"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Пружины можно объединять в системы, чтобы получить нужную жёсткость и величину удлинения. При последовательном соединении пружины стоят одна за другой: сила в них одинакова, а удлинения складываются. При параллельном соединении пружины закреплены между общими опорами: удлинение одинаково, а нагрузка распределяется между ними. Эти правила позволяют заменить систему одной эквивалентной пружиной и упростить расчёты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Последовательное соединение пружин — соединение, при котором пружины расположены одна за другой и через них проходит одна и та же сила. Такое соединение удобно рассматривать как одну длинную упругую систему. Общее удлинение при этом складывается из удлинений всех пружин.
Параллельное соединение пружин — соединение, при котором пружины закреплены между общими опорами и имеют одинаковое удлинение. Силы между ними могут быть разными. Такая схема позволяет увеличить общую жёсткость системы.
Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука F = kx, характеризующий сопротивление пружины деформации. Чем больше k, тем большую силу нужно приложить для того же удлинения. Единица жёсткости в СИ — Н/м.
Эквивалентная жёсткость — жёсткость одной условной пружины, заменяющей систему и дающей такое же удлинение при той же силе. Она обозначается k и позволяет не рассчитывать каждую пружину отдельно. Для разных схем соединения её находят по разным формулам.
Закон Гука связывает силу упругости, жёсткость и удлинение формулой F = kx. Если известны любые два из этих величин, третью можно найти преобразованием формулы: x = F/k или k = F/x. Знак силы в задачах обычно рассматривают по модулю, поскольку нас интересует величина растяжения.
При последовательном соединении соседнее звено действует на пружины с противоположно направленными силами. Для невесомого промежуточного крепления условие равновесия требует, чтобы модули этих сил совпадали. Поэтому через все последовательно соединённые пружины проходит одна и та же сила, а их удлинения x₁ и x₂ складываются: x = x₁ + x₂.
При параллельном соединении обе пружины прикреплены к одной паре опор. Если опоры раздвинулись на расстояние x, каждая пружина удлинилась именно на x, поэтому x₁ = x₂ = x. Каждая пружина создаёт свою силу, а общая сила равна их сумме: F = F₁ + F₂.
Для последовательной схемы подставим закон Гука в сумму удлинений: x = F/k₁ + F/k₂. Если заменить систему одной пружиной, x = F/k, поэтому 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. Для параллельной схемы F = k₁x + k₂x = (k₁ + k₂)x, откуда k = k₁ + k₂.
В последовательной формуле обратная жёсткость складывается, поэтому эквивалентная жёсткость меньше каждой отдельной: система становится мягче. В параллельной схеме складываются сами жёсткости, поэтому результат больше жёсткости любой из пружин. Физически это объясняется тем, что при параллельной нагрузке деформации сопротивляются сразу несколько пружин.
| Свойство | Последовательное соединение | Параллельное соединение |
|---|---|---|
| Сила в отдельных пружинах | Одинаковая: F₁ = F₂ | Может быть разной |
| Удлинение отдельных пружин | Может быть разным | Одинаковое: x₁ = x₂ |
| Общее удлинение | x = x₁ + x₂ | x = x₁ = x₂ |
| Связь общей силы с силами в пружинах | F = F₁ = F₂ | F = F₁ + F₂ |
| Эквивалентная жёсткость | 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ | k = k₁ + k₂ |
| Сравнение эквивалентной жёсткости с жёсткостями отдельных пружин | k меньше k₁ и k₂ | k больше k₁ и k₂ |
Сначала определите, какая величина одинакова в данной схеме: сила или удлинение. Затем выберите соответствующую строку и формулу. Для сложной системы таблица помогает разбить расчёт на отдельные простые соединения.
Две пружины жёсткостью 100 Н/м и 200 Н/м соединены последовательно, к системе приложена сила 6 Н. Требуется найти удлинение каждой пружины и всей системы. В последовательной схеме сила в обеих пружинах равна 6 Н.
