1. Плотность планеты

Определения и обозначения

Средняя плотность планеты — отношение её массы к полному объёму: ρ = M/V. Буквой ρ обозначают плотность, а в СИ её измеряют в килограммах на кубический метр (кг/м³). Эта величина позволяет сравнивать, сколько массы приходится на одинаковый объём разных планет.

Масса планеты — величина, определяющая её гравитационное притяжение; её обозначают M и измеряют в килограммах. Чем больше масса, тем сильнее планета притягивает другие тела на одинаковом расстоянии. В задаче масса нужна для вывода формулы, но затем её можно исключить из расчёта плотности.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения, одинаковый для любых тел. Её значение составляет примерно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Постоянная связывает массы тел и силу их притяжения, поэтому с её помощью можно перейти от измеряемого ускорения к характеристикам планеты.

Ускорение свободного падения — ускорение, с которым тело движется под действием притяжения планеты, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. У поверхности его обозначают g и измеряют в м/с². Значение g зависит от массы планеты и расстояния до её центра, поэтому его используют для оценки средней плотности.

Как это устроено

Представим тело массой m у поверхности планеты радиуса R и массы M. По закону всемирного тяготения сила притяжения равна F = GMm/R², а по второму закону Ньютона сила, сообщающая телу ускорение g, равна F = mg. Эти силы описывают одно и то же взаимодействие, поэтому их приравнивают: mg = GMm/R². Сократив массу тела m, получаем g = GM/R² — ускорение свободного падения у поверхности.

Чтобы связать массу планеты с плотностью, используем определение ρ = M/V, откуда M = ρV. Планету приближённо считают шаром, поскольку её форма обычно близка к сферической, а для средней оценки не требуется учитывать неровности поверхности. Объём шара радиусом R равен V = 4πR³/3. Поэтому массу можно записать как M = ρ·4πR³/3.

Теперь подставим выражение для массы в формулу ускорения: g = G(ρ·4πR³/3)/R². Две степени радиуса сокращаются, и получается g = 4πGρR/3. Чтобы выразить плотность, умножаем обе части на 3 и делим на 4πGR: ρ = 3g/(4πGR). Так возникает формула, связывающая измеряемые характеристики планеты с её средней плотностью.

В формуле массы нет, потому что её исключили, выразив через плотность и объём. Это удобно: массу далёкой планеты трудно измерить непосредственно, а её радиус и ускорение у поверхности можно определить астрономическими наблюдениями и измерениями. Зная их и универсальное значение G, можно сразу вычислить ρ. Если же сначала найти массу, результат получится тот же, но шагов будет больше.

Для Земли возьмём g ≈ 9,8 м/с², R ≈ 6,37·10⁶ м и G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Подстановка в формулу даёт среднюю плотность около 5,5·10³ кг/м³. Плотность многих поверхностных пород составляет примерно 2,5–3,0·10³ кг/м³, то есть заметно меньше. Это различие показывает, что внутри Земли есть более плотные слои, в частности металлическое ядро.

Величины и зависимости для оценки средней плотности планеты

Сначала определите, какие величины даны и что требуется найти, затем выберите подходящую формулу. Для вычисления плотности по измеренным радиусу и ускорению используйте ρ = 3g/(4πGR). Перед подстановкой проверьте единицы: радиус должен быть в метрах, а ускорение — в м/с².

Разбор задач

Найти плотность по радиусу и ускорению

Дано: R = 3,0·10⁶ м, g = 4,0 м/с², G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Требуется найти среднюю плотность планеты. Массу искать отдельно не нужно: формула уже связывает плотность с заданными величинами. Радиус и ускорение записаны в СИ.

1. Используем формулу ρ = 3g/(4πGR).
2. Подставляем данные: ρ = 3·4,0/(4π·6,67·10⁻¹¹·3,0·10⁶).
3. Вычисляем: ρ ≈ 4,8·10³ кг/м³.

Ответ: средняя плотность планеты приблизительно равна 4,8·10³ кг/м³. Перед округлением полезно проверить порядок величины: плотность получилась в тысячах килограммов на кубический метр, что характерно для планетного вещества.

