"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Любые тела с массой притягиваются друг к другу: это взаимодействие называют тяготением. Оно удерживает планеты на орбитах и определяет падение предметов на Землю. Сила притяжения зависит от масс тел и расстояния между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела, тем оно слабее. У поверхности Земли действие тяготения проявляется как сила тяжести, а ускорение свободного падения помогает описать движение падающих тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу. Она направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел, а измеряется в ньютонах (Н). Это взаимодействие объясняет, почему тела влияют друг на друга даже на расстоянии.
Закон всемирного тяготения описывает, как сила притяжения зависит от масс тел и расстояния между их центрами: F = Gm₁m₂/r². Здесь m₁ и m₂ — массы, r — расстояние между центрами. По формуле можно сравнивать силы и рассчитывать притяжение тел.
Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе всемирного тяготения; G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она одинакова для любых тел и позволяет выразить закон через единицы СИ. Малое значение показывает, что притяжение обычных предметов очень слабое.
Ускорение свободного падения — ускорение тела, движущегося под действием силы тяжести без учёта сопротивления воздуха. У поверхности небесного тела оно равно g = GM/R², где M — масса тела, а R — его радиус. Значит, g зависит от массы и радиуса небесного тела, а не от массы падающего предмета.
Любое тело с массой создаёт гравитационное поле — область, в которой оно может притягивать другие тела. Поэтому притяжение возможно и без контакта: тела взаимодействуют через свои поля. Направление силы задаётся взаимным расположением тел, а для сферических тел или тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием, сила направлена по линии между центрами.
Закон тяготения не был выведен из одного опыта с обычными предметами: к нему пришли, обобщая наблюдения за движением планет. Скорость и орбиты планет показывали, что притяжение усиливается вместе с массами взаимодействующих тел. Сравнение движения на разных расстояниях позволило установить обратную зависимость от квадрата расстояния: F ∝ 1/r². Это означает, что увеличение расстояния в три раза ослабляет притяжение в девять раз.
В формуле используется расстояние между центрами тел, потому что именно так описывается взаимное расположение их масс в модели закона. Расстояние между ближайшими поверхностями не учитывает размеры тел и не показывает, насколько далеко находятся их центры. Для сферических тел, например Земли и спутника, можно считать, что их притяжение определяется расстоянием от центра до центра. Если тела соприкасаются, к промежутку между поверхностями нужно прибавить их радиусы.
У поверхности Земли её притяжение называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения для тела массы m на поверхности Земли Fтяж = GMm/R², где M и R — масса и радиус Земли. Если обозначить GM/R² через g, получим привычную формулу Fтяж = mg. Так видно, что значение g задаётся свойствами Земли, а сила тяжести дополнительно зависит от массы предмета.
Ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела: по второму закону Ньютона a = F/m, а сила тяжести равна GMm/r². При подстановке масса падающего тела сокращается, и получается g = GM/r². При удалении от Земли расстояние r от её центра увеличивается, поэтому ускорение уменьшается по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. На высоте h оно равно GM/(R + h)².
| Ситуация | Формула | Что обозначают величины | Направление силы | Зависимость |
|---|---|---|---|---|
| Сила тяготения двух тел | F = Gm₁m₂/r² | m₁, m₂ — массы; r — расстояние между центрами; G — гравитационная постоянная | Вдоль линии между центрами, к другому телу | Прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна r² |
| Сила тяжести у поверхности Земли | Fтяж = mg | m — масса тела; g — ускорение свободного падения | К центру Земли | Прямо пропорциональна массе тела |
| Сила тяжести на высоте h над поверхностью Земли | Fтяж = GMm/(R + h)² | M и R — масса и радиус Земли; h — высота; m — масса тела | К центру Земли | Уменьшается с ростом расстояния R + h по закону квадрата |
| Ускорение свободного падения у поверхности небесного тела | g = GM/R² | M — масса небесного тела; R — его радиус | К центру небесного тела | Растёт с увеличением M и уменьшается с увеличением R² |
| Ускорение свободного падения на расстоянии r от центра небесного тела | g = GM/r² | M — масса небесного тела; r — расстояние от его центра | К центру небесного тела | Обратно пропорционально r² |
Сначала выберите строку, соответствующую условию задачи, и проверьте, какие величины известны. Для высоты над поверхностью в формулу нужно подставлять расстояние до центра R + h, а не только высоту h. Следите за единицами: массы выражайте в килограммах, расстояния — в метрах.
Найти силу тяготения между телами массами 100 кг и 200 кг, находящимися на расстоянии 2 м друг от друга. Используем закон F = Gm₁m₂/r², поскольку известны обе массы и расстояние между центрами тел. Значение G берём в единицах СИ. Перед вычислениями проверяем: килограммы и метры уже подходят для этой формулы.
