Центробежная сила инерции — сила, которую вводят при описании движения во вращающейся системе отсчёта. Для тела массой m на расстоянии r от оси её модуль равен Fцб = mω²r, а направление — от оси вращения. Она помогает объяснять наблюдаемое движение относительно вращающейся планеты. Это не сила взаимодействия, которую можно обнаружить в инерциальной системе отсчёта.
Вес тела — сила, с которой тело действует на опору или подвес. Если тело покоится относительно планеты и стоит на опоре, вес связан с силой реакции опоры, но не обязательно равен силе притяжения планеты. При вращении часть действия притяжения обеспечивает движение тела по окружности. Поэтому показание весов может зависеть от места на планете.
Ускорение свободного падения без учёта вращения планеты обозначают g₀. Это ускорение, которое тело имело бы под действием одного лишь притяжения планеты. Оно позволяет отделить влияние гравитации от поправки, связанной с вращением. При учёте вращения наблюдаемое ускорение может отличаться от g₀.
Тело, которое покоится относительно поверхности, всё же движется вместе с планетой вокруг её оси. Его траектория в инерциальной системе — окружность, поэтому телу нужно центростремительное ускорение, направленное к оси. По второму закону Ньютона это ускорение создаёт равнодействующая действующих сил. Значит, притяжение планеты не может в точности уравновешиваться всеми остальными силами: часть равнодействующей должна обеспечивать вращение.
Если наблюдать за телом из системы, вращающейся вместе с планетой, оно кажется неподвижным. Чтобы применять в такой системе привычные условия равновесия, вводят центробежную силу инерции, направленную от оси. Её модуль Fцб = mω²r растёт с массой, квадратом угловой скорости и расстоянием r до оси. Поэтому влияние вращения различается в разных точках планеты, даже если её период везде один и тот же.
На полюсе тело находится на оси, так что r = 0 и центробежной силы нет. Вращение не требует поправки к весу в этой точке: сила реакции опоры уравновешивает притяжение, если тело покоится. По мере удаления от полюса расстояние до оси увеличивается. Поэтому центробежная сила становится заметной, а её направление относительно притяжения зависит от положения тела.
На экваторе расстояние до оси равно радиусу планеты R, а центробежная сила направлена наружу, то есть против силы притяжения. Для покоящегося тела на опоре равновесие во вращающейся системе даёт N + Fцб = mg₀, откуда N = m(g₀ − ω²R). Здесь N — реакция опоры, равная по модулю весу тела, а R — радиус планеты. Следовательно, опора действует на тело слабее, чем при отсутствии вращения.
На промежуточной широте φ расстояние до оси равно r = R cos φ. Центробежная сила направлена от оси, а не строго от центра планеты, поэтому она наклонена к радиусу и не противоположна притяжению. Её составляющая вдоль радиуса уменьшает эффективное притяжение, а другая составляющая меняет направление равнодействующей. Поэтому и величина наблюдаемого ускорения свободного падения, и направление отвеса зависят от широты.
| Место на планете | Расстояние до оси | Центробежная сила инерции | Влияние на вес |
|---|---|---|---|
| Полюс | Расстояние до оси равно нулю | Отсутствует | Вращение не уменьшает вес |
| Промежуточная широта | r = R cos φ | Ненулевая, направлена под углом к радиусу | Составляющие по-разному влияют на вес и направление отвеса |
| Экватор | Расстояние до оси максимально и равно R | Направлена против притяжения планеты | Вес уменьшается максимально |
Сначала определите широту и расстояние от точки до оси, затем установите направление центробежной силы. Таблица показывает, что на полюсе поправки нет, а на экваторе она наибольшая. Для промежуточной широты учитывайте силу и её составляющие как векторы.
Найти силу инерции для тела массой 2 кг на экваторе планеты радиусом 6,4·10⁶ м с периодом вращения 24 ч. На экваторе расстояние до оси равно радиусу, поэтому в формулу силы подставляют r = R. Сначала найдём угловую скорость, поскольку период задан не в единицах СИ. Результат округлим до двух значащих цифр.