Ответ: первая пружина удлинилась на 0,06 м, вторая — на 0,03 м, вся система — на 0,09 м.
Пружины жёсткостью 100 Н/м и 300 Н/м соединены параллельно и растягиваются общей силой 20 Н. В такой схеме удлинение у пружин одинаковое. Сначала найдём жёсткость всей системы.
Ответ: общее удлинение равно 0,05 м, силы в пружинах составляют 5 Н и 15 Н. Их сумма равна 20 Н, что подтверждает расчёт.
В одной ветви две пружины по 100 Н/м соединены последовательно, а параллельно ветви подключена пружина 100 Н/м. Общая сила равна 30 Н. Удобно сначала заменить последовательную ветвь, а затем рассмотреть параллельное соединение.
Ответ: система удлинилась на 0,20 м; одиночная пружина испытывает силу 20 Н и удлиняется на 0,20 м; каждая пружина последовательной ветви испытывает силу 10 Н и удлиняется на 0,10 м.
При последовательном соединении иногда складывают жёсткости: k = k₁ + k₂. Так переносят правило параллельной схемы на другую ситуацию. Проверьте себя: в последовательной системе должна складываться общая деформация, поэтому правильна формула для обратных жёсткостей.
При параллельном соединении считают одинаковыми силы в пружинах. Ошибка возникает из-за смешения признаков двух схем. Проверьте крепления: общие опоры дают одинаковое удлинение, а силы складываются.
Иногда при последовательном соединении берут удлинение системы равным удлинению одной пружины. Это нарушает смысл последовательной схемы, ведь растягивается каждый её участок. Сложите найденные удлинения и сравните результат с исходным.
Нагрузку между параллельными пружинами распределяют поровну, не учитывая их жёсткости. На самом деле при одинаковом удлинении сила пропорциональна k, поэтому более жёсткая пружина принимает большую нагрузку. Проверка проста: силы должны относиться как жёсткости и в сумме давать общую силу.
Для решения задач нужны закон Гука, понятия силы упругости, жёсткости и удлинения. Также используется условие равновесия сил, объясняющее одинаковую нагрузку в последовательной цепочке. Эти знания связывают расчёты пружин с общей механикой.
Модель соединения пружин пригодится при изучении колебаний и периода пружинного маятника. Эквивалентная жёсткость входит в формулы колебательной системы. С ней также связана потенциальная энергия деформированной пружины.
Такие схемы применяют в технике, когда рассчитывают амортизаторы, подвески и упругие элементы конструкций. Последовательные детали делают систему более мягкой, а параллельные увеличивают её сопротивление деформации. Реальные устройства могут быть сложнее, но базовые правила остаются теми же.
Почему при последовательном соединении сила в пружинах одинакова?
Промежуточное соединение пружин не испытывает отдельной внешней нагрузки. Поэтому по условию равновесия сила натяжения передаётся через обе пружины и имеет одинаковое значение.
Почему при параллельном соединении пружины удлиняются одинаково?
Концы параллельных пружин закреплены на одних и тех же опорах. При перемещении опор каждая пружина получает одно и то же изменение длины.
Какая система пружин более жёсткая: последовательная или параллельная?
При одинаковых положительных жёсткостях параллельная система более жёсткая, поскольку её жёсткости складываются. Последовательная система, наоборот, мягче каждой отдельной пружины.
Как распределяется нагрузка между пружинами, соединёнными параллельно?
Удлинение у пружин одинаковое, поэтому по закону Гука Fᵢ = kᵢx. Более жёсткая пружина принимает большую часть общей силы.
Как рассчитать эквивалентную жёсткость смешанного соединения?
Систему разбивают на простые участки: сначала находят жёсткость последовательных или параллельных ветвей, затем объединяют получившиеся элементы. Для каждого этапа применяют свою формулу.
3. Последовательное и параллельное соединение пружин