Ответ: сила тяготения приблизительно равна 3,3 · 10⁻⁷ Н. Она очень мала, поэтому притяжение обычных предметов почти невозможно заметить без точных приборов. При этом сила, с которой первое тело притягивает второе, равна по модулю силе со стороны второго тела.
Во сколько раз изменится сила тяготения между двумя телами, если расстояние между ними увеличить в 3 раза? Массы тел остаются прежними, поэтому в сравнении можно не вычислять их произведение и значение G. Закон показывает, что F обратно пропорциональна квадрату расстояния. Значит, сравним квадрат нового расстояния с квадратом исходного.
Ответ: сила станет в 9 раз меньше. Здесь важно возводить в квадрат весь множитель 3, потому что в знаменателе закона стоит r². График зависимости показывает тот же результат: при увеличении r/r₀ втрое отношение F/F₀ уменьшается до 1/9.
Определить силу тяжести аппарата массой 500 кг на высоте, равной радиусу Земли, если у поверхности Земли g = 9,8 м/с². Высота h равна R, поэтому расстояние аппарата от центра Земли составляет R + h = 2R. Это расстояние вдвое больше, чем у поверхности, а ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально его квадрату. Сначала найдём новое g, затем силу по формуле Fтяж = mg.
Ответ: сила тяжести аппарата равна 1225 Н. Нельзя считать, что расстояние до центра стало равным R: высота над поверхностью тоже равна R, поэтому радиус нужно прибавить к высоте. Проверка результата: сила должна быть в четыре раза меньше, чем у поверхности, где она равна 500 · 9,8 = 4900 Н.
Первая ошибка — подставлять расстояние между поверхностями вместо расстояния между центрами тел. Так поступают, потому что именно промежуток между поверхностями обычно дан в задаче, но закон использует r между центрами. Для сферических тел прибавьте к промежутку их радиусы и проверьте, что используете нужное расстояние.
Вторая ошибка — забывать квадрат расстояния и считать, что сила обратно пропорциональна r. Это происходит, когда формулу запоминают не полностью. Проверьте запись: в знаменателе должно стоять r²; при увеличении расстояния в 3 раза сила должна уменьшиться в 9 раз, а не в 3.
Третья ошибка — путать массу с силой тяжести. Масса показывает свойство тела и измеряется в килограммах, а сила тяжести — сила притяжения, измеряемая в ньютонах. Проверить себя можно по формуле Fтяж = mg: умножение килограммов на м/с² даёт ньютоны.
Четвёртая ошибка — считать, что более тяжёлое тело падает с большим ускорением. Кажется, что большая сила обязательно означает большее ускорение, но у массивного тела больше и инертность; при расчёте g масса падающего тела сокращается. Без сопротивления воздуха тела в одном месте падают с одинаковым ускорением, и это можно проверить по формуле g = GM/r².
Для изучения тяготения нужно знать понятия массы и силы, второй закон Ньютона и единицы СИ, а также уметь возводить величины в квадрат. Закон связывает наблюдения за движением планет с тем, что уже известно о свободном падении и гравитационном поле Земли. Эти знания применяют, чтобы рассчитывать движение планет, орбиты спутников и траектории космических аппаратов. В таких задачах особенно важно учитывать расстояние до центра небесного тела.
Почему тела притягиваются, хотя между ними нет видимого контакта?
Масса каждого тела связана с гравитационным полем, через которое оно действует на другие тела. Поэтому для притяжения не нужен непосредственный контакт: взаимодействие передаётся через поле.
Почему в формуле закона всемирного тяготения расстояние возводится в квадрат?
Такую зависимость установили, исследуя движение планет и обобщая наблюдения. При неизменных массах увеличение расстояния в несколько раз уменьшает силу во столько же раз, взятое в квадрат.
Чем сила тяготения отличается от силы тяжести?
Сила тяготения — общее притяжение любых двух тел с массой. Силой тяжести обычно называют силу, с которой небесное тело, например Земля, притягивает находящийся рядом предмет.
Почему масса тела не влияет на ускорение свободного падения?
У более массивного тела сила притяжения больше, но и инертность, то есть сопротивление изменению скорости, тоже больше. В формуле ускорения масса падающего тела сокращается, поэтому в одном месте без сопротивления воздуха тела падают одинаково.
Как изменяется сила тяжести космонавта при удалении от Земли?
Она уменьшается, поскольку расстояние от космонавта до центра Земли становится больше. Сила убывает обратно пропорционально квадрату этого расстояния: например, при его увеличении вдвое сила становится в четыре раза меньше.
§ 10. Силы тяготения