Ответ: центробежная сила инерции равна примерно 0,068 Н. Она направлена от оси вращения. При вычислении использовали расстояние до оси, а не произвольное расстояние до центра планеты.
На экваторе g₀ = 9,8 м/с², масса тела 60 кг, а ω²R = 0,034 м/с². Требуется найти вес на опоре и не спутать его с силой притяжения. На экваторе вращательная поправка направлена против притяжения. Поэтому применима формула для реакции опоры N = m(g₀ − ω²R).
Ответ: вес тела на опоре приблизительно равен 586 Н. Сила притяжения планеты при данных условиях равна mg₀ = 588 Н, то есть немного больше. Разность связана с вращением планеты.
Для одного и того же тела даны g₀ = 9,8 м/с² и ω²R = 0,034 м/с². На полюсе центробежная сила равна нулю, а на экваторе её действие максимально и направлено против притяжения. Сравним вес на единицу массы, чтобы ответ не зависел от неизвестной массы тела. Затем запишем выражения для тела массой m.
Ответ: вес больше на полюсе. Например, для тела массой 1 кг он составил бы 9,8 Н на полюсе и 9,766 Н на экваторе. Для тела другой массы оба веса пропорционально изменятся.
Считать центробежную силу реальной силой взаимодействия в инерциальной системе — ошибка: её вводят для описания движения во вращающейся системе. Её часто путают с центростремительной силой, потому что обе связаны с вращением. Проверьте себя: центростремительное ускорение направлено к оси, а центробежную силу в неинерциальной системе направляют от неё.
Подставлять в Fцб = mω²R радиус планеты в любой точке неверно: формула использует расстояние именно до оси. Ошибка возникает, когда тело считают одинаково удалённым от оси на всех широтах. Для проверки используйте r = R cos φ: на полюсе оно обращается в ноль, на экваторе равно R.
Вычитать центробежную силу из силы притяжения как обычные числа можно только тогда, когда силы лежат на одной прямой и направлены противоположно. Такое условие выполняется на экваторе, но не на промежуточных широтах. Там силы складывают как векторы; себя можно проверить, сравнив их направления на схеме или разложив на составляющие.
Приравнивать вес к силе притяжения тоже неправильно: первая величина описывает действие тела на опору или подвес, вторая — притяжение со стороны планеты. Путаница появляется потому, что без вращения их модули в простом случае равны. Проверка: выясните, какую силу измеряет опора, и учтите, что при вращении тело должно иметь центростремительное ускорение.
Для понимания вращения нужны формулы равномерного движения по окружности и связь угловой скорости с периодом: ω = 2π/T. При решении задач важно складывать силы как векторы и различать силу тяжести, реакцию опоры и вес. Эти навыки помогают объяснить, почему измеряемые вес и ускорение свободного падения отличаются на разных широтах. Представление о вращении и действующих силах также пригодится при изучении движения искусственных спутников.
Почему вес тела на экваторе меньше, чем на полюсе?
На экваторе тело дальше всего от оси вращения, поэтому центробежная сила инерции максимальна и направлена против притяжения планеты. Она уменьшает силу реакции опоры, а значит, и вес тела. На полюсе расстояние до оси равно нулю, поэтому такого уменьшения нет.
Почему центробежная сила на полюсе равна нулю?
Модуль центробежной силы равен Fцб = mω²r, где r — расстояние до оси вращения. На полюсе r = 0, поэтому сила равна нулю.
Чем вес тела отличается от силы притяжения планеты?
Сила притяжения действует со стороны планеты на тело. Вес — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Из-за вращения планеты вес может быть меньше силы притяжения.
Как найти расстояние от тела до оси вращения на заданной широте?
Для планеты радиусом R и широты φ расстояние до оси равно r = R cos φ. На экваторе φ = 0 и r = R, а на полюсе cos 90° = 0.
Почему на промежуточной широте нельзя просто вычесть центробежную силу из силы притяжения?
Там центробежная сила направлена не точно против силы притяжения, поэтому силы не лежат на одной прямой. Нужно сложить их как векторы и рассмотреть составляющие. Их равнодействующая определяет направление отвеса и наблюдаемое ускорение свободного падения.
2. Учёт вращения планеты вокруг своей оси