Оценить массу, а затем плотность

Дано: R = 4,0·10⁶ м и g = 5,0 м/с². Сначала требуется оценить массу планеты, затем её среднюю плотность. Здесь удобно начать с равенства mg = GMm/R² и исключить пробное тело массой m. После этого найденную массу разделим на объём планеты-шара.

1. Из g = GM/R² выражаем массу: M = gR²/G.
2. Подставляем значения: M = 5,0·(4,0·10⁶)²/(6,67·10⁻¹¹) ≈ 1,2·10²⁴ кг.
3. Находим объём: V = 4πR³/3 ≈ 2,68·10²⁰ м³.
4. Вычисляем плотность: ρ = M/V ≈ 4,5·10³ кг/м³.

Ответ: масса планеты около 1,2·10²⁴ кг, средняя плотность — около 4,5·10³ кг/м³. Такой способ даёт тот же результат, что прямая подстановка в формулу плотности.

Сравнить плотности двух планет

Даны параметры планет A и B: R_A = 6,0·10⁶ м, g_A = 8,0 м/с²; R_B = 3,0·10⁶ м, g_B = 3,0 м/с². Нужно установить, какая планета плотнее. Для обеих планет формула содержит одинаковые постоянные 3, 4π и G, поэтому их можно сократить при составлении отношения.

1. Записываем отношение: ρ_A/ρ_B = (g_A/R_A)/(g_B/R_B).
2. Подставляем значения: ρ_A/ρ_B = (8,0·3,0·10⁶)/(3,0·6,0·10⁶) = 4/3.
3. Так как отношение больше единицы, плотность планеты A выше.

Ответ: планета A плотнее планеты B в 4/3 раза, то есть примерно в 1,33 раза. При сравнении важно учитывать не только ускорение, но и радиус: большое g само по себе ещё не означает большую среднюю плотность.

Типичные ошибки

Подменять среднюю плотность плотностью вещества на поверхности неверно: средняя плотность учитывает массу и объём всей планеты. Путаница возникает, потому что плотность пород легче представить по знакомым образцам. Проверьте себя вопросом: относится ли использованное значение ко всему телу или только к его внешнему слою?

В формуле объёма шара нельзя использовать 4πR²: это площадь поверхности, а не объём. Ошибка появляется из-за похожих формул и одинакового множителя 4π. Проверьте размерность: у объёма должна быть единица м³, поэтому радиус входит в третьей степени; верная формула — V = 4πR³/3.

Если подставить радиус в километрах, а ускорение — не в м/с², результат не будет соответствовать единицам СИ. Так случается, когда значения берут прямо из условия и забывают о переводе. Перед расчётом запишите R в метрах, g в м/с², а G в Н·м²/кг²; итоговая плотность тогда выражается в кг/м³.

Ускорение свободного падения g не равно гравитационной постоянной G. Буквы похожи, но G — универсальная постоянная, а g определяется массой планеты и её радиусом по формуле g = GM/R². Проверить себя можно по единицам: g измеряется в м/с², тогда как единица G — Н·м²/кг².

Связь с другими темами

Для вывода формулы средней плотности нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона, определение плотности и формула объёма шара. Каждый закон описывает свою часть рассуждения: притяжение задаёт силу, второй закон связывает её с ускорением, а геометрия помогает выразить объём. Вместе они позволяют исключить массу из расчёта.

Связь ускорения свободного падения с массой и радиусом планеты используется при изучении движения спутников и космических скоростей. Она помогает понять, как притяжение планеты влияет на орбиты тел и на условия, необходимые для выхода на орбиту или ухода в космос. Поэтому формула g = GM/R² важна не только для определения плотности.

Что запомнить

• Средняя плотность планеты равна отношению её массы к объёму: ρ = M/V.
• Объём планеты, приближённо имеющей форму шара, равен 4πR³/3.
• У поверхности планеты g = GM/R².
• Средняя плотность планеты ρ = 3g/(4πGR).
• Для расчёта плотности нужны g, радиус планеты и гравитационная постоянная G.
• Все величины в расчёте следует подставлять в единицах СИ.